Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

2.3. классические правила принятия решения

Все рассуждения по поводу оценки рискованных результатов, которые делались нами в предыдущих разделах, основываются на аксиоме рациональности. Этого нельзя сказать a priori о классических правилах принятия решения. Инвесторы, которые принимают решение на основе этих правил, скорее, прагматично относятся к негарантированным результатам. Они исходят из того, что распределение описывается определенными показателями, такими как математическое ожидание и дисперсия. В качестве аргументов в функции полезности лица, принимающего решение, эти показатели указывают на выбор наилучшего распределения. Естественно, этот подход провоцирует вопрос о том, нельзя ли аксиоматично обосновать классические правила принятия решения, несмотря на их, скорее всего, эвристический характер. Или, иными словами, совместимы ли друг с другом принцип Бернулли и классический критерий математического ожидания — дисперсии. После рассмотрения данного аспекта мы обратимся к системе кривых безразличия функции полезности на основе математического ожидания и дисперсии.*

 

2.3.1. Совместимость с принципом Бернулли

Докажите эквивалентность принципа Бернулли критерию i—а для квадратичной функции полезности

U{x) = а + Ьх2

и для линейной функции полезности

U (х) = а + Ьх.

Назовите другие варианты, для которых имеет место данная эквивалентность.

 

* * *

* Далее этот принцип мы будем называть принципом (критерием) ц—ст. — Прим. ред.

1. Для доказательства эквивалентности мы пройдем два этапа. На первом этапе мы осуществим для каждой функции полезности в условиях определенности U = U(x) разложение в ряд Тейлора в точке // = Е[х]. На втором этапе мы применим оператор математического ожидания к аппроксимированной функции и получим, таким образом, функцию ожидаемой полезности.

 

Разложение в ряд Тейлора:

U(x) = U{p) + (у'(м) (і - М)1 + ~р- (ї - /і2 +

+q->(i_(1):.+^,i-rf+'....

Использование оператора ожидаемой полезности: здесь необходимо учесть, что математическим ожиданием гарантированной величины всегда является эта же величина. Мы получим

Е{ЩЇ) = иш + (/'(с) Е[(і - ,.)'! +    E((.f - ,,)21 +

+^4(i.,)Vqe)4(i.(,n+....

Первой и второй производной анализируемой здесь квадратичной функции полезности является

U'{x) = 2bx, U"(x) = 2Ь.

Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Таким образом, получается функция ожидаемой полезности

E[U(x.)} = а + Ьц2 + 2ЬцЕ{{х - /і)1] +0.5 ■ 2ЬЕ[(х - ,<)2]. (2.22)

Из-за Е[(.т - (і)] = 0 и (і = Е[.т], а также Е[(.т - /*)2] = Var[x] имеет место

E[U(x)} = а + b Е[х]2 + b Var[.r] = = C/(E[x],Var[i-!),

что доказывает эквивалентность для особого случая квадратичной функции полезности.8

Для линейной функции полезности верно U'(x) = Ь. Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Если мы учтем это в рамках (2.22), то тогда функция ожидаемой полезности будет выглядеть следующим образом:

E[U{x))=a + b^ =

= a + h Е{х] ■= = ЩЦх]).

8 Несмотря на то что установленная эквивалентность верна для всех квадратичных функций полезности, а именно этот вид функции полезности здесь и рассматривается, необходимо учесть, что речь идет о расположенном к риску индивидууме.

Так как дисперсия не имеет значения для линейной функции полезности, оба принципа и здесь совместимы. 2. Оба принципа, кроме того, совместимы друг с другом, если результаты нормально распределены.

2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность

Обсудите проблематику квадратичной функции полезности в рамках теории ожидаемой полезности.

 

* * *

Рассмотрим квадратичную функцию полезности в форме"

 

U = -ах2 + Ьх   при   a, b > 0. (2.23)

При Var[x] = Е[(х - Е[х])2] = Е[х2] - Е[х]2 мы можем ее преобразовать в функцию ожидаемой полезности

E[U(x)] = -аЕ[х2] + ЬЕ[х] =

= -а Е[і:2] + ЬЕх] + а Е[х}2 - а Е{х}2 = = -а (Е[х2! - Е[х]2) +ЬЕ[Ї] - aE[if =

4          v          '

Var[.T] = (ф})2

= U(E[x],<j[x]).

Как легко можно увидеть, (2.23) предполагает, что лицо, принимающее решение, имеет отрицательную предельную полезность при уровне потребления х > Ь/2а. Это не совсем правдоподобно, так как означало бы, что индивидуумы, если они уже достигли определенного уровня потребления, добровольно отказались бы от дальнейших требований на потребительские блага. Эмпирически такой феномен нельзя наблюдать. Может быть, для отдельных потребительских благ существуют границы насыщаемости. Так, например, трудно представить, что семья, состоящая из 5 человек и занимающая лишь 5 комнат, будет покупать более 5 телевизоров. Но существование границы насыщаемости для агрегата требований на потребительские блага, а значит, на имущество, не имеет никакой экономической правдоподобности. Следовательно, квадратичные функции полезности можно использовать лишь тогда, когда делается предположение, что область определения возможных распределений потребительских благ находится в области ненасыщаемости. Для всех исходов х должно быть верным

 

х < Ь/2а.

9 Естественно, мы можем анализировать и каждое линейно положительное монотонное преобразование (2.23): U'(2) = z + yU{і) = z — уах2 + i/bx, причем необходимо соблюдение условия у > 0.

Анализ кривых безразличия в системе Е[х]/ст[.т] указывает на дальнейшую неправдоподобность. На любой кривой безразличия ожидаемая полезность постоянна. Поэтому функцию ожидаемой полезности можно записать в форме

с=-аф}2 - аЕ[х}2 + ЬЕ[х].

0 = - + ах}2 + Е[х}2 - -Ef.fi. а а

Данная формула является общей формулой круга с координатой центра

Ей,„ = -^.       <т[х] = 0

и радиусом г = 1/2(( — Ь/а)2 — 4г/а)1/,2.1П Наклон кривых безразличия будет рассчитан нами посредством приравнивания полного дифференциала

dW],ff[i]) = ^[rfE[.f] + ^dff[f]

к нулю. При учете dU/dE[x] — U' = -2nE[x]+b и d2U/dE[x}2 = U" = -2a имеет место

—44 = -          1 ]    = - —ста: = ARA ■ a Lf ,

dax)        -2aE[:r] + b       U'   1 J 1 J

причем ARA является коэффициентом Эрроу—IJpamma абсолютной нерасположенности к риску. Семейство кривых безразличия изображено на рис. 2.4. Если мы дифференцируем ARA, то окажется, что квадратичная функция полезности характеризуется возрастающей абсолютной нерасположенностью к риску

rfARA _ 4д2 dE[x] ~ (b - 2аЕ[:с])2 > °'

Для аргумента под корнем должно быть верным ( — Ь/а)2 — Ас/а > 0.

Значит, лицо, принимающее решение, требует тем более высокую субъективную цену за риск, чем выше его начальный запас. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим рис. 2.4. Для данного значения среднеквадратичного отклонения сг[х}* можно начертить параллель к ординате. Точки пересечения вертикалей с соответствующими кривыми безразличия отражают относящиеся к определенным уровням полезности математические ожидания оцениваемых распределений потребности. Выберем для себя точку А на рис. 2.4. Соответствующий уровню полезности А гарантированный уровень потребления гг., — это точка пересечения кривой безразличия и ординаты. Если сейчас начальный запас и, таким образом, гарантированный уровень потребления будут повышаться (движение вдоль ординаты), то тогда вертикальное расстояние между математическим ожиданием распределения потребительских благ (движение вдоль вертикали) и предоставляющим тот же уровень полезности гарантированным начальным запасом будет становиться все больше. Данное вертикальное расстояние представляет собой субъектив

ную цену риска, значит, ту скидку на математическое ожидание, которую инвестор готов принять, если риск полностью уничтожить. Скидка становится тем больше, чем богаче оказывается индивидуум в момент принятия решения. Из этого мы должны сделать вывод, что миллионер готов застраховать себя против данного риска, например потери 10 000 руб., в большей степени, чем индивидуум с маленькой зарплатой, но это представление совершенно неправдоподобно. Вследствие существенной неправдоподобности квадратичных функций полезности решающее значение приобретает другой достаточный критерий для совпадения между критерием ожидаемой полезности и критерием Е[.;']/(т[.7:], а именно предпосылка нормально распределенных результатов.

 

2.3.3. Кривые безразличия и степень нерасположенности к риску

Вы должны сделать экспертизу относительно инвесторов 1 и 2 с функциями полезности

Ul(E[5-],Var{x]) = 2 + 4Е[х] - 0.5Е[.т]2 - 0.5Var[.r],

 

U2(E[x], Var[i]) = 2 + 4Е[х] - 0.8Е[£]2 - 0.8Var[:r].

Ваш заказчик надеется на то, что ваша экспертиза информирует его о том, кто из них готов принять на себя больше риска. Как вы поступите, и какой результат вы можете представить вашему заказчику?

 

Для определения степени нерасположенности к риску нам необходимо знание наклона кривых безразличия в любой точке (Var[x], Е[х]). Если кривая безразличия первого инвестора в данной точке круче кривой безразличия второго инвестора, то тогда 1 не расположен к риску в большей степени, чем 2. Полный дифференциал функции полезности

сШ(Е[.г], Var[x]

dU <9Е[.т1

dE

х +

dU

<9Var[x

W Varf.Z-1

0

приводит к

dElx]

dU/dVar[x]

dVar[x] OU/дЕЩ

Теперь мы проверим этот наклон для любой координаты (Var[.r], Е[.г]). Пусть Var[x] = 1 и Е[х] = 1 будут этой координатой, тогда для первого инвестора верно

dEx] d Varfxl

 

0.5

-0.5

.4 - 2 ■ 0.5 ■ E[x]j 4-і

1

а для второго

d E[x] d Varlx)

-0.8

При 1/6 < 1/3 инвестор 2 является нерасположенным к риску в большей степени, чем инвестор 1.

 

Литература

Тот, кто хочет заняться критерием математического ожидания—дисперсии более глубоко, должен прочитать книгу: Sinn H.-W. Okonomische Entschei-dungen bei Ungewifiheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980. В сжатой, но очень четкой форме этот критерий обсуждается и в: Neumann М. Theoretische Volkswirtschaftslehre III. Munchen: Vahlen, 1982.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |