Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

4.2. решение «потребление—сбережение» и сарм

Большую значимость САРМ можно объяснить за счет теоремы разделения Тобина. Тобин показал, что решения об инвестициях и потреблении можно разделять также и в стохастических условиях. Если существует возможность капиталовложения без риска, то инвесторы независимо от того, как велико их капиталовложение, инвестируют в рыночный портфель и в безрисковую ценную бумагу. Индивидуальная расположенность к риску не играет роли для состава рискового портфеля и для рыночной цены, которую достигает риск в равновесии. Таким образом, теорема разделения содержит не только теоретическое обоснование для возможности делегирования решений о портфеле, но также обосновывает независимые от предпочтения решения менеджеров о рисковых инвестиционных проектах.

Наша цель состоит в том, чтобы аналитически корректно и в то же время доступно представить основные идеи САРМ. Для этого мы скрупулезно следуем подходу в учебнике и, таким образом, версии САРМ Моссина. Однако мы сведем количество рисковых финансовых титулов и инвесторов к минимуму. Для помещения сбережений имеются одна безрисковая и две рисковые ценные бумаги. На рынке действуют лишь два инвестора. Как образуется равновесие в этом упрощенном мире «одно благо — три ценные бумаги»? Теоретический анализ, необходимый для ответа на этот вопрос, будет проделан нами поэтапно с помощью следующих одна из другой частных задач. Анализ обрамляется одной вступительной задачей и набором заключительных задач. Первая освещает ограничения, с которыми сталкивается инвестор, принимающий решения на основе принципа «дисперсия— математическое ожидание». Последняя служит для изображения важнейших следствий из модели на примере конкретных данных и графиков.

 

4.2.1. Бюджетное ограничение

 

На рынке капитала существуют три ценные бумаги, которые можно идентифицировать через их денежный поток. Все титулы обращаются в t = О по одинаковой гарантированной ценер(Л'о) =p(A'i) = р(Х2) = 1.00 руб. Нулевая ценная бумага является безрисковым вложением и «обещает» возвратный поток в объеме Хо — 1.10 руб. При наличии двух рисковых ценных бумаг можно ожидать возвратные потоки в объеме Е[Х\] = 1.20 руб. и ЩХ2] = = 1.50 руб. Вашим начальным запасом являются:

потребительские блага в объеме v С0 = 2 • С0 = 20 000 руб.,

безрисковые бумаги в количестве по — 10 000 шт.,

рисковые титулы в количестве fii = 20 000 и п2 = 30 000 шт.

 

Сколько потребительских благ вы можете максимально потреблять в t = 0?

Как велико максимальное потребление в t = 1, если вы принципиально

 

откажетесь от рисковых вложений, а инфляция на рынке потребительских благ является нулевой? Вы принимаете свое решение о потреблении и сбережении на основе функции полезности L:(C'o.E[(7j], Var[Ci]). Объясните вербально и аналитически с помощью вышеприведенных данных начального запаса ограничения, которые вы должны соблюдать при максимизации своей полезности. Исходите сейчас из цены потребительского блага, равной '</'• Дисперсия возвратных потоков первого титула составляет 0.3, второго -0.5. Ковариация возвратных потоков имеет значение 0.01.

 

1. Стоимость вашего начального запаса составляет

ф-Со+р{Хо)-п0+р{Х])-Гі1 +р(Х2)-Г,2. (4.16)

После подстановки стоимости благ, количества штук и цен в (4.16) получим

20 000 + 10 000 + 20 000 + 30 000 = 80 000. Если все это расходуется в t = 0, то мы можем потреблять

80 000

: 40 000

2

единиц благ.

Если все 80 000 руб. сберегаются и будут помещены по безрисковой ставке процента г/ = 0.1, в t = 1 возможен уровень потребления, равный

80000- 1.1

             = 44 000

2

единиц благ.

Во-первых, в t = 0 нельзя потреблять и сберегать больше, чем на сумму, превышающую начальный запас. Во-вторых, нельзя накапливать никаких сумм или вкладывать в кассу и, в третьих, не допускается расточительство потребительских благ. Так как все цены сведены к единице, то начальный запас составляет 70 000 руб. При Со, являющимся спросом на потребительские блага, п() — спросом на безрисковую и тії,П2 — объемами спроса на рисковые ценные бумаги, ограничение для совокупного спроса в t — 0 выглядит следующим образом:

С0 + 710 +711 +«2 = 70 000.

И в t = 1 возможно лишь потребление зависимых от ситуаций возвратных потоков. Расточительство снова исключено. Аналитически ограничение можно записать как

С[ = но Хо + ні А'і + п2 Х2. (4.17)

Это зависимое от случайности ограничение необходимо теперь преобразовать в математическое ожидание и дисперсию будущих уровней потребления. Это необходимо, так как вы можете оценить будущие значения распределения потребления с позиции сегодняшнего дня на основе своей функции полезности лишь тогда, когда известны оба эти числа. Из (4.17) получается

ЦС{ = 710 (1 + rf) + щ Е[Л\] + п-2 Е[Л"2], = п0 • 1.1 + п ■ 1.2 + п2 ■ 1.5

и

Var'A] = n^Var'^] + п Var[.Y2] + 2щ п2 Cov[.V,, Х2], = п 0.30 + пі 0.50 + 2п.і "2 (-0.01).

4.2.2. Модель трех ценных бумаг 4.2.2.1. Данные рынка капитала

Объектами помещения ваших сбережений являются охарактеризованные в табл. 4.0 ценные бумаги. Рассчитайте с помощью этих данных математическое ожидание и дисперсию возвратных потоков для обеих рисковых бумаг. Каково значение ковариации возвратных потоков?

*

Мы получаем для обоих титулов математическое ожидание, дисперсию и ковариацию возвратных потоков следующие результаты:

E[.Yi] = 0.G • 1.05 + 0.3 • 1.2 + 0.1 • 1.1 = 1.1, Е[Х2] = 1.185,

VariAYj = 0.6 ■ (1.05 - 1.1)2 + 0.3 • (L.2 - 1.1)2 +0.1 ■ (1.1 - 1.1)2 = = 0.004502,

УагХ^ = 0.020022. Cov[Xb Х2] = 0.6 ■ (1.05 - 1.1) • (1.3 - 1.185) + + 0.3 ■ (1.2 - 1.1) • (1 - 1.185) + + 0.1 • (1.1 - 1.1) • (1.05 - 1.185) = = -0.009.

Так как участники рынка имеют однородные ожидания, данные в табл. 4.6 и рассчитанные здесь значения для всех участников рынка одинаковы.

 

4.2.2.2. Подход Лагранжа

Ваша функция полезности имеет вид:

U = J7(C'„.E[C'1],Var[r,1]).

и пусть рынок капитала характеризуется данными из табл. 4.6. Вашим начальным запасом являются потребительские блага и ценные бумаги, причем Со = 1000, fin = 50 000, hi = 10000 и п2 = 10 000. Единица потребительского блага стоит ф = 1. Опишите вначале проблему принятия решения и сформулируйте после этого соответствующий подход Лагранжа.

* * *

Вы стоите перед проблемой выбора одного из многих распределений потребительских благ, которое максимизирует вашу полезность. Выбор происходит посредством двух частичных решений. Вы должны

установить ваше сегодняшнее потребление Со и ваше сбережение и

распределить ваше сегодняшнее сбережение между рисковыми и безрисковыми активами.

Так как каждая возможная комбинация параметров и0, ?ч и п2 детерминирует определенное распределение потребительских благ, выбор «наилучшего» распределения происходит через оптимизацию этих трех параметров принятия решения. При решении этой задачи оптимизации вы должны соблюдать ограничения для двух моментов времени. В отношении момента времени t — 0 должно быть выполнено ограничение

С0 + »оу^ + Щ + п2 = ЮОО + 50000 • ~ + 10000 + 10 000.

В отношении момента времени t = 1 должно быть соблюдено бюджетное ограничение, которое мы можем описать с помощью математического ожидания

E(Ci] = n0 + п, ■ 1.1 + 712 • 1.185 (4.18)

и дисперсии

Var[Ci] = 77^ ■ 0.0045 + п -0.0200+ 2?гі тг2 • (-0.009) (4.19)

будущего потребления.' (4.18) и (4.19) можно включить в функцию полезности U(Cq,E[Ci], Var[Ci]), так что при формулировании подхода Лагранжа необходимо лишь учесть ограничения для момента времени t = 0. Мы получим в общем

С = U f Ср, п0 + щ E[Xi] + »2 Е[А2].

Е[СЧ]

n2Var[Xi] + п2 Var[A2] + 2 п} n2Cov[Xi. Х2] ) +

Var[C,j

+ к(Со + п0--— + їцр{Х1) + і12р{Х2) -

          1 + '7

- С0 - по т--1 пі 7>(А',) - п2 р(Х2)). (4.20)

1 + ?7 у

или после подстановки данных рынка капитала

C = U[ С0, п() + п 1.1 + п2 1.185, rifO.0045 + n-j 0.0200 + 2n, ??2 (-0.009) ) + +к ( 1000 + 50 000 • ^ + 10 000 + 10 000 - С0 - »0 у-^ - ?н - п2

 

4.2.2.3. Условия оптимальности

Выведите из функции Лагранжа, описанной в предыдущей задаче в общем виде, условия первого порядка для межвременного максимума полезности инвестора.

* * *

Функция для максимизации задана формулой (4.20). Дифференцирование по Со, по, П], п2 и к и приравнивание к нулю полученных таким образом выражений позволяют найти искомые условия первого порядка

 

дС       а"        1   .к = 0, (4.22)

дп0     дЩСі)      1 + Tf

' См. по этому поводу рис. 4.10 на с. 184. Для каждого по существует кривая трансформации. Инвестор ограничен тем, что он может выбрать лишь такие комбинации математического ожидания и дисперсии, которые «возможны», а значит, находятся на одной и той же кривой трансформации. Расположение и вид семейства кривых трансформаций были описаны формулами (4.18) и (4.19).

¥- = -^Е[Х1]+ (4.23)

+ ^T77rf2niVar^'i] + 2»2Cov[Av1,X2]) -«^0=0, dVar[Ci] V /

— = -^-Е[Х2] + (4.24) 0»2    0E[d]   1    J ^

+ 0-^/4 1 f2»2Var[X2] +2??1 CovfA'a.Xi]) - кР(Х2) = О, OVar[Ci] V /

ОН, 1

1— = Со + г?о —     + пР(А]) + Гіз р(А2) - (4.25)

С/К     1 + Гу

-С) ~ "о ^—г "і Р(А) - п2р(А2) = 0.

1 + г)

 

4.2.2.4. Решение «потребление—сбережение»

Докажите, что сумма, которую инвестор в совокупности сбережет, зависит лишь от безрисковой ставки процента.

 

Для этого доказательства мы используем оба условия первого порядка (4.21) и (4.22). Если выразить (4.21) через множитель Лагранжа

0U <9с0

то подстановка в (4.22) даст после преобразований

ди/дСц

= 1 + г/. (4.26)

ди/дЩСл

Решение о том, каков будет объем отказа от потребления в t = 0, или, иными словами, сколько нужно сберечь, будет принято только на основе безрисковой ставки процента. Условие (4.26) соответствует условию оптимальности для принятия решения о потреблении и сбережении в условиях определенности.

 

4.2.2.5. Оптимальные инвестиционные планы и уравнение цены

Рассмотрите условие первого порядка из задачи 4.2.2.3 и выведите соответствующее равновесию на рынке капитала уравнение цены.

Сконцентрируем внимание исключительно на условии первого порядка (4.23) и (4.24). На пути к желаемому результату мы должны пройти два этапа. Конец первого этапа отражается в равенствах

E[Xi] - (1 + rf)p(Xi) = h1 Var[A',] + п2 Cov[A',.Xj]J , (4.27) Е[А2] - (1 + rf)p(X2) = /і' (ri2 Var[A'2] + hi-Cov[A'2. A\] Y (4.28)

 

Отдельные шаги на пути к этому промежуточному результату выделены в тексте курсивом.

 

Удаление множителя Лагранжа. Для этой цели мы преобразуем (4.22) таким образом, что возникнет

К = ^Т(1 + Г^' (4-29)

и подставим данное выражение в (4.23) и (4.24). Это приведет к Е[АМ +    fV.   (2 „, Var[Aj + 2n2Cov[A,. А2

dU   (1+г/)р(А'1) = 0, (4.30)

0Е[С

^ТГТ Е^ +    1 (2т Var[A'2l + 2"] Cov[X2. X]

oE[Ci]            с/Vаг [С і J V

dU   (l + rf)p(X2) = 0. (4.31)

0Е[С

 

Упрощения. После этого с формулами (4.30) и (4.31) производятся следующие операции:

• вычитание

2          ( щ VarlXi] + «г CovfXi, А2;

<9Var[Ci] V

и

0U     ' п2 Var[A2] + ?ii Cov[A'2, А;

dVar[Ci] из обеих частей,

подстановка в скобки 0U/дЕС\ в соответствующих левых частях,

деление обеих частей на dU/0ЕС\. Таким образом, мы получим

ElX1]-(l+r/)p(X1) = = -2 dU/dVa^ U уаг[Хл] + no CovlX:, Х2]) , (1.32)

ди/дЦСх] V V

Е[А2] - (1 +»7)р(Л'2 8U/dVar[Ci] dV/дЦСі]

 

 

(2 Var[A2] + ті, Cov[A2. Ail  ■ (4-33)

 

Замещение. Теперь мы заменим предельную норму замещения между ожидаемым потреблением и риском потребления показателем

 

dU/ОЩС,]     х    1 v

причем /V подчеркивает зависимость от инвестора предельной нормы замещения. Новую полученную вспомогательную переменную подставляем в (4.32) и (4.33). Это наконец приведет нас к формулам (4.27) и (4.28).

Формулировка определений и правил расчета. Перед тем как мы начнем проходить второй этап, сформулируем целесообразные для этого определения и правила расчета. Нам необходимы приведенные в табл. 4.7 формулы. Дальнейшие преобразования. Если мы выразим (4.27) и (4.28) через h', то для инвесторов 1 и 2 получается

hl = E[Ai]-(l-7'/);)(A1)__

nVar[Xi] + «2Cov[Ab А2]

/t2_ Е^-д-г/Мхо

nfVarlAi] + n2CovXu A2]' Если мы преобразуем эти матрицы в обратные, то получим

1 _ niVar[Ai] +n2Cov[Ai, А2] h1" E[A1]-(l-r/)p(Ai)

Тогда суммирование дает

1      1     njVar[Ai] + 7г2Соу[Аь А2] + n2Var[A'i] + ?^Соу[Аь А2]

/г1     h2 E[Ai]-(l-r/)p(A

С учетом определения 1/Я = (l/hl) + (l/h2) после применения тождества ковариации из табл. 4.7 получаем:

1_ _ Соу[Аь (п + п)Хх + [п + п2)Х2] Н~~ Е[А1]-(1-г/)Р(А1)

Таблица 4.7. Определения и правила расчета

Доли портфеля

riip(A'i)

пі р(А'і) + ii2 p(X2)

п2р(Х2)

EH =

E[Xt p(Xi

Пі p(A'i) + n-2p(X2) Математические ожидания доходности

 

1   и E[f2]

A",

Var

- 1

Дисперсия доходности

Varfn] = Var

Varfr;

.P(A-i) Var[X2] p(A-2)2

"і p(Xi) Su

n2 p{X2)

 

E[X2] p(X2)

 

A-,

 

VarJXi P(Xi )2 (4.35) (4.36)

 

(4.37)

 

(4.38) (4.39)

Ковариация доходности и денежного потока

Cov[A'brm] =Cov[p(A>i)(l + n),fm] = p(A'i)Cov[l +fuf„

= p(X,)CQV[fUfm]

Ожидаемый денежный поток индивидуального

оптимального портфеля

Е[Хт]=ші E[A'i] 4- lj2 Е[Х2] Дисперсия денежного потока индивидуального

' Var[Ai] 4- и Var[X2] + 2 им uj2 Cov[X,, X2]

оптимального портфеля

Var[Xn

Тождества ковариации

ші Var[X,] = ui Cov[A'i, Xi] = Cov[Xi,u>i Xi] lj2 Cov[Xi, X2] = Cov[Xi, ui2 X2] Cov[Xi ,ui Xi] 4- Cov[Xi,o>2 X2] = Covj^Xi, (u> Xi 4- ^2 X2

= Cov[Xi.Xm]

uj Cov[Xi, Xm] 4- Ш2 Cov[X2, Xm] = Cov^tJi X, 4- uj2 X2^j , X

= Cov[Xm,Xm] = = Var[Xm]

 

(4.40)

 

(4.41)

 

(4.42)

 

(4.43) (4.44)

(4.45) (4.46)

В равновесии совокупное предложение ценных бумаг должно соответствовать совокупному спросу на них. Условие выполнено, если на предложенные на рынке денежные потоки существует спрос, так что верно

Xm = {n+n2l)Xl + {nl2 + nl)X2.

С учетом этого для Я мы получим выражение

E^l-fl-r/^A',)

Я =

Cov[^i,l,]

 

 

пр{Хх) + п2р(Хх) + п12р(Х2) + п2р(Х2) = р(Хп

(4.49)

 

после незначительной перестановки к

(1 + rf)p(Xm) = E[A'm] - HCov[X„„X,

 

(4.50)

Из )•„, = Xm/p(Xm) — 1 можно легко извлечь Х,„ и подставить в (4.50). Таким образом, мы получим

Я ■ Var[p(Am)(l + frn)] = E[p(Xm)(l + f„,)] - p(X,„)(l + rf).

Цена рыночного портфеля является постоянной, и поэтому ее можно переставить на место перед оператором математического ожидания, так что после деления на р(Хт) получаем выражение

Hp(Xm)Var[f„

1 +Е[.

 

и наконец

н _   Е[г„,)]-77 , p(Xm)Var[

Н определяется через рыночные величины независимо от инвестора. Если мы сейчас подставим Н и Хт в (4.47) и, кроме того, учтем (4.40), непосредственно получим искомую независимую от инвестора формулу цены

 

р(А)

E[*i

-   ff^'v   .-7м Cov[^.W(A„)(l + r„,)] p(Am)Var[?-„,)]

1 + '7

p(Xi)

Е[А\]

- ACov[A'b7'„,]

1 + 77

 

Цена p(X2) из (4.48) определяется совершенно аналогично.

 

4.2.2.6. Независимая от предпочтения структура портфеля

Докажите, что оптимальная структура рискового портфеля не зависит от функции полезности индивидуального инвестора и, следовательно, идентична для всех участников рынка.

 

Для доказательства того, что оптимальная структура рискового портфеля независима от инвестора, мы объединим (4.27) и (4.28) в матричную форму

'ЕЙ-г^АОХ      /  VarfAM      Cov[A,A2] /n[h'

KE[X2}-rfp(X2))     Соу[*2)Х,]      Var[X2]   / V'^',

Перемножение данной матрицы и матрицы, обратной матрице «дисперсия—ковариация», дает

/ Var[*!] CovfXj.A'zlX"1 /Е^І-СІ + г/ЖХОХ /nh' Соу[Х2)Хг]    Var[X2]   J       E[X2}-(l+rf)p(X2)J     2V J

Сейчас мы должны вспомнить, что при условии САРМ все субъекты имеют однородные ожидания. Значит, в левой части (4.51) находятся лишь наблюдаемые рыночные величины (эти величины одинаковы для всех инвесторов, если исходить из предпосылки однородности). Это позволит нам сделать следующее упрощающее действие:

(4.52)

/  Var[*i]    Cov[XbA2]   1   /Е[Х,]-(1 + rI)p(X])

Cov[A'2,Ai]    Var[A2]   /       E[X2] - (1 + rf)p{X2)J Из этой формулы с учетом (4.51) следует

і     в,   , в,

1     h'  ~ /V

причем вспомогательные переменные 0 и 02 не зависят от индивидуальных предпочтений инвесторов. Подстановка в (4.35)

 

"і = -й            ?          л          — = (1.53)

=  ' (4.54)

^p(A'0+tf2p(A2)

сразу показывает, что оптимальная структура портфеля ^ не зависит от инвестора. Равенство и2 = ш2 можно получить аналогичным образом.

 

4.2.2.7. Индивидуальный портфель и рыночный портфель

Покажите, что структура рискового оптимального портфеля каждого инвестора совпадает со структурой рыночного портфеля.

* *

*

Рыночный портфель состоит при наличии двух рисковых ценных бумаг и двух индивидуумов из долей П] и П2> причем

Q =      пр{Х) +nf p(A'i)  

1          п P(Xi) + n?p(A'i) + n2p(A2) + n22p(X2)

и

n  =     n p(X2) + iqp(X2)  

2          n p(X,) + n P(X!) + n p(X2) + nl p(A'a)'

Пусть совокупные сбережения индивидуального инвестора будут равны S. Вложенное с риском сбережение индивидуального инвестора обозначим 5,,. Для упрощения системы обозначений мы используем формулу

^=nip(A1)+n2p(X2)

для вложенного с риском сбережения инвестора 1 и

Sl=nv{X,)fr,22p(X2) для соответствующего сбережения инвестора 2. При использовании этого определения мы расширим ftj с помощью

Si/Si = 1   и   S2JSl = .

Получим

"і Р(-Уі) gl   і   "і Р(-Уі) g2

 

Так как для индивидуальной оптимальной доли портфеля верно

щр(Хі)

 

то (4.55) можно свести к

 

$и + S2

Тогда вынесение шх из знаменателя сразу покажет соответствие между оптимальной индивидуальной долей портфеля и соответственно взвешенной долей в рыночном портфеле

S} + s-

 

Уравнение

2= 2sr+^r 2

можно доказать аналогичным образом. Независимо от того, вложит ли инвестор один рубль или один миллион рублей, он всегда разделит сумму между обеими рисковыми ценными бумагами в соотношении ш : uj2. Из этого обязательно следует, что все сбережения в экономике, предназначенные для рисковых вложений, тоже будут распределены в таком же соотношении между обоими титулами.

 

4.2.2.8. Зависимая от предпочтения инвестиция в рыночный портфель

Докажите, что сильно нерасположенный к риску инвестор в оптимуме вложит более высокую долю своего портфеля в безрисковый актив, чем слабо нерасположенный к риску.

 

*

При Cq, являющейся оптимальным уровнем потребления, мы получим при учете цен потребительских благ и ценных бумаг оптимальные сбережения

S* = Со + т^- + ті! р(Х{) + п2р(Х2) - С0* = 1 + Г/

= т^2-+п1Р(Х1) + п2р(Х2). (4.56)

5* = щр(Хі) + п^РІХо) является значением рискового портфеля. Так как

2-dU/dVar[Cl] = E[f,„]-rf    1 =д 1 ди/дЕ[Сг} Var[f

при А, являющейся рыночной ценой риска, рискованно инвестируемую сумму можно также записать как

1          1          А. (4.57)

2 -dU/dV&r[d

dU/dE[Ci]

Подстановка (4.57) в (4.56) и деление на S* приводит к

 

~ 5«(1 +г/)    2 5* -dU/dVar[C\}   '            l' j

at//aE[Ci]

Из-за деления на S* в правой части находятся уже не абсолютные суммы, вложенные в безрисковые или рисковые активы, а соответствующие доли. Выражение

-dU/dVar[Ci] dU/дЕІСг]

в (4.58) представляет собой предельную норму замещения (MRS) между ожидаемым возвратным потоком и риском этого возвратного потока. Для сильно нерасположенного к риску человека MRS высока. Индивидуумы, которые являются настолько не расположенными к риску, имеют более низкую MRS. Так как MRS в (4.58) находится в знаменателе, рискованно вложенная доля тем ниже, чем выше MRS. Значит, сильно нерасположенные к риску люди инвестируют относительно большую долю своих сбережений в безрисковые титулы.

 

4.2.2.9. Уравнение доходности

Выведите из уравнения цены в задании 4.2.2.5 уравнение доходности.

 

С помощью зависимой от ситуации доходности ценной бумаги

X, .

Гі =     =          1

P(A-i)

и определения (4.40) уравнение цены можно записать и в форме

Если выразить данную формулу через р(Х), то это даст

 

Е[Д,]

1 + Tf + ACov[r!, 7~ш] '

 

При учете (4.37) эта формула преобразуется в

 

E[AjJ EJAjJ

1+E[7"i]     1 + rf + Cov[rurm]'

Образование обратной величины непосредственно показывает, что в равновесии на рынке капитала должно быть верным

 

Е[п] = /•/ + ACov[ri,r„,].

 

Очевидно, что ожидаемая доходность бумаги j зависит от двух детерминант, а именно

от безрисковой ставки процента г/ и

премии за риск.

Премия за риск сама по себе образована из «рыночной цены риска» (Е[г,„] -— r/)/Var[fm] и количества риска, а значит, ковариации доходности бумаги и доходности рыночного портфеля.

 

4.2.3. Оптимальная структура портфеля

Рассчитайте с помощью данных из табл. 4.6 оптимальные рисковые доли портфеля.

 

*

Так как мы имеем дело с матрицей 2x2, мы должны заменить цифры вдоль главной диагонали, поменять знаки чисел побочных диагоналей и, наконец,

Вначале мы рассчитаем матрицу, обратную матрице «дисперсия—кова-риация»

полученные таким образом числа разделить на определитель. Тогда мы получим

Аі Аг _ 1 /0.0200 0.0090 _ /2188.61 983.78 чАі    ^22У ~ 0.000009 1,0.0090   0.0045у) ~ , 983.78 492.15

и можем сейчас при учете

 

ЦХі] - (1 + rf)p(Xi) = 1.10 - 1.12 = -0.02,

 

ЩХ2] - (1 + г;)р{Х2) = 1.185 - 0.120 = 0.065

подставить в (4.52): ■

6»! = 2188.61 ■ (-0.02) + 983.78 • 0.065 = 20.1735,

02 = 983.78 • (-0.02) + 492.15 • 0.065 = 12.3144. Из (4.54) мы получим

 

Таким образом, оптимальный рисковый портфель имеет структуру uj = = 0.621 и uj2 = 0.379.

 

4.2.4. Оптимизация совокупного вложения

Определите с помощью результатов из задачи 4.2.3 количество безрисковых и рисковых ценных бумаг, на которые предъявляется спрос инвестором с совокупным начальным запасом в объеме 5000 руб. и оптимальным уровнем потребления в объеме 4000 руб., если он вложит половину своих сбережений в рисковые активы.

Как велики математические ожидания и риск потребления при этом портфеле?

 

*

1. Инвестор вложит 500 руб. в безрисковый титул и разделит остальные 500 руб. в соответствии с оптимальной структурой своего портфеля

между рисковыми титулами. То, сколько титулов он соответственно купит, мы можем рассчитать по формуле

сумма вложения • доля портфеля

п '        .

цена

Мы получим

500- 1 no = —j— = 560,

ТТТ2

500-0.6210

гц =                = 310.48,

500 • 0.379

п2 =                = 189.52.

2. Математическое ожидание потребления составляет

E[Ci] = 560 + 310.48 • 1.1 + 189.52 ■ 1.185 = 1126.1.

Для дисперсии будущего потребления получаем

Var[Ci] = 310.482 • 0.0045 + 189.522 • 0.0200 + +2 • 310.48 • 189.52 • (-0.009) = = 94.03.

 

4.2.5. Оптимальный портфель, рыночная цена риска и семейство кривых трансформации

На рынке капитала обращаются три титула, при этом цена каждого из них равна 1 руб. Безрисковая ставка процента составляет rt = 0.1. Обе рисковые бумаги можно описать посредством матрицы «дисперсия—ковариация»

Cov[A>1,X2]4     , азо _0_01

Var[X2'    '     -°-01 °-5°

 

и математических ожиданий денежных потоков Е[Х]] = 1.2 и Е[Х2] = 1.5.

Как выглядит матрица «дисперсия—ковариация» доходностей?

Какую структуру имеет рыночный портфель?

Как велики ожидаемые рыночные доходности и рыночная цена риска?

Какие возвратные потоки может ожидать инвестор, если он при сбережении в объеме 50000 руб. купит 40 000 безрисковых титулов, а остаток денег использует для приобретения рискового портфеля с оптимальной структурой?

5. Начертите в осях координат E[C*i] — о~С соответствующие суммам сбережений и вложений

S = 5000, Su = 5000,

S = 10 000, Su = 10 000,

S = 50 000, Su = 10 000

кривые трансформации. Покажите оптимальную позицию инвестора из 4.

Так как цена всех рисковых титулов приравнена к единице, матрица дисперсии и ковариации денежных потоков не отличается от соответствующих матриц доходностей. Мы покажем это при наличии двух ситуаций и двух ценных бумаг на примере дисперсии. Дисперсия денежных потоков определена через0

Var[X] = Чі(Хг - Е[Х])2 + q2(X2 - Е[Х])2.

Дисперсию доходностей можно описать с помощью

Xi-1    E{X]-lV       (Х2- Е[Х]-1ч2

і           1—) +Я2{—   Г

Сразу видно, что оба показателя эквивалентны.

Мы используем уже известное из задачи 4.2.3 уравнение определения оптимальных долей портфеля в случае двух ценных бумаг:

 

После подстановки конкретных значений мы получим

вг = 3.3356 ■ (1.2 - 1.1) + 0.0667 • (1.5 - 1.1) = 0.3602,

02 = 0.0667- (1.2 - 1.1) + 2.0013 ■ (1.5 - 1.1) = 0.8072, 0.3602

ш =                 = 0.3086.

0.3602 + 0.8072

Оптимальный рисковый портфель для каждого участника рынка имеет структуру ш = 0.3086 и и>2 = 0.6914. 3. Ожидаемая рыночная доходность составляет

E[fT„] =wiE[n] +u>2E[f2] =

= 0.3086 ■ 0.2 + 0.6914 • 0.5 = 0.4074.

Здесь индекс обозначает ситуацию, а не ценную бумагу.

Риск награждается рыночной ценой

            0.4074 -0.1    _

~ 0.30862 • 0.3 + 0.69142 • 0.5 + 2 • 0.6914 • 0.3086 • (-0.01) ~ = 1.1674.

4. При 10000 руб., которую инвестор вложит рискованно, и при оптимальной структуре рисковых активов, описываемой соотношением 0.3086 и 0.6914, покупаются 3086 титулов типа 1 и 6914 титулов типа 2. Отсюда создаются возвратные потоки в объеме10

<т{Х,

E[Ci] = Е[Х>]* = 40 000 ■ 1.10 + 3086 ■ 1.20 + 6914 • 1.50 = 58074 руб.

5. В нижней части рис. 4.10 показаны кривые безразличия для S = Su = = 5000 и S = 5Ц = 10 000. Если дополнительно к рисковой сумме вло-

ш См. рис. 4.10 жения Su инвестируются и 40 000 руб. в безрисковый актив, то кривые трансформации смещаются параллельно вверх на сумму 40 000 • (1 + + ?•/) = 40 000 -1.1 = 44 000 руб. Параллельное смещение изображено для Su = 10 000. Если все вложение с риском было бы помещено во второй титул, то ожидаемый возвратный поток составлял бы Е[Х] + . Позиция «риск—доходность» а*/Е* означает оптимум.

 

4.2.6. Позиция «риск—возвратный поток» при вариации вложения без риска

Валентина является инвестором, максимизирующим полезность; она отказалась от потребления величиной в 40 000 руб. и сталкивается с описанным в табл. 4.8 рынком капитала.

Как велики ее ожидаемые возвратные потоки, если она

Покупает 30 000 безрисковых титулов и остаток своих сбережений вкладывает с риском в соотношении ш : oj2 = 2 : 3?

При той же рисковой структуре портфеля не покупает безрисковых титулов?

Каким стандартным отклонением характеризуются возвратные потоки в первом случае, если ковариация между обеими рисковыми бумагами является нулевой? Проинтерпретируйте это число.

 

При 30 000 руб., являющимися вложением в безрисковый актив, Валентина может ожидать возвратные потоки величиной в

 

Е[Хр] = 30 000-1.08 + 4000 • 1.30+        • 2.40 = 44 800 руб.

Если она не покупает ни одного безрискового титула, то ожидаемые возвратные потоки составляют

24 000

Е[ХР] = 16 000- 1.30 + —-— • 2.40 = 49 600 руб.

3. Она имеет в первом случае риск, равный

Var[XP] = 40002 ■ 0.0625 + 30002 • 0.04 = 1 360 000, а[ХР] = 1166.19.

Значит, результаты в среднем отклоняются от математического ожидания на величину 1166.19 руб.

 

4.2.7. Оптимальный план потребления, сбережения и инвестиций

Родные брат и сестра Ирина и Евгений (И&Е) уже некоторое время помолвлены, но до брака еще далеко. Их будущие супруги — соответственно Геннадий и Фаина (Г&Ф) — попросили их представить свои межвременные планы потребления—сбережения. Только если ответы удовлетворительны, Геннадий и Фаина готовы окончательно дать свое согласие. Надеющиеся вступить в брак И&Е должны произвести точный расчет. Ирина делает это на основе своей функции полезности

U{C0,E[Ci],Var[Ci]) = 2 С*°5 + E[Ci] - 62.905 Var[Ci]

и своего начального запаса 2.81 денежных единиц.11 Расчеты Евгения базируются на функции полезности

U{C0,E[Ci],Va.r[Ci]) = 1.5С°'5 + ЩСх] - 38.97Var[Ci].

Его начальный запас составляет 3.1715 денежных единиц. Рынок капитала можно описать с помощью данных табл. 4.9.

1. Геннадий хочет узнать,

каково будет потребление Ирины в первом брачном периоде и сбережение во втором периоде,

сколько рисковых бумаг она возьмет в свой портфель,

Читатель, если захочет, может представить себе 1 млн руб.

• каково число безрисковых бумаг, и какую долю общей стоимости рискового портфеля Ирины будет иметь первая ценная бумага? 2. Фаина требует от Евгения то же самое.

 

1. Расчет Ирины можно представить по аналогии с задачей 4.2.2.3 на с. 170 через условие первого порядка

ас

дС0

: 2 ■ 0.5 • С0-° 5 - к = 0, (4.59)

Подпись: 1.1 - 62.905 (2 • 0.0045 -щ + 2- (-0.009) • п2) - к = 0, (4.61) 1.185 - 62.905 (2 • 0.02 ■ п2 + 2 ■ (-0.009) • щ) - к = 0, (4.62)

ос ас

дп2

дС 1

— = 2.81 - С0 - — ■ п0 - щ - п2 = 0. (4.63)

а к 1.1

• Благодаря возможности разделения функции полезности оптимальное потребление Ирины можно определить лишь через первые два уравнения. Верно

к — С0

■0.5

и, следовательно,

1 _ г--0-5 ■ — - О 1    ^о 1Л-0.

Решение позволяет получить Cq = 0.8264. Таким образом, оптимальное совокупное сбережение составляет S* = 2.81 — 0.8264 = = 1.9836.

' п является теневой ценой рискового вложения. Ее оптимальное значение

к = 0.8264-0-5 = 1.1 можно подставить в (4.61) и (4.62). Мы получим

0 = 1.1 - 62.905 ■ (2 • 0.0045 -щ+ 2- (-0.009) ■ п2) - 1.1, 0= 1.185-'62.905- (2-0.0200- п2 4- 2 - (-0.009) ■ щ) - 1.1.

Эти формулы являются системой уравнений с двумя неизвестными. Решение данной системы относительно щ и п2 даст желаемое Ириной количество рисковых ценных бумаг:

п = 0.6666, п2 = 0.3333.

С помощью этих значений определяется и величина вложенного с риском сбережения. Она составляет Su = 1. • Число безрисковых титулов мы получим через подстановку известных до сих пор результатов в (4.63). С помощью

 

2.81 - 0.8264                         71.0 - 0.6666 - 0.3333 = 0

после перестановки мы получим

по = 1.0809.

так что безрисковое сбережение составит 1.0809 • 1/1.1 = 0.9826. • Желаемые Ириной доли благодаря Su = 1 эквивалентны соответствующим количествам и составляют шх = 0.6666 и и>2 = 0.3333. Отдельные решения Ирины представлены на рис. 4.11. В левом квадранте принимаются решения о потреблении и совокупном сбережении. Справа изображено распределение общих сбережений между рисковыми и безрисковыми активами. Начальный запас Ирины составляет Со. Оптимальное потребление в первом периоде составляет Cq. Расстояние между Со и Cq отражает желаемое совокупное сбережение Ирины. Для каждой возможной величины 0 < Su < 1 существует одна кривая трансформации. Касательная — это геометрическое место всех идентичных портфельных структур. Она начинается у ординаты при 1.1 • 1.98 = 2.18. Здесь Su = 0. Оптимальный портфель Ирины порождает денежный поток в объеме

ЦХр}* = 0.9836 ■ 1.1 + 0.66 ■ 1.1 + 0.33 • 1.185 = 2.2

при дисперсии

Var[XP]* = 0.662 • 0.0045 + 0.332 • 0.02 + 2 • 0.66 ■ 0.33 • (-0.009) = 0.00022.

Значит, стандартное отклонение имеет значение ст[Хр]* = 0.0148. 2. Сейчас осуществим тот же расчет для брата Ирины Евгения. Его условие первого порядка выглядит следующим образом:

0

1.5 -0.5 -С0-°'5 -к,

(4.64)

0

о

0

1.1 - 38.97 • (2 • 0.0045 • щ + 2 • (-0.009) • п2) - к. 1.185 - 38.97 • (2 • 0.02 ■ п2 + 2 • (-0.009) ■ щ) - к,

3.1715 — Со — —— • по — 7ij — п2.

(4.65)

(4.66) (4.67)

(4.68)

• Для Евгения после использования (4.64) и (4.65) мы получим оптимальный уровень потребления Сс* = 0.4649.

Так как и в случае с Евгением теневая цена составляет к = 1.1, (4.66) и (4.67) изменяются:

О = 1.1 - 38.97 • (2 • 0.0045 • щ + 2 • (-0.009) • п2) - 1.1, 0 = 1.185 - 38.97 • (2 • 0.02 • п2 + 2 • (-0.009) • щ) - 1.1.

Решение этой системы уравнений дает для титула 1 число щ = = 1.0771, а для титула 2 — п2 = 0.5386. Таким образом, вложенное с риском сбережение оказывается равным Su = 1.0771 + 0.5386 = = 1.6157.

Безрисковые титулы покупаются Евгением на сумму

п0 = 1.1 ■ (3.1715 - 0.4649 - 1.0771 - 0.5386) = 1.2.

На них он расходует 1.2 • 1/1.1 = 1.0909 денежных единиц.

Доля первого титула в общей стоимости рискового портфеля составляет

1.0771

ld =               = 0.6666.

1.6157

Несмотря на то что начальный запас и функция полезности Ирины и Евгения различаются, они стремятся к одинаковой структуре своего рискового портфеля. Если вы внимательно изучали предыдущие задачи, то вы ведь и не могли ожидать иного, не так ли? Между прочим, если вы еще ожидаете хэппи-энд истории помолвки, то мы должны васогорчить. До начала полиграфических работ над этой книгой нам так и не удалось выяснить, были ли Г&Ф довольны ответом.

 

4.2.8. Оптимальный портфель при трех рисковых ценных бумагах

 

Пусть существуют матрица «дисперсия—ковариация» денежных потоков

/  Var[A\]     Cov[Xx,X2]    Cov^bA^h    / 0.30  -0.01   0.00

Cov^Xi]     Var[X2]  Cov[X2,X-i]   = [-0.01          0.50    -0.02

VCoviXs.Xi]  Cov[X3,X2]   Var[X3]   /      °-00 -°-02    °-40/

и вектор сверхдоходности

Подпись:
Цены всех обращающихся на рынке ценных бумаг пусть будут равны единице. Как будет выглядеть оптимальная структура портфеля?

 

*

Мы получим искомые уравнения с помощью матрицы, обратной матрице «дисперсия—ковариация»

'3.3350   0.0668 0.0033. 0.0668   2.0053 0.1003 ^0.0033   0.1003 2.5050/

и данного вектора сверхдоходности. Верны равенства

01 = 3.3356 • 0.05 + 0.0668 ■ 0.10 + 0.0033 • 0.07 = 0.1737,

в2 = 0.0668 • 0.05 + 2.0053 • 0.1 + 0.1003 • 0.07 = 0.2109

и

0з = 0.0033 • 0.05 + 0.1003 ■ 0.1 + 2.5050 • 0.07 = 0.1855. С помощью формулы

в

для   j = 1,2. 3

J    9х+в2 + 0з получается

_          0.1737

Wl ~ 0.1737+ 0.2109 + 0.1855 ~ •3°47' По аналогии с этим мы получим

из2 = 0.3699, w3 = 0.3254.

4.2.9. Инвестиция в безрисковый финансовый титул

Представьте себе мир с двумя одинаково вероятными ситуациями. Безрисковая ставка процента составляет г/ =0.1. Рыночный портфель имеет математическое ожидание, равное E[fm] = 0.2, причем в одной из обеих ситуаций можно ожидать доходность, равную 0.25.

Рассчитайте рыночную цену риска.

Критически обсудите свой результат.

 

Для определения рыночной цены риска нам необходима дисперсия рыночной доходности. Для этой цели мы сначала должны рассчитать, какую доходность имеет рыночный портфель во второй ситуации. Мы получаем

Е[гш] = 0.5 ■ г mi + 0.5 ■ rm2. Подстановка данных и решение относительно искомой доходности дает

0.2 - 0.5 0.25 плг

г,п2 =             tt-z—         = 0.15.

0.5

Поэтому при дисперсии, равной

Var[fm] = 0.5 ■ (0.25 - 0.20)2 + 0.5 • (0.15 - 0.20)2 = 0.0025,

рыночная цена риска составляет

= 02-01 = 0.0025

Если вы выясните для себя, что доходность рыночного портфеля в каждой ситуации выше безрисковой ставки процента, то вами найден ключ к разгадке этого вопроса. На безрисковый титул спрос не предъявляется. Расчет рыночной цены риска при этих данных хотя и возможен арифметически, но экономически совершенно лишен смысла. То же самое верно для каждого основанного на этом расчета, как, например, расчета стоимости капитала с учетом риска или сегодняшней стоимости. Поэтому читатель должен остерегаться оценивания инвестиционных проектов на основе данных, которые несовместимы с равновесной САРМ.

 

4.2.10. Доминирование линий рынка капитала

Представьте себе рынок капитала без безрисковой ценной бумаги. Объясните с помощью графика, почему все участники рынка одобрили бы эмиссию безрисковой ценной бумаги. Предпочтение участников рынка описывается функцией полезности

U* = [/'^E[;V],a[fp]^.

 

Даже если эмиссия одной безрисковой ценной бумаги поставит в лучшее положение одного единственного участника рынка, но не поставит в худшее никого, то все участники высказались бы за эмиссию. Это следует из принципа Парето. Рассмотрим вначале рис. 4.12 и исследуем ситуацию перед введением безрисковой ценной бумаги. До тех пор пока не существует такой бумаги, рационально действующие инвесторы занимают позицию на северной ветви кривой трансформации. Например, инвестор 1 занимает позицию D, а инвестор 2 — позицию Е. Так как наклон кривой безразличия U меньше наклона U2, то инвестор 1, очевидно, расположен к риску меньше, чем инвестор 2.

Ей

Если сейчас один банк эмитирует одну безрисковую ценную бумагу, то создастся новая «кривая возможности действий», прямая HG. Если инвесторы разделят свои финансовые средства между рисковым портфелем М и безрисковой бумагой, то они смогут достичь позиции на этой прямой. Сейчас вам следует проверить, можете ли вы свое положение улучшить, если займете позицию на новой кривой. С первого взгляда на рисунок видно, что это действительно так. Участник рынка 2 сейчас вложит свои средства в портфель F и достигнет U'2. В противоположность этому 1 примет решение выбрать смесь I на кривой безразличия U[. Тому инвестору, который уже прежде выбрал позицию М, будет безразлично, появится ли на этом рынке новая ценная бумага или нет.

Все участники рынка будут занимать позицию на новой прямой эффективности. Она называется линией рынка капитала. Рисковый портфель М держится всеми инвесторами и называется рыночным портфелем.

 

4.2.11. Возможность делегирования принятия решений о рисковых инвестициях

При условии, что САРМ верно, прокомментируйте следующее утверждение: «Менеджер акционерного общества при принятии своих решений должен учитывать отношение к риску каждого акционера».

* *

 

Так как все инвесторы независимо от своих предпочтений относительно финансовых инвестиций и реальных инвестиций того же типа требуют одинаковой доходности, для менеджера не является необходимостью при принятии своих решений учитывать отношение к риску акционеров. Полезность акционеров максимизируется тогда, когда менеджеры осуществляют лишь те инвестиционные проекты и покупают лишь те ценные бумаги, доходность по которым соответствует уравнению доходности САРМ. Существование этого уравнения является необходимым, хотя и не достаточным условием для того, чтобы в акционерных обществах можно было делегировать принятие решения о капиталовложениях менеджера без опасения того, что отдельные акционеры станут терпеть убытки. Уравнение доходности было бы достаточным лишь тогда, когда одновременно было бы гарантировано, что менеджеры стремятся к максимизации полезности акционеров. Правда, a priori и без соответствующей мотивации менеджеров мы не можем ожидать от них такого бескорыстного поведения.

 

Литература

Читателям, которые интересуются историей возникновения модели, нужно изучить работы: Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Review of Economic Studies. 1958. Vol. 25. P. 65-86; Sharpe W. F. Capital asset prices: a theory of market equilibrium // Journal of Finance. 1964. P. 425-442; Lintner J. The valuation of risky assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics and Statistics. 1965. P. 13-37; Mossin J. Equilibrium in a capital market // Econometrica.

1966. Р. 768-783. Очень сжатое представление САРМ дает: Schneeweifi Н. The role of risk aversion in the capital asset pricing model // OR Spektrum. 1994. P. 169-173. Тому, кто ищет более интуитивный подход, будут весьма полезны работы: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988 и Elton E. J., Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |