Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

2.5. модель предпочтения ситуации

Модель предпочтения ситуации является моделью равновесия, которая для оценки рисковых финансовых требований играет роль, похожую на роль равновесной версии модели Фишера при оценке гарантированных возвратных потоков. Модель, с одной стороны, предоставляет теоретическое обоснование, а с другой стороны, инструментарий для оценки. Там и здесь закон Вальраса обеспечивает то, что оптимизация индивидуальных планов потребления приведет к возникновению однозначной и стабильной системы цен в экономике. То, как возникает эта система цен для оценки зависящих от ситуации требований, мы хотим далее показать на основе конкретного примера. Предварительно мы займемся подробным анализом проблемы максимизации со стороны индивидуального инвестора.

 

2.5.1. Бюджетная линия и оптимальный план потребления

Рассмотрим поведение лица, принимающего решение, которое намерено оптимизировать свое рисковое будущее потребление. Оно владеет начальным запасом Vn. Этот запас используется в t = 0 для приобретения примитивных ценных бумаг двух типов. Первый тип генерирует в t = 1 денежный поток лишь тогда, когда наступает ситуация 1. Тип 2 дает покупателю денежный поток лишь в ситуации 2. Величина денежного потока при обоих типах составляет в точности 1 рубль. Эти примитивные ценные бумаги обращаются по ценам тгі и тг2. Обе ситуации наступают с вероятностью r/i или (ц. Покажите графически, как выглядит оптимальный план потребления лица, принимающего решение.

Что должно измениться в решении по сравнению с пунктом 1, если наилучший план потребления участника рынка характеризуется гарантированностью, а уровень полезности должен остаться неизменным?

* * *

1. В анализируемой здесь ситуации бюджетной линией является

7Tj СЛ + 7Г2 С12 = V0,

причем Си (С12) является количеством примитивных ценных бумаг типа 1 (типа 2), приобретенных лицом, принимающим решение. Данное количество определяет уровень зависящего от ситуации потребления в t■ — 1. Если указанную формулу выразить через С2 и взять производную по Си, то это даст

dC12 = л-]

с/6'l і     _ 7Г2

Данная формула соответствует наклону бюджетной линии на рис. 2.9. Наклон кривой безразличия будет получен нами через функцию полезности инвестора. Если использовать

E[U(C)} = qiU(Cn)+q,U(Ci2),

то тогда для кривой безразличия должно быть верным

 

сЩи (С) = г/1 ——            (1С 11 + q2      ^       (1С i2 = 0.

UL і і  OL 12

Если мы сейчас обозначим производные функции полезности символами U и U2, то можем описать наклон кривой безразличия на рис. 2.9 через

dC'i2 _ Ц U dCi <tiU2

Наилучший план потребления определяется точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия.

С12

Все гарантированные планы потребления находятся на биссектрисе, так как лишь тогда верно Си — С2. Если одновременно уровень полезности должен оставаться прежним, то лицу, принимающему решение, нельзя покидать первоначальную кривую безразличия. Следовательно, искомый план потребления находится в точке пересечения между биссектрисой и кривой безразличия. Очевидно, эта точка лежит на бюджетной линии, которая прежде не была значимой. Поэтому если гарантированный план потребления находится в точке касания и, таким образом, действительно оптимален, бюджетная линия должна выглядеть по-другому. Как показывает рив. 2.10, искомая бюджетная линия

является более крутой. Поэтому соотношение цен примитивных ценных бумаг кі/тт2 должно быть большим.

В пунктах 1 и 2 этой задачи задаются два разных вопроса. В первом случае речь идет об оптимальном плане потребления при данной бюджетной линии. Во втором случае вопрос задается относительно цен примитивных ценных бумаг, которые преобразуют предварительно установленный план потребления в оптимальный. При ответе на этот вопрос становится ясно, что каждому оптимальному плану потребления должен принадлежать определенный вектор цен примитивных ценных бумаг.

 

2.5.2. Оптимальный план потребления

Вы хотите оптимизировать свой план потребления. Информация о вашем финансовом запасе содержится в табл. 2.10. Кроме того, вы владеете 300 единицами единого потребительского блага, которое продается и покупается по цене 2 руб. Вы приписываете будущим трем возможным ситуациям вероятности наступления qs = 0.20,0.45 и 0.35. Вашей функцией полезности

является      

C/ = 4/CoCis.

Какой план потребления является для вас наилучшим?

Как выглядит оптимальный план, если вы нацелены на гарантированный уровень потребления в t = 1?

3. Определите для найденного в задаче 2 оптимума цены примитивных ценных бумаг. Безрисковая ставка процента пусть будет равна 5.26 \%.

 

1. Для решения этой проблемы мы должны максимизировать функцию ожидаемой полезности

E[U] = 0.8 у/Со Си + 1-8 /СоС2 + IA/CQC13 при учете бюджетных ограничений

з 3 фСо + 53 п*7Гя = №o + 5^ "s7r-* + Л^0'

s=     s = l

фСи = ns Vs. Подстановка данных дает функцию Лагранжа14

С = 0.2 • 4 у/С0 Си + 0.45 • 4 ,/С„ С*12 + 0.35 • 4 /С() С13 + + к {Со + 0.15 Сц + 0.5 С12 + 0.3 С13 - 483.75). Расчет частных производных приводит к:

М = 0.40        + 0.90 -2^= + 0.70 -7\%- + к = 0,

оСо     у Со Сі і        v Со Ci2        v Со Сіз

а£     0.40   . с° = +0.15 к = 0,

ЗСц    /Со Си

дс    : 0.90   , с°     + 0.5 к = 0,

дС2  /Со С2

ОС Со —- = 0.70      0     + 0.3 к = 0, o^j3 ч/С0Сіз

ас

дк

: С0 + 0.15 Си + 0.5 С12 + 0.3 С13 - 483.75 = 0.

 

Подпись: 11 Общий запас состоит из финансового запаса в объеме 367.50 руб. и оцененного
реального начального запаса (300 • 2 руб. = 600 руб.). Он составляет в номинальном
выражении 967.50 руб. и в реальном выражении	= 483.75 единиц.

В качестве решения этой системы получаем

00 = 241.88,   Сц = 398.15.   СХ2 = 181.41,   С13 = 304.83.

Чтобы перейти от вычисленного здесь стоимостного выражения возможностей потребления к количественному, мы должны лишь разделить эти значения на ф = 2. 2. Количество потребительских благ, которое вы можете купить в t = = 1, образуется из возвратных потоков приобретенных в t = 0 ценных бумаг. Если потребление должно зависеть от ситуации (Сх = Сц = = С12 — Сіз), то вы должны иметь одинаковое количество каждой из всех трех бумаг (пх = п2 = п3). Таким образом, функция Лагранжа упрощается и сводится к

С = 4 v/Co С + н (С0 + 0.95 Cj - 483.75). Посредством разрешения системы уравнений дС _0 Сі

де*' 7Ш + К~ '

^=2-Д=+0.95к = 0, = С„ + 0.95 Сх - 483.75 = 0

дк

опять получаем сумму потребления в настоящее время в объеме 241.88 руб. Гарантированное будущее потребление составляет 254.61 руб.

Если нам известны функция потребления, вероятности наступления всех возможных ситуаций окружающей среды и гарантированная ставка процента, то мы можем для определения цен примитивных ценных бумаг использовать формулу

1       U1 (Си)

1 + 7-/ E{U'(C)Y

Встречающуюся в знаменателе этого выражения ожидаемую предельную полезность будущего потребления можно определить лишь тогда, когда установлен оптимальный план потребления инвестора. Так как функцию полезности с гарантированным будущим потреблением (Сц = С12 = Сіз = Cj) можно упростить до

U = As/Cud, то первой производной является

и'(С1я) = 2-^=

/L{) С 1

и соответственно

E[[/'(Ci)] = 2- Со

Таким образом, формула определения цен примитивных ценных бумаг упрощается и сводится к

1

тт., = <?, ■ —            •

1 + Г/

Если мы подставим соответствующие данные, то получим

тг = 0.20                  = 0.1900.

1 + 0.0526

тг2 = 0.45 ■  - = 0.4275,

1 +0.0526

7г3 = 0.35                  = 0.3325.

1 + 0.0526

 

2.5.3. Цены примитивных ценных бумаг в равновесии

 

Давайте рассмотрим экономику, имущество которой сегодня составляет 241.88 ден. ед. Участники рынка единодушно предполагают, что имущество в момент времени t = 1 с вероятностью 20 \% (45 \% и 35 \%) достигнет 398.15 ден. ед. (181.41 ден. ед. и 304.83 ден. ед.). Совокупное имущество распределяется в соотношении 50 : 30 : 20 между тремя инвесторами. Какую цену заплатили бы инвесторы в равновесии за примитивные ценные бумаги, если бы все они имели функцию полезности

U = As/CuCu, а безрисковая ставка процента была бы равна 5.26\%?

 

Для отдельного инвестора цена примитивной ценной бумаги определяется по формуле

„і=п -_J_.  U'&>)      (2 44)

Па    4s   1 + г/   E[U'(C)Y (2-Щ

В равновесии спрос и предложение соответствуют друг другу. Если мы обозначим символом оц долю і-го инвестора в сегодняшнем и будущем благосостоянии экономики, то верно

3

СХ) = «' ЕС0' 1=1

3

(2.45)

i=i

Подстановка (2.45) в (2.44) дает

Подпись: U

1

 

и

'7 Е

'(«>eLqs)

'(«i£?=iCj)

 

(2.46)

а, встречается в качестве множителя как в числителе, так и в знаменателе и, таким образом, его можно сократить. Коэффициент U'(-)/E[U'(-)} в этой функции полезности не зависит от инвестора.1"' Для выяснения этого найдем первую производную функции полезности по зависящему от ситуации будущему потреблению:

U'

Г"

г=1

г=1 °0

= 2

 

оч £

«i/Ef=iCoE?=iCjs

 

i=l °0 Zji=1 °1s

и сконструируем формулу ожидаемой предельной полезности будущего потребления

 

С1 1 ulJ

Очевидно, здесь не только коэффициент t/'(-)/E[t/'(-)], но и числитель, и знаменатель не зависят от индивидуальной доли имущества а*. Если мы подставим данные в задачу, то этот результат подтвердится. Для каждого инвестора будут получены показанные в приведенной ниже таблице величины.

 

S

1

2

3

[/'(•)

1.559

2.309

1.782

E[U'(.)

1.975

Вследствие однородности ожиданий в отношении вероятностей наступления событий все инвесторы выходят на идентичные цены примитивных ценных бумаг

71-1 =0.20

 

1

1.559

1.0526 1.975

0.15,

И логарифмические функции полезности имеют это свойство.

1 2.309

тг2 = 0.45      = 0.50,

1.0526 1.975

1          1 7fi9

7г3 = 0.35      :                 = 0.30.

1.0526 1.975

Остается констатировать результат: цена, которую репрезентативный инвестор в равновесии готов заплатить за примитивную ценную бумагу, всегда одинакова, независимо от того, владеет ли инвестор 20 \%, 30, 50 или 100\% совокупного имущества экономики. Для определения цен примитивных ценных бумаг с помощью формулы (2.46) нет никакой необходимости в информации о распределении совокупного имущества среди отдельных индивидуумов.

 

Литература

 

Тот, кто хочет интенсивно заняться теорией предпочтения ситуаций, должен прочитать: Myers S. С. A time-state-preference model of security valuation // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1968. Vol. 3. P. 1-33. Хорошее описание дают также: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |