Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

3.2. теория арбитража в условиях неопределенности

Как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности допущение свободы от арбитража на рынке капитала является предпосылкой оценки финансовых титулов и инвестиционных проектов. Поэтому первая задача связана с вопросом о том, выполнено ли такое допущение. После этого мы обсудим способ функционирования методов оценки и следствия их применения.

 

3.2.1. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги

 

В мире с тремя возможными ситуациями существуют три рыночные ценные бумаги с приведенными в следующей таблице свойствами.

 

 

 

Титул

Возвратные потоки

Цена

 

 

 

 

 

Zi

z3

 

А

15

2

6

14.55

В

9

20

10

22.25

С

3

7

?

9.60

Ваше имущество составляет 4761.50 руб. Рассчитайте, какое количество рыночных ценных бумаг должно быть приобретено и/или продано без покрытия для того, чтобы вы получили доходы, зависимые от ситуации, величиной в 3015, 2105 и 3535 руб. Какова величина возвратного потока от ценной бумаги С, если фактически имеет место третья ситуация, а рынок является свободным от арбитража?

Рассчитайте цены примитивных ценных бумаг и проинтерпретируйте их.

 

1. У нас есть четыре определяемые величины, доли ценных бумаг искомого портфеля и неизвестный возвратный поток х. С помощью данных о рынке и значений имущества нам удастся построить следующую систему уравнений:

15.00пл + 9.00пд+ 3.00лс = 3015.00, 2.00 пА + 20.00 пв + 7.00 пс = 2105.00, 6.00 пА + Ю.ОО пв +    хпс =3535.00,

14.55 пА + 22.25 пв + 9.60 пс = 4761.50.

Решение системы приводит к долям ценных бумаг

пА = 150,    пв = -20    и    пс = 315 и к искомому возвратному потоку в сумме х = 9 руб.

2. Цены примитивных ценных бумаг мы определяем из

15 7ГХ+ 2тг2 + Стг3 = 14.55, 9 7тг + 20 772 + 10 тгз = 22.25, 3 7тх+ 7тг2 + 9тг3= 9.60

и получаем

7Г1 = 0.75,    тг2 = 0.6,    тгз = 0.35.

Если мы рассмотрим эти цены более тщательно, то выяснится, что за гарантированный возвратный поток в один рубль мы должны заплатить цену 7Г1 + 7г2 + 7г3 = 0.75 + 0.6 + 0.35 = 1.70 руб. Следовательно, на этом рынке существует отрицательная ставка процента. Если допущено держание кассы, то создаются возможности арбитража, несмотря на то что рынок является полным. Если мы продаем каждую из трех примитивных ценных бумаг в точности один раз, тогда мы сегодня получим гарантированный доход величиной в 1.70 руб. и одновременно обязуемся заплатить через год один рубль. Для того чтобы мы могли выполнить это обязательство, нам нужно сегодня положишь в кассу лишь один рубль, и благодаря этому удастся достичь арбитражной прибыли в размере 0.70 руб.

 

3.2.2. Структура портфеля и доходность портфеля

 

Пусть на рынке капитала существуют две ценные бумаги. Бумага 1 стоит 15 руб. и гарантирует 21 руб. (17 руб.) при вступлении в силу ситуации 1 (ситуации 2). Платежи по бумаге 2, которая стоит 25 руб., равны 20 руб. при вступлении в силу ситуации 1 и 40 руб. при ситуации 2.

В каком соотношении вы должны смешать обе бумаги для того, чтобы вы при любой величине имущества Vo могли бы получить гарантированные возвратные потоки? Определите количественное и стоимостное соотношения.

Рассчитайте доходность портфеля.

 

1. Возвратные потоки портфеля являются безрисковыми, когда они в каждой ситуации равны одной и той же величине. Это условие приводит к уравнению

21 ть + 20тг2 = 17 пх + 40п2-

Если данное уравнение выразить через щ, то это позволит получить формулу

Соотношение смеси надежного портфеля по количеству должно всегда составлять 5:1.

Стоимостная доля первого титула определяется как

 

Пір(Хі) + п2р(Х2)

5 п2р(Хі) 5n2p(Xi) + п2р{Х2)

5р(А-х) = ЬріХ^+ріХ,) 5 ■ 15 3

5-15 + 25 4

2. Для случая, при котором вступает в силу первая ситуация, возвратные потоки портфеля составляют

 

7ti • 21 + п2 ■ 20 = 5 7і2 • 21 + п2 ■ 20 = 125 п2.

Мы получаем те же самые возвратные потоки, если вступает в силу вторая ситуация, так как соответствующим образом сконструировали портфель. Необходимое вложение капитала составляет

 

П ■ 15 + тг2 • 25 = 5п2 • 15 + тг2 • 25 = 100 тг2.

 

Поэтому мы получаем доходность

125 тг2 г, = ——— - 1 = 0.25. ;     100 7г2

 

3.2.3. Оценка инвестиционных проектов

Фирма должна принять решение о том, осуществлять инвестиционный проект А или В. Обе инвестиции требуют вложения капитала в объеме 36 руб. Ожидаются три возможные ситуации через год, ситуации, при которых проекты принесли бы следующие возвратные потоки.

 

 

Zi

z2

Z3

 

40

20

СО

Хв

20

10

70

На рынке капитала обращаются три рыночные ценные бумаги, цены и возвратные потоки которых видны из следующей таблицы:

 

 

Титул

Возвратные потоки

Цена

 

 

 

 

Zi

z2

Z-i

 

1

8

3

2

4.55

2

2

6

5

3.80

3

4

0

0

1.60

Рассчитайте чистые сегодняшние стоимости обоих инвестиционных проектов и обоснуйте вытекающее из этого решение.

Фирма принадлежит двум пайщикам (i и i2) с различной расположенностью к риску. Долевые части составляют 32 и 08 \%. Первый пайщик хочет получить гарантированные доходы величиной в 100 руб., другой заинтересован в возвратных потоках, зависимых от ситуации, в объеме 200, 250 и 180 руб. Покажите, что оба пайщика выигрывают, если руководство фирмы реализует проекты с положительной чистой сегодняшней стоимостью.

 

* * *

Мы начнем с расчета цен примитивных ценных бумаг. С данными из примера мы получим

7г і = 0.4,       7т2 = 0.25,       7т3 = 0.3.

Рассчитаем чистую сегодняшнюю стоимость посредством суммирования умноженных на цену соответствующей примитивной ценной бумаги зависимых от ситуации возвратных потоков, вычитая из этого расходы на приобретение. Получаем

NPV^ = -36 + 40 • 0.4 + 20 • 0.25 + 60 ■ 0.3 = 3.0, NPVB = -36 + 20 • 0.4 + 10 ■ 0.25 + 70 • 0.3 = -4.5.

Нужно осуществить лишь инвестицию А. Тот, кто заинтересован в возвратных потоках, которые соответствуют проекту В, может дешевле купить их на рынке капитала.

Если пайщики откажутся от реальных инвестиций и обратятся вместо этого к рынку капитала, то они должны будут затратить для желаемых ими зависимых от ситуации доходов следующие суммы:

h :    100-0.4 + 100-0.25+ 100-0.3= 95.0 руб., i2 :    200 • 0.4 + 250 • 0.25 + 180 • 0.3 = 196.5 руб.

Если, наоборот, они примут решение в пользу реальных инвестиций, то сейчас должны быть осуществлены расходы величиной в 0.32 ■ 36 руб. для i и 0.68 • 36 руб. для І2. Так как заработанные с помощью ин-

 

вестиций возвратные потоки не совпадают с Желаемыми, то разницу нужно дополнительно купить на рынке капитала. Поэтому общие расходы инвестора і для получения запланированного им потока доходов составят

0.32 • Іо + 7ті(100 - 0.32X0 + 7Г2(Ю0 - 0.32Х2) + тг3(100 - 0.32Х3). С данными из примера это означает

0.32 • 36 + 0.4 ■ (100 - 0.32 ■ 40) + 0.25 • (100 - 0.32 • 20)+

+0.3 • (100 - 0.32 • 60) = 94.04.

Для другого инвестора соответственно получим

0.68 • 36 + 0.4 ■ (200 - 0.68 • 40) + 0.25 • (250 - 0.68 ■ 20) +

+0.3 • (180 - 0.68 • 60) = 194.46.

Сегодняшние расходы обоих лиц, принимающих решения, вследствие осуществления реальной инвестиции становятся меньше. Экономия для обоих соответствует произведению доли их участия в предприятии и чистой сегодняшней стоимости.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |