Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

3.1. теория арбитража в условиях определенности

Идентификация возможностей арбитража находится в центре этого раздела. Во втором разделе мы непосредственно займемся методом оценки в условиях определенности и включим его в контекст.

 

3.1.1. Типы возможностей арбитража

Какие типы возможностей арбитража могут иметь место в условиях определенности?

Возможности арбитража можно классифицировать следующим образом:

неотрицательный денежный поток с отрицательной ценой:

J J

X>,-P(*j)<0 0. j=l j=l

Тот, кто покупает такой портфель, владеет легальным «печатным станком», так как он получает неотрицательные возвратные потоки, за которые он должен платить «меньше, чем ничего».

неположительный денежный поток с положительной ценой:

J ./ YlnjP(X3)>0   и J2njXj<0.

j=i j=i

Тот, кто продает портфель с такими свойствами, получает сегодня доход без принятия на себя каких-либо обязательств.

Целое имеет большую (меньшую) стоимость, чем сумма его составных частей:

/ ,

j=i j=i

Этот «печатный станок» может быть включен вами двумя способами. Вы можете или купить портфель дешево и продать задорого его составные части, или приобрести эти составные части дешево и продать их задорого в качестве портфеля.

 

3.1.2. Существование возможностей арбитража

Пусть три банка конкурируют на одном рынке капитала. Они предлагают своим клиентам индивидуальные финансовые титулы. Первый банк требует цену в сумме 50 руб. и обязуется через год заплатить 5G руб. Второму банку вы должны сегодня заплатить 2.60 руб., если хотите получить через год 3.00 руб. Третий обещает 275 руб. в конце периода за 250 руб. в начале периода. Внезапно банк «Немрус» входит на рынок с новым продуктом. Он предлагает по льготной цене — 499.99 руб. — портфель, в котором содержится 50 единиц титула второго, 1 единица финансового титула третьего и 3 единицы титула первого банка. Покажите, что на этом рынке существуют возможности арбитража.

* *

 

Если цена за сумму отдельных частей так же велика, как и цена портфеля, то не существует возможности арбитража. Поэтому мы должны сравнить цену, которую требует банк «Немрус», с суммой отдельных цен бумаг, которые содержатся в данном портфеле. При этом мы выходим на сумму

 

50 • 2.6 + 250 + 3 ■ 50 = 530 руб.

За портфель необходимо заплатить 499.99 руб. Самое лучшее, что можно сделать, — купить этот пакет, разложить его на составные части и выступить самому как лицу, предлагающему финансовые титулы. Но даже если этого доступа к рынку не существовало бы, вы могли бы использовать возможность арбитража. Первый банк предлагает начисление процентов в объеме т = || - 1 = 0.12, в то время как третий банк предлагает ?'з = Щ — 1 = = 0.1. Будучи ловким участником рынка, вы сейчас предприняли бы попытку предложить финансовый титул по условиям третьего банка и таким образом приобрести капитал за 10 \%. Эти средства будут затем вами отданы в первый банк под 12 \%.

 

3.1.3. Арбитражная прибыль через «связывание» и «развязывание» портфелей

Петр Морозов в воскресенье утром посетил один из цветочных рынков в Петербурге. Он услышал от друга, который в недавнем прошлом приобрел состояние, что на рынке можно легко и совершенно легальным путем разбогатеть. Вооруженный калькулятором, Петр сравнивает выкрикиваемые торговцами цветов предложения. Он уделяет особое внимание розам и хризантемам, которые предлагаются разными торговцами в виде корзины. После обхода рынка ему удается сделать следующие выводы.

 

Торговец

Розы

Хризантемы

Цена за корзину

А

3

1

80 руб.

в

2

2

СО руб.

с

5

7

185 руб.

Какие сделки должен осуществить Петр для того, чтобы использовать возможности арбитража, которые предлагает ему эта ситуация на рынке? Какова его арбитражная прибыль при разовом арбитраже и какова его максимальная прибыль?

Когда торговец В заметил, что спрос особенно велик, он повысил свою цену. Вместо 60 руб. теперь он требует за каждую корзину 75 руб.

а)         Приостановит ли свои действия Петр после повышения цены? Ес-

ли нет, то что он должен сделать, чтобы источник поступления

денег продолжал «работать»?

б)         До какого уровня торговец В должен был бы повысить свою цену

для того, чтобы на рынке исчезла возможность арбитража?

3. Торговцы А, В и С не хотят и далее сложа руки наблюдать, как Петр становится все богаче. У них возникает следующая идея: торговец А продает только хризантемы по цене 15 руб. за штуку, торговец В продает только розы по цене 20 руб. за штуку и лишь торговец С действует как прежде. Проверьте, удастся ли этим трем торговцам посредством реализации данной идеи остановить деятельность Петра.

 

1.         Здесь Петр покупает 4 корзины у торговца В и продает по одной кор-

зине торговцам А и С. По окончании этих сделок у него не остается

цветов. Если мы сейчас обозначим символом Ха (Хв,Хс) содержание

корзины А (В, С), то для портфеля Петра

 

(пА,пв,пс) = (-1,4-4,-1)

 

будет верным условие

 

пА ■ Ха 4- пв ■ Хв+пс ■ Хс = 0. -1-ХА+   4-Ха-   1ХС = 0.

 

За 4 корзины торговца В Петр должен заплатить 240 руб. От продажи корзины в составе, предлагаемом торговцем А, он выручит 80 руб. За корзину, предлагаемую торговцем С, он получает 185 руб. Таким образом, при одноразовом осуществлении сделки для Петра создается отрицательная цена за его портфель в объеме 4-240 — 80 — 185 = —25 руб. Если бы Петру удалось осуществлять сделку бесконечно, он выигрывал бы каждый раз 25 руб. и стал бы безгранично богатым.

2.         а) Этим повышением цены Петра не остановить. Он сейчас купит

корзину у торговцев А и С, за что он в совокупности должен заплатить 265 руб. Приобретенные цветы он продаст после этого в четырех корзинах в том составе, который предлагается торгове-цем В. За эти четыре корзины он выручит 300 руб.

б) Для уничтожения возможности арбитража торговец В должен был бы поднять свою цену до ^ = 66.25 руб.

3.         Чудесное умножение денег Петра было бы закончено, если бы семь

хризантем торговца А и пять роз торговца В стоили бы вместе столько

же, сколько стоит корзина, которую продает торговец С. Семь хри-

зантем вместе стоят 105 руб. Пять роз имеют общую цену в объеме

100 руб., из чего можно вывести совокупную цену в объеме 205 руб.

Так как 205 ф 185, Петр может и дальше извлекать арбитражную при-

быль.

3.1.4. Возможность арбитража и трансакционная линия

Покажите, что возможность арбитража в модели Фишера приведет к повышению достигаемого уровня полезности. При этом исходите из начального запаса ценных бумаг величиной в fij при j = 1,...,J. Эти ценные бумаги обращаются по цене p(Xj), и по ним обещают возвратные потоки величиной В Xj.

Объясните различие между возможностями арбитража и реальными инвестициями.

 

* *

•А-

Отправным пунктом наших рассуждений является бюджетное ограничение в момент времени t = О

йо + Еи^)=Со + Г^пАх,)

ф ф

Пусть на рынке существует арбитражный портфель, для которого верно

^2m3p(Xj) = О   и    ^2mjXj > °-

 

Так как этот портфель в t = 0 ничего не стоит, то каждое лицо, принимающее решение, может купить этот портфель без изменения своих решений относительно потребления и сбережений в момент времени t = 0. Однако приобретение портфеля повлияет на бюджетное ограничение в момент времени t = 1

 

сх = сх + ^J~ 3 3 +^>- 3 ■'.

ф ф

исходное бюджетное ограничение

Так как верно

^3= 3 3 > о,

ф

то лицо, принимающее решение, благодаря возможности арбитража сумеет больше потреблять в t = 1 и таким образом повысится его полезность.

Существуют сходство и различие. Как для возможностей арбитража, так и для реальных инвестиций (с положительной чистой сегодняшней стоимостью) верно, что они повышают полезность инвестора (или арбитражера). Однако в противоположность реальным инвестициям арбитражные портфели обращаются на (теоретически) бесперебойно функционирующих рынках капитала. Это приводит к тому, что возможности арбитража очень быстро уничтожаются. В противоположность этому положительные чистые сегодняшние стоимости реальных инвестиций из-за фрикций рынка сохраняются несколько периодов времени.

 

3.1.5. Примитивная ценная бумага и рыночная ценная бумага

Какие существуют связи между примитивными и рыночными ценными бумагами?

 

Примитивная ценная бумага характеризуется тем, что она принесет лишь в один единственный момент времени денежный поток в объеме 1 руб. Таким образом, верно

= Г 1    для одного t ^ ь'"''    ""   т>    | о    в любом другом случае.

В противоположность этому рыночные ценные бумаги имеют свойства или лишь в один единственный момент времени принести возвратный поток, отличающийся от единицы, или дать положительный возвратный поток больше чем в один момент времени. Поэтому для облигации с нулевым купоном мы можем записать

^       ^ . _| в>0и«/1    для одного t

1'''''      71 ~ | о          в любом другом случае

или, например, для купонной облигации или аннуитетного долга

(Х,.... Xt,..., Хт) = о > 0 больше чем для одного t.

Поэтому рыночную ценную бумагу можно всегда воспринимать как портфель, состоящий из примитивных ценных бумаг. Конечно, такая искусственно созданная, или синтетическая, рыночная ценная бумага исходя из теоремы аддитивности стоимости должна обращаться по такой же цене, как рыночная ценная бумага. В противном случае будут существовать возможности арбитража.

 

3.1.6. Свободный от арбитража рынок капитала и аддитивность стоимости

Пусть на рынке капитала существуют три примитивные ценные бумаги и одна рыночная ценная бумага. Эти бумаги характеризуются приведенными ниже ценами и платежами. Покажите, что этот рынок свободен от арбитража.

 

Номер

Цена в

Платеж в

Платеж в

Платеж в

бумаги

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3

1

101.300

8

8

108

2

0.930

1

 

 

3

0.805

 

1

 

4

0.805

 

 

1

* *

 

Через три примитивные ценные бумаги рынок уже полностью определен. Так как рыночную ценную бумагу можно также трактовать как портфель из трех чистых примитивных ценных бумаг, возможность арбитража отсутствует, если цена портфеля так же велика, как цена облигации. Поскольку верно

8тг! + 8тг2 + 108тг3 = 8 ■ 0.930 + 8 • 0.865 + 108 • 0.805 = 101.30, то мы имеем дело со свободным от арбитража рынком капитала.

 

3.1.7. Оценка одной рыночной ценной бумаги с помощью примитивных ценных бумаг

Можно ли найти возможности арбитража на рынках капитала, которые описаны через следующие две таблицы?

* * *

Оба рынка сверхдетерминированы. Если их нужно проверить на предмет наличия свободы от арбитража, то разумно определять цену примитивных ценных бумаг всегда из двух рыночных ценных бумаг и оценивать с помощью этого соответствующую третью рыночную ценную бумагу. Если определенная таким образом цена и заданная рыночная цена соответствуют друг ДРУгу, то рынок свободен от арбитража. В любом другом случае существуют возможности арбитража.

Для рынка капитала А мы хотим привлечь бумаги 1 и 3 для расчета цен примитивных ценных бумаг. Если мы решим систему уравнений

85.60=     5.00 7Г1 + 105.00 7г2, 96.70 = 108.00 7Г1,

то получим

96.70     „ 0„ А           85.60 - 5.00 • 0.8954

7Г1 =              = 0.8954,       7Г2 =              = 0.7726.

108.00            ' 105.00

Если сейчас мы оценим возвратные потоки бумаги 2 с помощью этих цен, то получим

8.5 • 0.8954 + 108.50 • 0.7726 = 91.44.

Бумага 2 должна стоить лишь 91.44 руб., но она обращается по цене 101.40 руб. Таким образом, рынок капитала А предоставляет возможности арбитража. Сейчас рассмотрим рынок капитала Б. Посредством бумаг 1 и 2 цены Эрроу—Дебре являются полностью определенными:

102.20= 111.50 7гь 98.50=    8.00 7Г1 + 108.00 тг2.

При

102.20    п „, „„          98.50 - 8.00 • 0.9166 п

7Г1 = —=0.9166,      тг2 =                         = 0.8441

111.50            ' 108.00

сегодняшняя стоимость возвратных потоков из бумаги 3 окажется равной

5.50 • 0.9166 + 105.50 • 0.8441 = 94.09 руб.

Но котировочная цена на бумагу 3 соответствует 94.30 руб., так что и здесь существуют возможности арбитража. Если нами используются другие комбинации рыночных ценных бумаг для определения цены примитивных ценных бумаг, то хотя мы получаем и другие цены, чем заданные здесь, возможности арбитража все-таки возникают.

 

3.1.8. Альтернативные методы оценки

Петр имеет доступ к рынку капитала, на котором обращаются 3 ценные бумаги.

 

Титул

Р(Х)

Хх

х2

 

1

108.0

11.0

11.0

111.0

2

99.5

8.5

108.5

 

3

97.7

7.5

107.5

 

Какова величина суммы, которую Петр должен был бы максимально израсходовать на инвестицию, которая приносит возвратные потоки в объеме А'і = 3750, Х2 = 6750 иХз = 2500 руб.? Решите эту проблему, используя

цену эквивалентного портфеля,

цены примитивных ценных бумаг,

спотовые ставки процента.

* *

Эквивалентный портфель: эквивалентный портфель должен иметь то свойство, что он приведет в каждый момент времени к тем же самым возвратным потокам, что и инвестиция, которую нужно оценить. Для того чтобы определить, какие бумаги и в каком количестве для этой цели следует покупать и продавать, необходимо решить систему уравнений

3750= 11.0 пі + 8.5 ?i2+ 7.5 п3, 6750= 11.0 п.! + 108.5 712 + Ю7.5 п3, 2500 = Ш.Ощ.

Результаты выглядят следующим образом: п = 22.523, 77,2 = 3277.252 и пз = —3247.252. Петр получает портфель, который имеет те же возвратные потоки, что и инвестиция, если он покупает 22.523 единиц бумаги 1 и 3277.252 единиц бумаги 2 и при этом продает 3247.252 единиц бумаги 3. За этот портфель Петр должен заплатить

j

PV = £njP(X,-) =

 

= 22.523 ■ 108.0 + 3277.252 • 99.5 - 3247.252 • 97.7 = 11 262.49 руб.

Эта цена является одновременно ценой, которую ему максимально выгодно заплатить за инвестицию.

Цены примитивных ценных бумаг: цены примитивных ценных бумаг определяются с помощью системы уравнений

108.0=11.0ТГ1+     11.0 7Г2 + 111.0 7Г3,

99.5 = 8.5 7Г1 + 108.5 7Г2, 97.7= 7.5 7Г1 + 107.5 7г2.

Решениями являются:

тгі = 0.9580,    7г2 = 0.8420,    тт-л = 0.7946.

С учетом существующих здесь возвратных потоков справедливая цена инвестиции составляет

т

PV = ]TXt?rt = 1=1

= 3750 • 0.9580 + 6750 • 0.8420 + 2500 • 0.7946 = 11 262.49 руб.

Спотовые ставки процента: общая формула, с помощью которой мы определяем спотовые ставки процента, если известны цены примитивных ценных бумаг, выглядит как:

•Л" і

Пи = у -— 1-

Применение этой формулы к существующим здесь ценам Эрроу—Дебре приводит нас к результатам:

Пи = —^               1 = 0.04384,

0.9580

Г02 =*/0*420 - 1 = 0-08979'

г03 = ,7 —-        1 = 0.07965.

и 0.7946

Если мы дисконтируем возвратные потоки инвестиции со спотовыми ставками процента, мы получим цену, которую максимально выгодно заплатить Петру за инвестицию

т

ру = ^х4(1 + г04Г' =

t=l

3750   6750   2500    _ 11262 49

~~ 1.04384 + 1.089792 + 1.079653 ~      ' '

Значит, вычисленная и этим методом максимальная цена инвестиции составляет 11262.49 руб.

 

3.1.9. Форвардная цена Эрроу—Дебре

Представьте себе, что вы имеете дело со свободным от арбитража рынком капитала, на котором продаются и покупаются финансовые титулы со сроком обращения до двух лет. Ценные бумаги «обещают» возвратные потоки лишь к концу каждого года. Если этот рынок капитала является полным, то существуют цены примитивных ценных бумаг, которые нужно оплатить в момент времени t = 0 (спотовые цены Эрроу—Дебре). Естественно, вы можете также заключить форвардные контракты. Вы делаете это, если сегодня обязуетесь оплатить в момент времени t = 1 определенную цену, чтобы получить в момент времени t = 2 один рубль. Рассчитайте соответствующую форвардную цену Эрроу—Дебре.

* * *

Между существующими спотовыми ставками процента и форвардной ставкой процента при условии свободы от арбитража должно выполняться следующее соотношение: (l+ro2)2 = (l+roi)(l + r12).

Если это уравнение выразить через форвардную ставку процента, то это даст:

12

(1+г02)'2

1+г

1 + Г 01

Если мы подставим спотовые цены Эрроу—Дебре, то получим

2

 

1

_  тг2   _ 7Г1

~  ±-  ~ 7Г2 ' ті z

Если мы сейчас обозначим искомую форвардную цену 7гі2, то после новой подстановки через

 

V 7Г12           / 7Г2

мы придем к результату

Т12 = — •

 

3.1.10. Спотовые и форвардные ставки процента при свободе от арбитража

 

Пусть дан рынок капитала, на котором обращаются три ценные бумаги.

 

Титул

Р(Л')

Л'і

х2

А'з

1

98.5

8.0

108.0

 

2

102.0

9.5

9.5

109.5

3

100.0

109.0

 

 

Определите существующие спотовые и форвардные ставки. Какая структура ставок процента скрывается за ними?

Проверьте, является ли рынок свободным от арбитража.

 

* * *

1. Решение системы уравнения

8.0 тг, + 108.0 тг2   = 98.5,

9.5 тг! +- 9.5 7г2 + 109.5 7г3 = 102.0, 109.0 тг =100.0 приведет к

тлі = 0.9174,   7г2 = 0.844   и   тг3 = 0.7787.

Для существующих на этом модельном рынке спотовых ставок процента мы получаем

7-ої = — = —-           1 = 0.09,

ти 0.9174

г02 = I~~~ - 1 = 0.0884.

V         тг2

г03 = ? — - 1 = 0.0870.

V         7Г3

Структура ставок процента является обратной. Подразумеваемые форвардные ставки процента определяются следующим образом:

Па = — - 1 = 0.08G8,

7Г2

/7Г1     1 = 0.0855,

 

г23 = — - 1 = 0.0842. тгз

 

2. Так как ни одна из цен Эрроу—Дебре не является отрицательной и, кроме того, все ставки процента положительны, рынок является свободным от арбитража.

 

3.1.11. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги

 

Покажите в общем, что безразлично, оцениваете ли вы реальную инвестицию через цены примитивных ценных бумаг или с помощью эквивалентного портфеля. Исходите из того, что рынок капитала, на котором обращаются лишь купонные облигации А и В, является полным.

* * *

Для того чтобы можно было показать эквивалентность обеих концепций оценки, мы сначала должны вывести соответствующие уравнения оценки. Если обозначить через Х и Х2 возвратные потоки по инвестициям в моментах времени £ = 1 и £ = 2, то мы получим первое уравнение оценки для инвестиции

р(Хи Х2) = тгіХі + 7г2Х2. (3.2)

Так как рынок капитала является полным, цены примитивных ценных бумаг однозначно определены. При свободе от арбитража верно

р(Х?,Х2л) = щХ? + ж2Х£, (3.3) р(Х1д, Xf) = 7Г1 Xf + ж2Х2в. (3.4)

При этом Х(А (Xf3) обозначают возвратные потоки соответствующей облигации в момент времени t, а р(-) — рыночную цену этих бумаг. Для нахождения второго уравнения оценки мы используем следующий принцип конструирования эквивалентного портфеля:

Х1=пАХ1А +пвХ1в, (3.5) Х2 = пАХ? + пвХ$ (3.6)

при пА (пв), являющимся числовым значением для необходимых финансовых титулов. При условии свободного от арбитража рынка из этого следует, что возвратные потоки инвестиции имеют значения, равные

р(Хи Х2) = пМХ^Х*) + пвР(Хв, Хв). (3.7)

Оба уравнения оценки приводят в точности к тому же результату, если верно

щХг + тт2Х2 = пАР(Х*, Х2Л) + пвР(Хв, ХІ). Если подставить (3.3) и (3.4) в (3.7) и преобразовать его, то мы получим

р(Хі,Х2) = пА(щ Xf + 7г2Х24) + пв{ітхХв + п2Хв) =

= пА ттхХх + пв ттхХх + пА п2Х2 + пв тт2Х2 = = ттх{пАХ? + пвХв) + ir2(nAXf + пвХв)

и при учете (3.5) и (3.6)

р(Хі,Х2) = тт1Хі+ тт2Х2.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |