Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

2.1.7. расчет премии за риск

 

Ваше сегодняшнее имущество составляет 50 000 руб., а вашей функцией полезности является U(Y) = In У.

Вы находитесь в ситуации, в которой с вероятностью 50\% можете или выиграть, или проиграть 10000 руб. Застрахуете ли вы себя против этого риска за премию в размере 1250 руб. или же согласитесь на участие в такой лотерее?

Предположим, что вы приняли участие в этой лотерее и проиграли. Ваше имущество тогда составит 40 000 руб. Заключили ли бы вы сейчас договор о страховке по тем же условиям, что и в задаче 1?

Какова сумма максимальной премии, которую бы вы заплатили в задаче 1 и 2?

* * *

Этот результат будет получен нами и тогда, когда сальдо между подарком вашего дяди и постоянными издержками станет интерпретироваться как «отрицательные постоянные издержки».

1. Вы можете выбрать между альтернативами «заключение договора о страховке» (Ах) и «принятие на себя риска» (А2). Если вы заключаете договор, то ваше имущество составит 50 000 — 1250 = 48 750 руб. независимо от того, какая ситуация наступит в будущем. Если же вы принимаете на себя риск, то имущество может или повыситься до 50000+ 10000 = 60 000 руб., или с той же вероятностью, равной 50\%, снизиться до 50 000 - 10 000 = 40 000 руб. Если вы примените значения возможных результатов, используя свою функцию полезности, то получите представленную в табл. 2.6 матрицу полезности.

Из матрицы можно определить значения ожидаемой полезности обеих альтернатив

 

Е[[/(Л!)] = 10.79446,

E[U(A2)} = 11.0021 ■ 0.5 + 10.5966 ■ 0.5 = 10.79935.

 

Так как 10.79935 > 10.79446, то вы соглашаетесь на участие в лотерее.2

Из-за потери 10 000 руб. возникает представленная в табл. 2.7 матрица полезности. Теперь для значений ожидаемой полезности обеих альтернатив верно:

 

E[U(Ai)} = 10.56489,

E[U{A2)} = 10.81987 ■ 0.5 + 10.30895 ■ 0.5 = 10.56437.

 

Учитывая предыдущий опыт, вы стали осторожным и заключаете договор о страховании.

Второй возможностью анализа вопросов, поставленных в задачах 1 и 2, является расчет рисковых премий. Премию за риск по Пратту и Эр-роу определяют для «маленького риска», и поэтому она здесь неприме-

 

На первый взгляд эта разность может показаться вам мизерной. Но вы должны принять во внимание, что функции полезности положительно линейно преобразованы и, таким образом, разность между обеими альтернативами можно сделать насколько угодно большой.

нима. Можно использовать лишь определение премии за риск по Марковичу. Математическое ожидание игры, о котором здесь идет речь, является нулевым. Поэтому исходная формула выглядит следующим образом:

тг= W0-U-E[U(W0 + x)}).

^          .

v

безрисковый эквивалент

Обратной функцией к In У является eY. Таким образом, для безрискового эквивалента мы получаем

U-'iElUiWo +х)]) = е«°сш+*)].

Экспонента в правой части является не чем иным, как ожидаемой полезностью. Сейчас остается только сделать маленький шаг для расчета максимальной премии за риск. Для условия из задачи 1 получаем

 

я- = 50.000 - с10-79935 = 1011.05 руб.

При 1011.05 < 1250 руб. премия, которую лицо, принимающее решение, готово платить, меньше требуемой. Поэтому договор о страховании не заключается. В случае, при котором вы один раз уже проиграли (задача 2), вами было бы заплачено максимум

я- = 40.000 - е10-564365 = 1270.18 руб.

 

И здесь утверждается полученный выше результат: максимальная премия превышает требуемую. Вы заключаете договор о страховании.

 

2.1.8. Страховые договоры с лимитом собственной ответственности

Вы живете в приватизированной квартире и хотите заключить страховой договор на случай пожара. Страховая компания предлагает вам следующие полисы:

Договор    Страховая сумма Премия

А         1 500 000      1500 +а

В         2 000 000      1350 + 6

С         2 500 000      1200 +г

Надбавки а, Ъ и с соответствуют ожидаемым платежам страхователя. Вероятности и величины ущерба оцениваются экспертом следующим образом:

Величина ущерба Вероятность

0          0.900

250 000          0.050

500 000          0.025

2 500 000      0.025

Какой контракт вы предпочитаете, если у вас имеется 100 000 руб. наличными и квартира стоимостью 2 500000 руб.? Пусть ваша функция полезности будет [/(И о + х) = 10001n(VFo + х), причем И о обозначает надежную, а ж — рисковую часть вашего остаточного имущества. Вы можете вложить ваше ликвидное имущество в форме наличности на один год под 7 \% .

Измените ли вы ваше решение, принятое в пункте 1, если в конце первого периода вы унаследуете 100 млн руб.? Учтите, что отказ от страховки тоже является альтернативой.

 

* * *

1. Перед тем как вы можете составить соответствующую матрицу полезности, необходим расчет надбавок. Здесь необходимо учесть, что выплаты, которые должен произвести страхователь при наступлении наибольшего ущерба, лишь при С достигают полной суммы ущерба. При контракте А (В) страхователь платит лишь 1 500 000 (2 000 000) руб. Надбавки составляют:

а = 0 • 0.9 + 250 000 • 0.05 + 500 000 • 0.025 + 1 500 000 • 0.025 =

= 62 500 руб., 6 = 75 000 руб., с = 87 500 руб.,

так что договор А включает премию в сумме 64 000 руб., договор В — 76 350 руб., а договор С — 88 700 руб. Значения возможного остаточного имущества можно сейчас рассчитать по формуле:

V = квартира + (наличные деньги — премия) • (1 + 77) — — лимит ответственности.

Ситуация

1

2

3

4

<?.«

0.90

0.05

0.025

0.025

А

14 747.092

14 747.092

14 747.092

14 246.331

В

14 741.873

14 741.873

14 741.873

14521.231

С

14 736.626

14 736.626

14 736.626

14 736.626

0

14 773.711

14 672.900

14 560.776

11580.584

а после этого мы рассчитываем значения ожидаемой полезности

Е[[/(А)] = 14 747.092 • 0.975 + 14 246.331 ■ 0.025 = 14 734.573, Е[[/(В)] = 14 736.357, Е[[/(С)] = 14 736.626, E[t/(N)] = 14683.519.

В этой ситуации для вас оптимальным является договор С. 2. Каждый результат матрицы исходов из пункта  1  увеличится на 100 млн руб. Отсюда мы получаем новые значения ожидаемой полезности:

Щи (А)} = 18445.5041. ЩО (В)} = 18 445.4980, Е[(7(С)] = 18 445.4913, E[t/(N)] = 18 445.5560.

На основе этого радикального увеличения вашего благосостояния теперь рекомендуется отказ от заключения страхового договора.

 

Литература

 

В отношении дидактических аспектов особенно рекомендуется: Hirsh-leifer J., Riley J. G. The Analytics of Uncertainty and Information. 2nd ed. New York. Cambridge University Press, 1993 (Reprint 1995). Подробное пред-

 

ставление теории ожидаемой полезности можно найти и у: Laux Н. Entschei-dungstheorie 4. Aufl. Berlin: Springer, 1998. Тех, кто увлекается изучением возникновения идей экономической теории, мы отсылаем к: Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия // Теория потребительского поведения и спроса. СПб, 1999. С. 11-27. Дискуссия о значимости постоянных издержек получила толчок в работе: Schneider D. Entscheidungsrelevante fixe Kosten, Abschreibungen und Zinsen zur Substanzerhaltung. Der Betrieb. 1984. Bd. 37. S. 2521-2528. Тот, кто хочет углубиться в теорию страхования, должен изучить: Schulenburg J.-M. G. v.d. Versicherungsokonomik // Wirtschaftswissenschaftliches Studium. 1992. Bd. 21. S. 399-400, и приведенную там литературу.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |