Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

4.3. сарм без безрисковой ставки процента

В САРМ существование безрисковой процентной ставки играет решающую роль. При допущении возможности вложения в свободный от риска актив мы можем вывести линейную связь между доходностью оптимального портфеля и его ковариационным риском. Но как обстоят дела, если не существует безрисковой ставки процента по надежному активу? Должны ли мы в этом случае отказаться от идеи, что можно найти уравнение доходности для рисковых финансовых и реальных инвестиций, или все-таки возможно выведение уравнения, похожего на отношение

Щгр] = rf -f (E[rm}-rf)0P?

Ответ на эти вопросы является ядром данного раздела о портфеле с нулевой бета. В противоположность обычно встречающимся в учебниках подходам мы при этом скрупулезно следуем оригинальной статье Фишера Блэка 1972 г. С помощью следующих одна из другой задач мы выведем уравнение доходности с нулевой бета

Е[гР] = Е[гг] + (Е[гт]-Е[гг])вР.

Для понимания отдельных этапов основополагающую роль вначале играет знание того, что

без возможности вложения в безрисковый актив каждый инвестор инвестирует в два независимых от инвестора базисных портфеля,

однако веса участия этих базисных портфелей в оптимальном портфеле зависят от индивидуальных (Е[г/>]. Уаг[7>>])-предпочтений.

Поэтому задачи выбраны таким образом, чтобы сначала обосновать эти тезисы.

 

4.3.1. Портфель, минимизирующий дисперсию, против портфеля, максимизирующего полезность

Вектор доходности (выраженный в процентах) имеет форму

Рассмотрим рынок капитала без безрисковой ценной бумаги. На рынке обращаются три рисковые ценные бумаги. Соответствующая им матрица дисперсии и ковариации выглядит следующим образом:

Покажите с использованием данных, что безразлично, оптимизируется ли структура портфеля с помощью

minVarfrp]   при дополнительных условиях

з з Е[гР] =5>да   и   1 = 5>,- (4.69)

 

или с помощью

3

max£/(E[r>], Var[fp])   при дополнительных условиях   1 = ^^. Пусть запланированная инвестором доходность портфеля будет равна 10 \%.

* * *

(4.69) дает функцию Лагранжа

С = Var [г я] + «і ^Е[гР] - 53 wJEfcl j + «2 ^1 - 1

= Var[fp] + «і ^10 - 5^jE[fj] j + k2 ^1 -        j •

Оптимизировать надо wj, w2, w3, «i и к2. Дифференцирование функции Лагранжа по этим переменным приводит к следующим условиям оптимальности

2wiVar[fi] 4- 2w2Cov[fi,f2] 4- 2cj3Cov[f1,r3] - «iE[fi] - к2 = 0, 2wiCov[f2, г{ 4- 2w2Var[r2] 4- 2w3Cov[f2, f3] - KiE[f2] - к2 = 0, 2wiCov[r3,fi] 4- 2o)2Cov[f3,f2] 4- 2w3Var[f3] - KiE[r3] - к2 = 0,

10 - (wiE[fi] 4- w2E[f2] + иізЩгз}) = °.

1 — (u>x + uj2 4- из) = 0.

Мы сконцентрируем внимание на первых трех. Посредством умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, получаем

шЛ     I  0.0317 -0.0037-0.0085 /Е[п]

и*    = 0.5/ci    -0.0037   0.0661   0.0371      Е[г2]    4- (4.70)

Мз)     V-0.0085   0.0371   0.1304/ Е[г3]/

/  0.0317-0.0037-0.0085 4-0.5к2   -0.0037  0.0661   0.0371 . -0.0085   0.0371 0.1304/

Доли портфеля еще зависят от обоих множителей Лагранжа к и к2. Поэтому мы подставляем

и* = 0.5/ti (0.0317 ■ 11.2 + (-0.0037) • 8.3 + (-0.0085) ■ 9.6) +

+0.5к2 (0.0317 + (-0.0037) + (-0.0085)), ш*2 = 0.5кі ((-0.0037) • 11.2 + 0.0661 ■ 8.3 + 0.0371 • 9.6) +

+0.5к2 ((-0.0037) + 0.0661 + 0.0371), шз =0.5кі( - 0.0085- 11.2 + 0.0371 • 8.3 + 0.1304-9.6) +

+0.5к2( - 0.0085 + 0.0371 + 0.1304)

в оставшиеся условия оптимальности и получаем 0.5кі = 8.68 и 0.5к2 = — -73.08. Соответствующие векторы структуры выглядят следующим образом:

'ш*Л /0.341' w2    = °-112 у3)     V 0.547,

Теперь мы используем оба подхода к оптимизации. При /х, являющимся множителем Лангранжа, функция имеет вид

С = U(Щгр], Var[fp]) + (j, ^1 - J2uJ^j ■

Условием первого порядка оказывается

иЕЩгі] + 2lV(wiVar[ri] + w2Cov[fi,f2] + w3Cov[fi,f3]) - ц = 0, UEE[r2] + 2Uv(oJiCov[f2,f1] + w2Var[f2] + w3Cov[r2, f3]) - p = 0, UEE[h] + 2f/v(w1Cov[r3,ri] + w2Cov[f3,f2] + w3Varfr3]) - //. = 0.

ui + ui2 + ^'з = 1-

После перестановки и умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, оптимальный вектор портфеля описывается через

и    /  0.0317-0.0037-0.0085 ,^ім шо I = —ту-    -0.0037  0.0661   0.0371    ( Е[г2] ) + (4.71) 2Uv -0.0085   0.0371 0.1304/

0.0317-0.0037-0.0085 + -уу- [ -0.0037   0.0661 0.0371 Wv   -0.0085   0.0371   0.1304/

Подходы (4.70) и (4.71) определяют наилучший вектор портфеля для одного и того же инвестора с Е[гр]-Уаг[гр]-предпочтением. Из-за того, что, как матрица дисперсии и ковариации, так и вектор доходности содержат независимые от инвестора рыночные данные, оба метода оптимизации приводят лишь тогда к тому же результату, когда

кі_ _    Ue      к2 _ i

Т ~~ ~2Uv   И   Т ~ 2LV'

Если мы для подставим число к — 17.36 и для гдг = к2 = -146.16 и после этого рассчитаем доли, то получим известный уже нам результат ш* = = 0.341, w2 = 0.112, ш3 = 0.547. Тем самым показано, что при использовании минимизации за множителем Лагранжа скрываются индивидуальные предельные нормы замещения. Первый множитель к представляет норму замещения между математическим ожиданием и риском, которую имеет анализируемый инвестор в оптимуме. А к2 нужно интерпретировать как индивидуальную теневую цену одной дополнительно инвестируемой денежной единицы. Лишь эти теневые цены являются специфическими для инвесторов и определяют в зависимости от соответствующей функции полезности разные оптимальные векторы портфеля.

 

4.3.2. Независимые от предпочтения базовые портфели

 

В экономике существуют два инвестора 1 и 2. Покажите, что каждый инвестор инвестирует в точности в два портфеля, если не существует возможности безрискового вложения. Исходите и далее из того, что в совокупности существуют три возможности рисковых вложений.

 

*

Для доказательства мы используем условия оптимальности подхода минимизации из задачи 4.3.1. Сначала посмотрим на создание портфеля инвестора 1. Чтобы не делать громоздкой систему символов, мы откажемся от обозначения отдельных инвесторов, поскольку пока этого не нужно для понимания. Наш инвестор выбирает в соответствии с (4.70) структурный вектор с максимальной полезностью

и> = 0.5К1 (0цЕ[г i] + і2Е[г2] + 0ізЕ[7-3]) + О.5к2(0ц + 012 + 0із), ш*2 = О.5кі(02іЕ[г і] + tf22E[f2] + tf23E[r3]) + 0.5k2(t?2i + d22 + tf23), ul = О.5кі(0зіЕ[п] + i?32E[f2] + tf33E[f3]) + 0.5к.2(і931 +tf32 + i?33),

причем все i)kj — это элементы матрицы, обратной матрице дисперсии и ковариации. Как уже известно из задачи 4.3.1, в оптимуме верно

UE /і

 

Для того чтобы видеть, что избранные два базисных портфеля независимы от инвестора, мы расширим соответствующие правые части уравнения определения для структурного вектора. После умножения первого члена на

ZU Eti ''хЛ'/. = 1

е -=1 EL, "^ь:

и второго на

Ej=i E*=i    _ ^

Е., = 1 Efc=l '^.7

получим

 

Ej=i Е^=і "fcJEFjJ     j=i fc=i

 

Z^j = i l^k=i       j=l fc=l

4          v          '

«1

3     3   3 3

w2 =0.5«i ^ ^t?frjE[fj]/i2 + 0.5K2y^^t?fcjg2.

j=i fc=i           j=i fc=i

3     3   3 3

^ = 0.5ki        і К г,;//;., + 0.5k2 ^ l9fcJ-y:i'

j=ifc=i            j=ifc=i

Так как портфельные доли w* должны в сумме равняться единице, то после сложения трех вышеприведенных уравнений мы получим

l=w*+w2+^= (4.73)

3     3   3 3

= 0.5м      Ц 'V№-](fti + /і2 + Лз) + 0.5к2 ^ ]Г    +92+ 5з).

j = l A-=l        J = l fc = l

Так как

hl + h2 + h3 = ^ Г1 k3  1 JJ = 1, (4.74)

9і+й+9з = =§Ц^Ц^ = 1, (4-75)

Ej=i EA: = 1 "A-.?

мы можем проинтерпретировать <?., и /і, как доли портфелей, которые мы хотим назвать базисными портфелями ЯиС cjj и h} определяются лишь через рыночные данные дисперсии, ковариации и математического ожидания лежащих в их основе ценных бумаг. Значит, они не зависимы от инвестора. Подстановка (4.74) и (4.75) в (4.73) приводит к

3     3   3 3

1 = 0.5/ї! ^ ^ 'V/Efal ' 1 + °-5к2     ^ ' L

Следовательно, мы должны суммировать соответствующие доли вложений в базисные портфели для каждого u>j и для каждого инвестора таким образом, чтобы получить единицу.

Если мы сейчас вспомним нашего второго инвестора, то сможем при использовании надстрочного индекса 2 записать максимизирующий его полезность вектор структуры как

3     3   3 3

cjf=о.ък2 53 53 tffcj-Efoi/H + о.ъ4 53 53 Vkjgi,

j=i fc=i j=ifc=i

3     3   3 3

u*22 = 0.5к2 53 53 dkjE[rj]h2 + 0.5k2 53 53 $k]g2,

j = l k=         j = l fc=l

3     3   3 3

іоі2 = 0.5n 53 53 dkjE[fjh3 + 0.5k2 53 53 0kjg3.

j=i t=i j=i fe=i

Инвестор 2, так же как и инвестор 1, инвестирует в оба базисных портфеля С? и Я. Однако доли участия базисных портфелей в специфических для инвестора оптимальных портфелях различны. Эти доли определяются соответствующими предельными нормами замещения.

 

4.3.3. Зависимые от предпочтений портфели инвесторов

 

Предположим, что оба базисных портфеля имеют структуру

(fti, Л2, Л3) = (1/3,1/3,1/3)   и   (51,52,5.,) = (1/2,-1/4,3/4).

Инвестор 1 планирует вложить 25\% его средств в Н. Инвестору 2 хотелось бы продать второй портфель на 50 \% без покрытия.

Рассчитайте наилучшие векторы структуры для 1 и 2.

Какие условия должны быть обязательно выполнены этими векторами для нерасположенного к риску инвестора?

* * *

1. Наилучший портфель инвестора 1 описывается через

WV   Л/3   /  1/2      / 0.4583

С41    = 0.25 • I 1/3   + 0.75 .1-1/4   =1 -0.1041 .

US1/   1/3/   V W    °-6458/

Для инвестора 2 соответствующее уравнение выглядит следующим образом: •

[<      /1/3.     /  1/2 /0.250

[ujf    = 1.5 ■    1/3   + (-0.5) •   -1/4   =   0.625 .

Ц2/      1/3/   V  3/4/ .125/

2. Нерасположенные к риску инвесторы никогда не инвестируют в неэффективные портфели. Значит, все смеси, которые образуются через комбинацию обоих базисных портфелей, должны быть эффективными. Они находятся к «северу» от абсолютно минимального по дисперсии портфеля и имеют как более высокую ожидаемую доходность, так и более высокую дисперсию.

 

4.3.4. Рыночный портфель и базисные портфели

На рынке капитала действуют лишь два рыночных субъекта. Оба инвестора владеют имуществом Vі и V2. Покажите, что рыночный портфель тоже является комбинацией обоих базисных портфелей.

* *

 

Мы должны лишь суммировать данные, относящиеся к обоим инвесторам. Если мы обозначим соответствующие индивидуальные доли в портфеле Я с 71, то для вектора структуры рыночного портфеля верно

!      Vі 2 V2

ili ~ шз yi + у2 + wj yi + у2

= (tV1 4-у2 +7V +V*)hj +

(           Vі        V2

+ (J1 - 71)      + (! - ^yV^y-2 У'і-

Множители, на которые необходимо умножать hj и д}, известны после реализации индивидуальных программ оптимизации. Их сумма составляет единицу. Следовательно, рыночный портфель тоже является комбинацией базисных портфелей Я и С

 

4.3.5. Выведенные базисные портфели

Существуют два новых базисных портфеля. Пусть один из этих базисных портфелей будет рыночным портфелем Ы при /3,„ = 1. Второй портфель назовем Z. Пусть он характеризуется следующим свойством

pz = Соу[г„гт] = 0 Var[rm]

и тем самым является портфелем с нулевой бета.

1. Покажите, что оба портфеля Я и С? можно трансформировать в новые базисные портфели, т. е. в рыночный портфель и портфель с нулевой бета.

Можно ли вектор эффективных портфельных весов изобразить как комбинацию рыночного портфеля и портфеля Z?

Какая связь существует между доходностью наилучшего портфеля инвестора 1 и /3 этого портфеля?

 

*

yi + v2    ' Vі + V2

Vі V2 С = (1-71)т7Т-^75 + (1-72'

1. Из задачи 4.3.4 известно, что рыночный портфель является комбинацией базисных портфелей Я и С С помощью новых символов

 

£,т = 7 —                   + 7                 

*»«       '   Т/1    і   Т/2  Т '

'yi + v2    v      ' 'Vі +V2 можно записать вектор структуры рыночного портфеля как

Для этого вектора структуры верно /37„ = 1. Сейчас мы взвесим оба базисных портфеля таким образом, что создастся вектор структуры одного портфеля с нулевой бета. Пусть эти веса будут равны Ц и тогда искомый структурный вектор с нулевой бета можно изобразить как

 

Строки обоих векторных уравнений можно попарно соединить в системы уравнений с двумя неизвестными hj и g-j. Для первой строки получаем

 

или

'hA = (w CV'AV

,9i) i il) U. Аналогичный метод для всех hj и gj позволит получить вектор структуры базисных портфелей как комбинацию новых базисных портфелей, рыночного портфеля и портфеля с нулевой бета.

Структурный вектор эффективного портфеля можно выразить через рыночный портфель и портфель с нулевой бета. Для уяснения этого начнем с определения матрицы, обратной матрице портфельных весов,

Подстановка в (4.72) приводит к

з з

^=о.5«! ^^гадг'ЖхГА + х7^) +

j = l fc=l з з

+0.5к2^^^(хлА+х^і) j=i fc=i

и после перестановки к

/33       з     3

и>{ =   0.5кг ]Г J2 вк,ЦгАх™ + 0.5к2 Е Е        Пі +

V         j=l fc = l         j = llv = l /

/33       З     3

+  0.5k,      E '9^ENX™ + 0.5k2 J2 E ^ *i-

 

Так как x™ + X™ = 1 и Хл + Xg = 1> множители взвешивания от Пі и z дают в сумме единицу. Портфельные доли ш*2 и можно извлечь аналогичным способом.

3. Каждый эффективный портфель со структурными долями ш* можно изобразить в соответствии с уравнением (4.76) через рыночный портфель и портфель с нулевой бета. Если обозначить символом а1 точно описанные в задаче 2 веса для индивидуального инвестора, то можно создать следующую связь между бета базисного портфеля и «наилучшим» портфелем инвестора

0P=a1pm + (l-a1)0z, PP = al -l + {-al)-Q,

 

При а1 = 0Р зависимую от случайности доходность специфического для инвестора оптимального портфеля можно описать как

 

Гр=0рТт + {1-Рр)т*.

После применения оператора математического ожидания мы получаем

Е[гР] = 0PE[fm} + (1 - 0p)E{fz}. Если мы сделаем в этой формуле перестановку

E[rP]=E[f2] + (E[rm]-E[f2])/3p,

то тем самым будет доказано, что доходность каждого оптимального портфеля линейно зависит от своего 0р. Место безрисковой ставки процента заняла доходность портфеля с нулевой бета.

4.3.6. Выравнивание «коротких» и «длинных» позиций

Исходите далее из двух рыночных участников с имуществом Vі и V2. Покажите, что первый базисный портфель, в который инвестируют участники рынка, лишь тогда совпадает с рыночным портфелем, когда при портфеле с нулевой бета «короткие» и «длинные» позиции всех участников рынка в сумме дают единицу.

* *

 

Если мы обозначим первый базисный портфель U и соответствующие индивидуальные доли в нем а1, то для совокупной суммы, вложенной в ценную бумагу 1, верно

uiVl + JV2 = a1 V'ui + (1 - o^V'zj + a2V2m + (1 - a2)V2Zi. (4.76)

Если «короткие» и «длинные» позиции всех участников рынка должны быть выровнены, то стоимость проданных без покрытия в экономике портфелей с нулевой бета должна соответствовать стоимости купленных портфелей этого типа. Верно

(l-a^ZjV1 = -(l-a2)ZlV2

и, следовательно,

(1-а2) = -^(1-«1)       а2 = 1 + ^(1 -а1). Подстановка в (4.76) и перестановка дают

ujV1 +u2V2= (а1 Vі + (1 + ^(1-а}))У2^щ +

+ ((1-а1Ж1-^(1-«І)^і.

Фактор z равен нулю, так что после дальнейшего преобразования можно записать

u)Vl + ujV2 = (ftV1 + (1 - al)Vl + V2)Ul = = {Vl +V2)Ul.

Наконец, мы еще разделим это уравнение на совокупное имущество всех рыночных участников и получим таким образом

ojIV+^V2 0

 

На рис. 4.13 изображены позиции с продажей без покрытия (справа от М) и без такой продажи (между М и абсолютно минимальным по дисперсии порт-

Подпись: ЩГР]
Рис. 4.13. Кривая рынка капитала без безрисковой ставки процента

 

фелем). Если стоимость проданных без покрытия портфелей с нулевой бета в экономике (соответствует получению рискового кредита) совпадает со стоимостью совокупно купленных смесей этого вида (предоставление кредитов с риском), первый базисный портфель должен быть рыночным портфелем.

 

4.3.7. Доходность ценной бумаги и бета ценной бумаги

Покажите, что и для отдельной ценной бумаги действует линейное отношение между доходностью и риском.

* * *

Для доказательства нам необходимо два из трех условий оптимальности из задачи 4.3.1. Если мы выберем первые два, то верно

2wiVar[fi] + 2w2Cov[fi,f2] + 2w3Cov[fb f3j - «iE[fi] - к2 = О, 2wiCov[f2, fi] + 2w2Var[f2] + 2w3Cov[f2, f3] - «iE[f2] - к2 = 0.

Сделаем перестановку при учете правила расчета ковариации, сведем эту систему к

2Cov[fі, fp] - кіЕ[гі] -«2 = 0, 2Cov[f2, rp] - «iE[f2j -«2 = 0 и после этого вычтем второе уравнение из первого, гр является доходностью индивидуального, эффективного портфеля. Так как результат

2Cov[rurP] - 2Cov[f2.fP] = м(Е[п] - E[f2])

верен для любых ценных бумаг и любых эффективных портфелей, при учете того факта, что рыночный портфель сам по себе является эффективным, заменим г на fj, г2 на i и гр на fm. Тогда мы получим

2(Cov[fj,rm] - Cov[fi,fm]) = Ki(E[fj] - E[fi]).

Наконец, мы еще используем то обстоятельство, что соотношение верно как для отдельных ценных бумаг, так и для портфелей, и заменим сначала г, на г2

Соу[г,,гт] - Cov[r2,rm] = ^(Е[г,] - Е[гг]), (4.77) =о

 

Cov[fm,rm] = ~(Е[гт] - Е[гг]).

4          v          ' 2

=Var[?m]

Вынесение 0.5«i дает

п к Var[fri

0.5«1 —

Е[г,„]-Е[гг]" Сейчас мы заменим 0.5кі в (4.77)

 

и сведем к виду

 

= E[f,] + (E[fm]-E[fs])&.

Таким образом, и для отдельных ценных бумаг соблюдается линейное соотношение между риском и доходностью.

 

4.3.8. Минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета

 

Объясните, почему инвесторы вкладывают только в минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета.

Каждый портфель с нулевой бета свободен от систематического риска и приносит поэтому доходность Е[гг]. Поэтому на первый взгляд кажется, что инвесторы инвестируют в любые портфели с этим свойством. Однако с помощью образования портфелей в случае двух ценных бумаг можно показать, что осуществляются вложения лишь в минимальный по дисперсии портфель этого типа.

Доходности портфеля с нулевой бета независимы от рыночной доходности. Поэтому мы можем проинтерпретировать рыночные портфели и портфели с нулевой бета как независимые друг от друга ценные бумаги. Для каждой смеси из любого портфеля с нулевой бета и рыночного портфеля существует одна кривая трансформации. Соответствующие позиции «доходность—риск» определены через два уравнения

 

Щгр] = aE[rm] + (1 - а)Е[гг]

 

и

Var[r>] = a2Var[fTO] + (1 - a)2Var[f*].

 

E[fP]

м

Если Уаг[ггі] < Var[r22], то для любого а и таким образом для любой доходности портфеля Щгр] верно неравенство Var[fp!] < Var[f>2]. Линия трансформации неминимального по дисперсии (второго) портфеля с нулевой бета располагается справа от кривой трансформации для минимального по дисперсии (первого) портфеля с нулевой бета (ср. рис. 4.14). Все инвесторы держат эффективные смеси этих обоих «типов ценных бумаг», ковариация которых составляет ноль. Это означает, что они позиционируют себя на кривой трансформации, которая находится ближе всех к оси ординат. Таким образом, возможны лишь комбинации из рыночного портфеля и портфеля с минимальной дисперсией с нулевой бета.

 

4.3.9. Расчет наименьшего по риску портфеля с нулевой бета

 

На рынке капитала без возможности вложений в безрисковые активы существуют лишь два инвестора. Инвестору 1 хотелось бы разделить свое имущество Vі = 200 000 по равным долям среди трех ценных бумаг с матрицей дисперсии—ковариации

0.24    -0.10 0.25^ -0.10      0.75 0.32 0.25      0.32 0.12,

Инвестор 2 владеет 300 000 руб. Он инвестирует эту сумму на 50\% в ценную бумагу 1, на 37.5\% — в ценную бумагу 2 и на 12.5\% — в ценную бумагу 3.

Рассчитайте рыночный портфель.

Рассчитайте портфель с минимальной дисперсией и с нулевой бета.

 

1. Вектор структуры рыночного портфеля можно определить через

 

Мы получаем

/ПЛ /0.4333 П2   =   0.3583 . Пз/ .2083/

2. Для портфеля с нулевой бета должно быть выполнено уравнение

Cov[f~,fTO] = (и>х     и)2     (-uJ- и)2)) ■

0.24    -0.10   0.25 /0.4333 -0.10      0.75   0.32      0.3583   = 0. 0.25      0.32   0.12/ .2083/

Сложение дает

 

0.1202^1 + 0.2921^2 + 0.2480 • (1 - wi - w2) = 0,

и с учетом этого

w2 = 2.8979ол - 5.6257. Для упрощения обозначения мы сейчас определим

а = 5.6257,       б = 2.8979.

Формула дисперсии портфеля из трех ценных бумаг выглядит следующим образом:

Var[f>] = u;2Var[f"i] + гола^Соу^!, f2] + 2w1o;3Cov[r1, г3] + +cj^Var[f2] + 2w2CJ3Cov[f2,f3] + w|Var[f3].

Сейчас при учете u>3 = 1 — ал — о»2 мы подставим в это выражение полученное соотношение и показатели ковариации:

Var[fP] = uj ■ 0.24 + 2ол • (б^л - a) ■ (-0.1) +

+ 2ол • (1 - ил - (bu>i - a)) ■ 0.25 + (бач - «)2 ■ 0.75 + +2 • (бал -a)-{-u>i- (бал - a)) ■ 0.32 + + (1 -uji - (bu>i - a))2 ■ 0.12.

Дифференцирование no ujx дает нам в качестве условия для минимума

dV^rp^ = Ш1 . 0.24 + ((бал - а) + ал • б) • (-0.1) + аал

+ ((1 - ал - (бал - а)) + ал (-1 - Ь)) ■ 0.25 + (бал - а) ■ b ■ 0.75 + + (6(1 -ал - (бал - а)) + (бал - а)(-1 - 6)) -0.32 + + (1 - ал - (бал - а)) • (-1 - б) • 0.12 = 0.

Упрощение дает после повторной подстановки значений для а и б

ал = 0.0387.

Соответствующая доля второй ценной бумаги равна

и>2 = 2.8979 • 0.0387 - 5.6257 = -5.5135.

Наконец, при

о;3 = 1 - 0.0387 - (-5.5135) = 6.4748

минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета однозначно определен.

 

Литература

 

САРМ без возможности вложения в безрисковый актив была разработана в: Black F. Capital market equilibrium with restricted borrowing // Journal of Business. 1972. Vol 45. P. 444-455. Представление этого варианта САРМ можно найти также в: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988 и: Elton E. J., Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |