Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

6.1. европейские опционы

В учебной литературе принято сосредоточивать внимание на европейских опционах на бездивидендные акции. Мы будем следовать этому дидакди-чески испытанному методу при решении первых трех задач, причем мы перейдем от простой модели «двух моментов времени—двух ситуаций» через биномиальную модель к модели Блэка—Скоулза. Кроме того, мы хотим уяснить для себя, каким образом цена опциона на покупку (опциона колл) зависит от главных определяющих ее факторов. Далее будет показано, что с точки зрения одного владельца акции безразлично, хеджирует ли он с помощью опциона колл или опциона пут, если оба опциона оцениваются лишь на основе справедливой цены.

 

6.1.1. Модель «два момента времени—две ситуации»

 

Исходите из наличия только двух моментов времени / = 0 (сегодня) и t = 1 (через год). Предположите, что акция, курс которой через год или повысится на 12\%, или снизится на 5\%, обращается по цене 650 руб. Безрисковая ставка процента составляет 4 \%.

Какую цену вы заплатили бы при этих условиях за опцион, предоставляющий владельцу право покупки акции в момент времени t = 1 по сегодняшней цене?

Проинтерпретируйте псевдовероятность того, что курс акции повысится.

Покажите, что любая цена опциона колл, отличающаяся от найденной в п. 1, приведет к возможности арбитража.

 

* * *

Для того чтобы рассчитать цену опциона колл Со, мы можем использовать уравнение оценки

С0 = —!— (pCu + (l-p)Cd

 

в котором Си (С,{) представляет зависимый от ситуаций денежный поток опциона при повышении (понижении) курса акции, в то время как р обозначает псевдовероятность для случая повышения курса и 77 — безрисковую ставку процента. С помощью и — 1 + ги = 1.12 и d = 1 + + га = 0.95 мы рассчитаем зависимые от ситуации денежные потоки

Си = max (S0 и - К, 0) = шах (050 • 1.12 - 050, 0) = 78. С = max (So d - К. 0) = max (G50 • 0.95 - 650.0) = 0,

причем So — это сегодняшний курс акции и К — цена исполнения. Из определения псевдовероятности

»7 ~ г<]

V =     

ru - 'V;

получаем

0.04 -(-0.05) = 0_09 = у    0.12-(-0.05) 0.17

Если мы подставим все это в уравнение оценки, то тогда получим

С0 = -4гт • (о.5294 • 78 + 0.4706 ■ о) = 39.71 руб. 1.04   V /

Псевдовероятность не содержит никакой информации о том, с какой вероятностью ожидает лицо, которое оценивает опцион, повышение курса акции. Следовательно, эта цифра и не оценивается, а рассчитывается из ожидаемой доходности акции и безрисковой ставки процента.

Название «псевдовероятность» основывается, с одной стороны, на том факте, что р в условиях свободы от арбитража является — как и любая другая вероятность — числом, находящимся в интервале между нулем и единицей. С другой стороны, можно показать, что нейтральные к риску лица, принимающие решение, должны ожидать повышения курса акции в точности с вероятностью р. Для таких инвесторов ожидаемая доходность акции должна была быть в точности так же велика, как и безрисковая ставка процента, и действительно мы имеем

pru + (1 - p)rd = 0.5294 ■ 0.12 + 0.4706 • (-0.05) = 0.04 ;

'7-

3. Для демонстрации того, что любая другая цена опциона на покупку открывает возможности арбитража, мы покажем, что из акции и безрискового капиталовложения можно сконструировать портфель, который по своим зависимым от ситуации денежных потоков не отличается от опциона колл. Для этой цели мы проинтерпретируем безрисковую ставку процента, равную 4 \%, таким образом: сегодня облигация обращается по цене 100 руб., а через год за счет ее продажи удастся получить гарантированный доход в объеме 104 руб. Если мы обозначим символом ?гs количество приобретаемых акций и пв — количество приобретаемых облигаций, то тогда для эквивалентного портфеля должна быть верной система уравнений

ns ■ 728.0 + пв ■ 104.0 = 78, ns ■ 617.5+ ?2Й ■ 104.0= 0.

Первое (второе) уравнение обеспечит совпадение зависимых от ситуации денежных потоков эквивалентного портфеля и соответствующих денежных потоков потоков опциона на покупку в том случае, если курс акции повысится (понизится). Используя правило Крамера, мы получим для структурных переменных эквивалентного портфеля

7S.0 0.0

728.0 617.5 104.0 104.0

104.0 104.0 0.7059

 

Подпись: 104.0 104.0

71 в =

728.0 78.0 617.5 0.0

728.0 617.5 = -4.1912.

Эквивалентный портфель является «синтетическим опционом на покупку». Его цена, как показывает табл. 6.1 и, кроме того, задача 1, составляет 39.71 руб. Если цена фактически обращающегося на рынке опциона отличается от цены синтетического опциона, то тогда вы извлечете арбитражную прибыль посредством покупки (продажи) фактических опционов и одновременной продажи (покупки) созданного нами опциона.

6.1.2. Рентный опцион

 

На рынке капитала обращается бескупонная облигация, владелец которой по истечении п = 3 периодов получит платеж величиной в 100 руб. Кроме того, на рынке продается и покупается европейский колл на этот титул, срок обращения которого заканчивается в периоде v = 2. Цена исполнения определена равной К — 95 руб.

Существует возможность предоставления или получения кредита на один период по фактически действующей ставке процента. Сегодня она составляет г0 = 0.05, но по истечении времени будет менять свой уровень, а именно таким образом, как показано на рис. 6.1. Мы обозначим существующую в момент времени t в ситуации s безрисковую ставку процента символом 7ts.

Определите зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной облигации.

В каких ситуациях будет исполнен опцион колл? Одновременно рассчитайте зависимые от ситуации платежи по опциону.

Сопоставьте системы матричных уравнений для расчета цены примитивных ценных бумаг Trts и рассчитайте эти цены.

Какую стоимость имеет опцион колл сегодня?

Далее, в качестве примера мы рассчитаем ту стоимость, которая образуется в момент времени t = 2 при условии, что наступит ситуация s = 3. Мы назовем эту стоимость Х2з.

В конце срока своего обращения (t, = 3) бескупонная облигация будет погашена за 100 руб. Значит, в момент времени t — 2 облигация имеет еще остаточный срок погашения, равный 1 году. Если к этому моменту времени безрисковая ставка процента составляет г2з = 0.04, то мы должны в течение года дисконтировать на основе этой ставки процента, вследствие чего получаем

Х23 = ЮО- 1.04-1 = 96.15.

Европейский опцион колл будет исполнен в том случае, если X2f > К. Поэтому верно

С2я = max (Х2„ - А',0).

Таким образом, мы получаем следующие зависимые от ситуации денежные потоки

С2       С22 С23 С-24

0.00    0.00    1.15    3.04 •

Чтобы выяснить цены примитивных ценных бумаг в обсуждаемом здесь случае, можно составить три системы уравнений. Выплачиваемая (сегодня) цена Эрроу—Дебре для требований на 1 рубль в момент времени t в ситуации я обозначается символом тг,,.

Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми денежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупонная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное вложение по существующей сегодня ставке процента г о = 0.05. Поэтому в матричной форме запись системы уравнений выглядит следующим образом:

Х\    Хі2  _ Л^О

(6.1)

и с цифрами из нашего примера

87.34   94.2б   ЛпЛ _ /86.38 1.05     1.05J ' ^тгі2У ~~ V L0°

В результате получаем

7ги _ /87.34   94.26-1   /86.38 _ /0.4898 тг12У — V 1-05     1.05у     ' ^ 1.00J ~~ 1^0.4626^ '

Теперь давайте обратимся к анализу требований, которые возникают в момент времени t = 2. Очевидно, необходимо различать два сценария. • Первый сценарий характеризуется тем, что в момент времени t = = 1 безрисковая ставка процента повысилась до ?-п = 0.07. Тогда в момент времени t = 2 могут наступить лишь ситуации 1 и 2. Сколько денег мы должны заплатить сегодня, чтобы быть в состоянии при этом сценарии в момент времени t = 1 купить бескупонную облигацию? Это, очевидно, тгцХц = 0.4898-87.34 = 42.78. Тогда денежные потоки в момент времени t = 2 составят или 92.59, или 94.34 руб. Но если мы хотим быть в состоянии вложить в момент времени t = 1 один руб. по безрисковой ставке процента 7-ц = 0.07, то нам нужно заплатить сегодня 7Гц = 0.4898 и получить в момент времени t = 2 не зависимые от ситуации 1.07 руб. Отсюда можно вывести следующую систему уравнений в матричном виде:

Х2        Х22    /ягЛ _ (пцХц

1+7-ц      1 + гп)     я22) ~ ТГП

Она имеет решение

Лг2Л _ /92.59 94.34-1 / 42.78 \_ /0.2310 7г22) _ V L07     L07/      .4898у ~ ^0.2267/

• Для второго сценария аналогично имеем

Х23        Х24 _ /яхЛ _ (ъ2Ху2

1+Г12      І4-Г12У     V 7Г24 /  — і 7Г12

(6.2)

 

(6.3)

с решением

/тг2з _ /96.15 98.04 / 43.60 /0.2267 7г24у ~ V L03     L03/      V0.4626J ~ ^0.2224/

4. Стоимость опциона колл удается получить с помощью умножения характеризующих его зависимых от ситуации денежных потоков на цены Эрроу—Дебре и суммирования по всем ситуациям

s

Со = ^ C2s 7t2s =

.5=1

= 0.00 ■ 0.2310 + 0.00 ■ 0.2267 + 1.15 ■ 0.2267 + 3.04 • 0.2224 = = 0.94 руб.

 

6.1.3. Биномиальная модель

 

Формула, которая подходит для расчета теоретической цены опциона на покупку, выглядит следующим образом:

 

Co = SV]T ("У(1-Р)

 

причем к — это количество повышений курса акций в течение срока обращения опциона.

Проинтерпретируйте отдельные члены этой формулы и опишите в деталях способ выведения этой формулы оценки из экономической модели.

Предполагается, что курс акции в течение ближайших четырех периодов соответственно или повысится на 12 \%, или снизится на 15\%. Акция обращается сегодня по цене, равной 155 руб., а безрисковая ставка процента составляет 6.25\% . Рассчитайте с помощью вышеприведенной формулы теоретическую цену опциона на покупку с базисной ценой 180 руб., если она должна быть оплачена через четыре периода.

 

* * *

1. Необходимо проинтерпретировать формулу для расчета стоимости опциона на покупку в рамках биномиальной модели. В этой формуле действующий курс акции обозначен символом So, цена исполнения — К, число субпериодов до погашения опциона — п, ставка процента субпериода — г/, доходности акции в отдельных субпериодах — г„ и га и псевдовероятность — р = '/Z^'l • Параметр а, наконец, означает количество направленных вверх биномиальных шагов, которые должен осуществить курс акции для того, чтобы исполнение опциона колл при погашении было выгодным.

Ядро экономической модели, из которого можно вывести вышеприведенную формулу оценки, можно объяснить на основе так называемой модели «два момента времени—две ситуации». Эта модель основана на предположении, что опцион колл нужно оценить в момент времени t = = 0 и сроком его обращения является момент времени t = 1. Лежащий в основе опциона колл курс акции сейчас составляет S0 либо повышается до So ■ (1 + ru), либо снижается до So ■ (1 + ?•,;)• Таким образом, оцениваемый опцион колл в момент времени t = 1 имеет или стоимость Си = max(S0(l +г„) - Л',0), или стоимость С, = nmx(S0(l +'',/) - Л',0). С помощью принципа свободной от арбитража оценки можно показать, что в этом случае справедливая цена опциона колл составляет

С0 = г1—•(рСи + (1-р)С(/ 1 + г/ V

или в другой форме

 

При этом символ Е[-] означает псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл в конце срока обращения. Если мы перенесем эту идею на случай биномиальной модели с п. шагами, то выйдем на аналогичное уравнение оценки в форме

 

Со=(~-Е[С;,]. (6.4)

Если курс акции осуществит А- повышений и (п — А) снижений, то по истечении п субпериодов он примет значение

S„ =So-(l+r,lf(l + rdy-k.

а стоимость опциона колл в конце срока обращения при тех же условиях составит

С„ = max(S'o(l + 7-u)*(l + rd)"-k - Л',0).

Описанная в рамках биномиальной модели ситуация наступит с вероятностью

11 '   к (л „п-к

 

Таким образом, псевдоматематическое ожидание стоимости опциона колл по истечении п субпериодов составит

 

- Р)п~к ■ max (S0 ■ (1 + r„)fe(l + и)п~к - К, 0)

к=0

Подстановка в исходное уравнение (6.4) приведет после дальнейших алгебраических манипуляций к вышеуказанному уравнению оценки.

2. Для того чтобы можно было делать выводы из уравнения оценки с данными из задачи, мы сначала рассчитаем псевдовероятность р при

 

ru-rd      0.12 + 0.15

и после этого количество минимально необходимых повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Мы получим это, если выразим формулу

S0 иа' dn~a' = К через о'. Логарифмирование и перестановка приведут к

'    і   /       К      /і   (1 +г"

а = In   -—     —    / In

S0{l+rj)" J J   ■ \ + rd

 

V155-0.85-1 J J V0-85

0.7996 _o

=                      = 2.8987.

0.2758

Следовательно, необходимы a = 3 повышений курса акции для успешного исполнения опциона колл. Далее мы вычислим значение члена

E(:)^(i-pr-ji+r")ni+rrf)n"

kj'        у (1Ч-г/)"

А-=и

и получим

А     „ ч   „ „, 1.123-0.851     /4        ,        (1 1.124 ■ 0.85°

0.78730.213] —— +       0.7874 0.213°     — = 0.8629.

З/         1.06254        4J 1.06254

Соответственно получаем для

ІИ (fc)23^1 ~рУ1~к = Qjo.7873 0.2131 + Qjo.787'1 0.213° = 0.7990.

Если наконец все это подставить в уравнение оценки, то для теоретической стоимости опциона колл мы получим

С0 = 155 • 0.8629 - 180 • 1.0625"4 • 0.7990 = 20.90 руб.

 

6.1.4. Модель Блэка—Скоулза

 

Акция одного предприятия котируется 8 января по цене 245 руб. В тот же день можно было продать и купить опцион колл этой акции со сроком обращения до 15 июня того же года с базисной ценой, равной 260 руб., по цене 6.10 руб. Соответствующая безрисковая годовая ставка процента составляла

т j = 7\%.

Опишите связь между номинальным и соответствующими годовыми ставками процента при повышении ставки процента и определите номинальную безрисковую ставку процента.

Рассчитайте теоретическую цену опциона колл с помощью модели Блэка—Скоулза при допущении, что моментная дисперсия акции составляет 2 \%.

Если бы вам задали вопрос, превышает ли подразумеваемая дисперсия 2 \%, то что бы вы ответили и как бы вы обосновали свой ответ?

 

Если номинальную годовую ставку процента обозначить Rj, а соответствующую годовую ставку процента — rj, то при постоянстве начисления процентов верно

/     R "' 1 +г/ = lira    1 + — =

•т->оо у         т J

= eRf.

Если эту формулу выразить через Rj и подставить в нее соответствующие значения, то это даст

 

Rf = ln(l +77) = In 1.07 = 6.77 \%.

Формула Блэка—Скоулза для расчета теоретической цены опциона колл в данном случае выглядит следующим образом:

С0 = S0N(dl)-K(l + rf)-T N(d2)

при

1п(У/Л+(1п(1+г/)+0.5а2)Г /-

di =     -j=       —   и   d2 = «і - cry Т.

При этом T — это (измеренный в годах) срок обращения опциона, а2 — моментная дисперсия доходности акции, 77 — соответствующая безрисковая ставка процента и Лг() — стандартизованное нормальное распределение.1

В литературе формула Блэка—Скоулза часто предлагается и при использовании номинальной безрисковой ставки процента." В промежутке между 8 января и 15 июня находятся 157 дней, так что мы имеем дело с остаточным сроком обращения, равным Т = ~ = = 0.4361 лет. Остальные данные можно извлечь прямо из задачи. Таким образом, мы получаем

ln(245/260) + (In 1.07 + 0.5 • 0.02) • 0.4361

d, = —            -           )           —,       -                       = -0.2736

v/ІШ VO-4361

 

d2 = 0.2736 -/0Т02 V0.4361 = -0.3670.

Далее необходимо определить значения стандартизованного нормального распределения для этих аргументов. Для этой цели мы осуществим интерполяцию между значениями таблицы. Подходящей формулой интерполяции в случае иг < и < и2, если даны N(ui) и N(u2), является

N(u) = N{u2) + " ~ 42 ■ (N(4,) - N(u2)).

V 1 ~ 112

Для расчета N(—0.2736) мы обращаемся к соседним значениям таблицы и осуществляем подстановку. Это дает

N(-0.2736) = 0.4013 + -°-2'36 + 0-25 . (0.3821 - 0.4013) =

v          ;           -0.30 + 0.25    v ;

= 0.3922.

Совершенно аналогично для N( — 0.3670) мы получим

N(-0.3670) = 0.3632 + ~°-Л6<0 + °-3j . (0.3446 - 0.3632) =

v          '           -0.40 + 0.35    v '

= 0.3569.

Подстановка в формулу Блэка—Скоулза даст наконец

С = 245 ■ 0.3922 - 260 ■ 1.07-0-1361 • 0.3569 = 6.01.

В этом случае верна формула

С = SoA'(di) - Kc-R'T N{d2

при

(S0/K) + (Rj + 0.5 a2) T

dl =     Ц=      '—   и   d2 = dx-osfT.

as/T

 

3. Под подразумеваемой дисперсией понимается значение моментной дисперсии, для которой теоретическая модель оценки дает цену опциона колл, в точности соответствующую фактически наблюдаемой цене.

При моментной дисперсии, равной 2 \%, теоретическая стоимость опциона колл (6.01 руб.) находится ниже фактически выплачиваемой цены (6.10 руб.). На основе того факта, что теоретическая стоимость опциона колл с увеличением дисперсии растет, подразумеваемая дисперсия должна быть больше 2 \%.

 

6.1.5. Детерминанты цены опциона

Исследуйте с помощью так называемой биномиальной модели при использовании следующих данных, какое влияние на теоретическую стоимость опциона колл окажут:

увеличение срока обращения,

рост сегодняшнего курса акции,

рост базисной цены,

рост безрисковой ставки процента,

увеличение изменчивости.

Ограничьтесь при этом числовым исследованием. Одновременно дайте правдоподобное экономическое объяснение поведению, наблюдаемому вами в числовом примере:

So = 300 руб. — сегодняшний курс акции, К = 330 руб. — базисная цена, п = 2 периода — срок обращения,

г/ = 6\% — безрисковая ставка процента, 7-„ = 11 \% — выгодная доходность акции, rd = 3\% — невыгодная доходность акции.

* * *

Теоретическая стоимость опциона колл зависит от пяти влияющих факторов, которые можно систематически изучать с помощью биномиальной модели. Для этой цели мы исходим из уравнения оценки

 

-A'(l+r/)-'.^(")pfr(l-^)»-fe

к=а ^ '

при

г! - td  ,           1 + ги

Р=-                  И        р =р— ,

Ги - rd            1 + Vf

обозначающих псевдовероятность и модифицированную псевдовероятность, и изменяем отдельные параметры. При использовании названных выше данных стоимость опциона колл составляет Со = 10.38 руб. (у нас нет здесь возможности представить этот расчет).'5 Каким образом влияют систематические изменения детерминантов на стоимость опциона колл, мы можем увидеть в табл. 6.2. В отдельности верно следующее:

Чем больше срок обращения, тем выше вероятность наступления в конце срока ситуаций, в которых исполнение опциона колл рекомендуется. Значит, при прочих равных условиях, опцион колл с увеличением срока обращения становится ценнее.

Чем выше сегодняшний курс акции, тем более ценен опцион колл. Это можно объяснить тем, что вероятность исполнения опциона колл с положительным результатом тем выше, чем больше положительная разность между курсом акции и ценой исполнения.

Чем выше цена исполнения, тем менее ценен опцион колл. Обоснование этого тезиса аналогично предыдущему пункту.

Чем выше безрисковая ставка процента, тем более ценен опцион колл. Обоснование данного тезиса на основе биномиальной формулы только лишь кажется простым: чем выше ставка процента, тем ниже сегодняшняя стоимость цены исполнения и (так как она включается с отрицательным знаком в уравнение оценки) тем выше стоимость опциона колл. Такая аргументация, естественно, не учитывает, что безрисковый процент тоже входит в псевдовероятность р = (г/ — г,/)/(г„ - rd), т. е. р' = р (l + ru)/(l + ry). Однако мы не приходим к другому результату и при учете влияния безрискового процента на псевдовероятность.

Под изменчивостью в модели Блэка—Скоулза понимается дисперсия доходностей акции в конце срока обращения опциона. В биномиальной модели рост изменчивости выражается в том, что разность между ги и г,{ растет. С увеличением изменчивости растет количество случаев, при которых выгодно исполнить опцион колл с положительным результатом. Это должно сделать его более ценным. Данный аспект показан и в нашей таблице расчета, в которой мы при прочих равных условиях допустили повышение выгодной доходности акции.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |