Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

1.1.12. инфляция и оптимум потребления—сбережений

На совершенном рынке капитала сейчас обращается лишь одна безрисковая облигация с одним реальным возвратным потоком, равном единице. Ее цена составляет р(Х) при возвратном потоке, равном X. Все покупки и продажи осуществляются в момент времени t = 0, сроком погашения является момент времени t = 1. Ставка процента составляет г = 0.08. Ваша межвременная функция полезности принадлежит к типу U{Cq,C). Начальный запас, которым вы владеете, состоит из па облигаций, а также из С0 и С потребительских благ. Пусть С0 будет благом-измерителем со стабильной ценой, равной Vo = 1-

Рассчитайте цену облигаций и составьте бюджетные ограничения.

Пусть существует постоянный положительный темп инфляции д. Как теперь выглядит бюджетное уравнение?

Сформулируйте и разрешите свою проблему оптимизации аналитически. Исходите при этом и далее из наличия инфляции.

 

*

 

1. Сегодняшняя цена облигации составляет

1

1 +г

= — = 0.93. 1.08

Бюджетные ограничения можно описать через

С0 +

 

1 + г

= Со +

1 + г

(1.18)

и через

Сі = Сі +nQ.

(1.19)

 

Из (1.18) и (1.19) мы получаем межвременное бюджетное уравнение

Ci = (l + r)- (^+С0-С0)+С1. (1.20)

сбережения в t = 0

В правой части мы видим сумму из начисленных посредством сложных процентов сбережений в t = 0 и начального запаса потребительских благ в t = 1. Левая часть описывает возможный уровень потребления во втором периоде.

При темпе инфляции д цена потребительского блага во втором периоде составляет

1>(Cl) = 1>(CQ) ■{!+$) = ! + $.

Возвратный поток по облигации определен в реальных единицах потребительских благ. Мы получаем реальную цену посредством деления возвратного потока на реальный коэффициент дисконтирования. Какова величина этого коэффициента? Для ответа на этот вопрос мы вначале должны выяснить его экономическое значение. Этот коэффициент определяет, каким количеством благ компенсировал бы нас рынок капитала, если бы мы отказались сегодня от одной единицы блага. Если рынок капитала номинально «обещает» нам 1 + г единиц благ как компенсацию, то это при темпе инфляции в l+i) означало бы реальную компенсацию в сумме (1 + г)/(1 + д). Поэтому мы можем выразить реальный коэффициент дисконтирования следующим образом:

1        1 +д

1+г 1+г'

1 + 7?

Таким образом, в качестве скорректированного с учетом инфляции реального бюджетного ограничения для t — 0 мы получаем

1 + т9 1 + д

С0+п0 —— =С0 + п0-±-. (1.21) 1+г 1+г

В t = 1 реальный бюджет состоит из (реальных) возвратных потоков, купленных облигаций и из реального начального имущества в виде потребительских благ. Поэтому верно

Ci=Ci+"0. (1-22)

Если мы сейчас обозначим реальный коэффициент дисконтирования через 1/(1 +R), то, выразив (1.21) через п0 и подставив в (1.22), получим упрощенную формулу реальных возможностей потребления в t = 1

Cl = (їТд + с°-Со) 0 + Л) + Сі. (1-23)

В качестве сегодняшней стоимости (1.23) в этом случае получается С0 = (Cj - Сі) —-і— + Со + по 1

(1 + Д) '   и       (1 + R)'

Скорректированная с учетом инфляции бюджетная линия соответствует приведенному в (1.20) уравнению, если мы заменим номинальное начисление процентов г их реальным начислением R. При учете ограничений из задачи 2 проблема оптимизации выглядит следующим образом:

max [/(Со, С,) (1.24) при дополнительных условиях

Со + Cl (нГй) ~~ ^ (йГй)       "° (ГТд) -0

и

Со > 0, Сі > 0.

(1.24) является нелинейной программой. Она, в принципе, предоставляет возможность выбора комбинации благ, лежащих внутри бюджетного множества. Условия неотрицательности искомых переменных сформулированы в явном виде. Так как целевая функция квазивы-пукла вверх, а ограничения являются линейными, то условия Куна— Танкера являются как необходимыми, так и достаточными для максимума.2 С помощью функции Лагранжа

С = С/(Со, d) + K ((Сі + no - Сі) щ-^ + Co - Cc

мы получаем условия Куна—Таккера

 

-к<0 —-С0=0, (1.25)

дС0    дС0       ~ дС0

«     »"    K^£0    "Cl=0. ,1.20,

dd    dd       l+R~ dd

^ = (d+no-Ci)—і—+Со-Со>0 ^к = 0. (1.27)

о к    4 ' (1 + R) ok

Из-за положительной предельной полезности к > 0 ограничение (1.27) является обязательным: ЭС/дк = 0. Следовательно, по меньшей мере одна из искомых переменных решения должна быть положительной. Сначала мы проверяем С0 = 0 и Сі > 0. Тогда (1.25) и (1.26) можно обобщить применительно к условиям оптимальности

             ме8=Ш<1+л- (1-28)

2 См.: Chiang А. С. Fundamental Methods of Mathematical Economics. 4th ed. Singapore: McGraw-Hill, 1987.

Неравенство означает, что угловое решение с нулевым потреблением в настоящее время происходит в том случае, если норма временных предпочтений лица, принимающего решение, меньше реального коэффициента дисконтирования, господствующего на рынке. Иными словами, лишь тогда, когда затребованная вами будущая компенсация для каждой дополнительной единицы сбережения была бы всегда меньше компенсации, которую предлагает рынок, вы сберегли бы весь свой начальный запас в первом периоде и потребляли бы полностью во втором периоде.

Сі = 0 и Со > 0 соответствовали бы как раз обратной структуре потребления. Она осуществлялась бы, если в (1.28) было бы верно: MRS> > 1 + R. Если бы вы имели личный коэффициент дисконтирования 3, который всегда бы превышал существующий на рынке капитала, вы выбрали бы нулевые сбережения. Так как можно реалистично предполагать, что вы являетесь жизнеспособным лишь тогда, когда потребляете как сегодня, так и завтра, мы можем исключить такие вышеописанные структуры временных предпочтений и исходить из внутреннего решения при С0 > 0 и С'і > 0. В этом случае мы получаем условия оптимальности

dU/dCo

= l + R. (1.29)

dU/dCi

В оптимуме наклон кривой безразличия соответствует наклону бюджетной линии. Максимизирующей полезность является та комбинация благ, при которой норма временных предпочтений соответствует ставке процента. Уравнения (1.29) и (1.27) образуют систему с двумя неизвестными. Таким образом, оптимальные значения в зависимости от экстремальных переменных определены однозначно. Если мы обозначим оптимальное решение звездочкой, то сможем записать зависимость оптимального плана потребления от начального запаса и реальной ставки процента как

C*0{n0,C0,CuR)   и   С*(по,Со,СьД). (1.30)

Внутреннее решение проблемы оптимизации иллюстрируется на рис. 1.13. Начерченные пунктиром кривые безразличия привели бы к обсужденным выше угловым решениям.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |