Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

6.2.1. опционы колл и пут в сравнении

Покажите, что преждевременное исполнение американского опциона колл на акции невыгодно, если предполагается, что акционерное общество во время срока обращения опциона не выплачивает дивиденды.

Объясните, почему не может быть верным тот же результат для американского опциона пут.

* * *

1. В противоположность европейским опционам, которые можно исполнять лишь в последний день срока обращения, американские опционы предоставляют право преждевременного исполнения. Поэтому они как минимум так же ценны, как и европейские опционы. Если символом Са {Се) обозначить стоимость американского (европейского) опциона колл, то для любого момента времени t всегда можно задать соотношение

Ca<t > Ce<t. (6.5)

Для исполненного в момент времени t («мертвого») американского опциона колл мы пишем C^t и можем задать его ценность в этом моменте времени при

C*t = max {St - К,0).

в то время как для исполненного в момент времени t («живого») американского опциона колл мы применяем способ записи С^л. Наша цель — показать, что при всех условиях должно быть верным

 

Это означает, что если не учитывать последний день срока обращения опциона, то «живой» американский опцион колл в каждом моменте времени более ценен, чем «мертвый» американский опцион колл. Поэтому никогда не выгодно преждевременно исполнять опцион колл. Американский опцион колл должен быть в точности таким же ценным, как европейский. Так что верно

 

Для оценки рыночной стоимости «живого» американского колла Cj?t рассмотрим два портфеля А и В в момент времени t. Портфель А состоит лишь из одной акции, в то время как портфель В — из европейского опциона колл и безрискового вложения денег величиной в К по ставке процента rj. Сегодняшние стоимости обоих портфелей в момент времени t при 0 < t < Т и зависимые от ситуации возвратные потоки изображены в табл. 6.6.

Из сравнения обоих портфелей вытекает, что в ситуации S/ > К оба имеют одинаковую стоимость и что В доминирует над портфелем А, если наступает ситуация St < К. Поэтому сегодняшняя рыночная стоимость портфеля В не может быть меньше, чем рыночная стоимость А, и мы получаем в качестве нижней границы стоимости для европейского опциона колл

Ce,t + tf(l + r/)-<T-t> >Sr,

или, если мы выразим это уравнение через Се(,

Ce,t >st-/c(i+r/)-(T-".

Так как опцион колл не должен быть исполнен, мы можем для него записать

Ce,t > max (St - K(l + rf)-(T-,),0)

и вследствие соотношения (6.5) нижняя граница стоимости для живого американского опциона колл составит

C^t >max(St-X(l+r/)-(r-<),0).

Кроме того, если ставка процента положительна, для всех остаточных сроков обращения (Т — t) > 0 должно соблюдаться

К > К (1 + т7Г<т-°

и из этого непосредственно следует

 

что и требовалось доказать. 2. Между опционами колл и пут есть одно существенное различие, которое является решающим для преждевременного исполнения. Опционы колл (при прочих равных условиях) тем более ценны, чем выше курс лежащей в их основе акции. Так как верхняя граница курса акции отсутствует, верхней границы стоимости опциона на покупку также не существует. В случаях с опционами пут дело обстоит по-другому. Они, при прочих равных условиях, тем более ценны, чем ниже курс акции, лежащей в их основе. Однако нижняя граница курса акции существует, так как акционеры не несут ответственности в пределах своего личного имущества. Курс акции не может стать отрицательным, и по этой причине стоимость опциона пут ограничена «сверху». Предположим, что курс одной акции в момент времени t < Т упал до нуля. Тогда «мертвый» американский пут имеет стоимость

РД =max(I< -St,0) = К.

Если мы подождем до момента времени Т, то сможем достичь лишь К. Однако в случае преждевременного исполнения мы имели бы то преимущество, что могли бы уже в момент времени t < Т вложить К по безрисковой ставке процента и в конечном счете получили бы имущество величиной в

К{1 + rf)r-< > А'.

Значит, если курс акции достаточно низок, то выгодно преждевременное исполнение опциона на продажу.

 

6.2.2. Американский опцион пут в биномиальной модели

Опишите детально, что нужно учесть в рамках биномиальной модели, чтобы рассчитать теоретическую цену американского опциона пут.

Используйте этот метод сейчас в следующем числовом примере: речь идет об опционе пут на акции; этот опцион можно исполнить не позднее чем через три периода. Акция котируется сегодня по цене 160 руб. и меняет свой курс в каждом из трех периодов или на 8 \% вверх или на 10 \% вниз. Безрисковая ставка процента составляет 6 \%, а базисная цена согласована на уровне сегодняшнего курса акции.

В рамках биномиальной модели можно точно рассчитать теоретическую стоимость американского опциона пут. Для этой цели рекомендуется следующий метод.

 

Начните с полного описания биномиального процесса динамики курса акции с помощью дерева ситуаций. В каждом «узле» дерева можно назвать соответствующий этой ситуации курс акции.

Теперь рассчитайте для всех «узлов» в конце срока обращения зависимые от ситуации значения стоимости опциона пут из формулы

Р,.т = max (Л' - Sr,U).

После этого обратитесь непосредственно к предыдущему моменту времени и рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимости «живого» американского опциона пут из формулы

 

1 + Tf   V 'і ~ ''</       ' її - r<l J

причем P„ и P,i обозначают те стоимости опциона пут, которые достигаются, если курс акции исходя из интересующей нас ситуации повышается или снижается.

После этого рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимости «мертвого» американского опциона пут с помощью

Р;АГ_Х = шах {К - S,,0).

Наконец, путем сравнения выясните, какая из этих двух стоимостей выше. Определите зависимую от ситуации стоимость американского опциона пут данного момента времени с помощью

Ра,т-і =n.ax !/>*. ;./^Г :).

Если вы достигли момента времени оценки (/ = 0), то это означает, что ваша работа завершена и вам следует приостановить процедуру оценки. В противном случае вы уменьшите момент времени расчета на один субпериод и в этом случае примените описанные прежде расчеты соответственно.

Для расчета американского опциона пут при данных условиях мы в точности придерживаемся ранее представленного метода.

Мы начнем с полного описания биномиального процесса динамики курса акции. Если сегодняшний курс акции равен 1G0.00 и цена каждый раз или повышается на 8 \%, или снижается на 10 \%, то вы увидите результат, показанный на рис. G.3.

Теперь мы рассчитаем для всех конечных «узлов» зависимые от ситуации значения стоимости опциона пут из формулы

Р„.з = шах(Ш) - S3,0).

 

Опцион пут является ничего не стоящим, если курс акции в конце срока обращения превышает 160.00. Наоборот, исполнение выгодно при курсах акции, равных 139.97 и 116.64. Стоимость опциона пут в этом благоприятном случае равна 20.03 и 43.36, ср. рис. 6.4.

• Сейчас мы сначала рассчитаем псевдовероятности при

^ = 0.06+ 0.10 '     ru-rd     0.08 + 0.10

и обратимся после этого к моменту времени t = 2.

Если курс акции поднялся бы до 186.62, то тогда было бы совсем бессмысленно использовать сейчас опцион пут. Но и тогда, когда опцион хранится еще один период, уже нельзя рассчитывать на доходы. При такой динамике курса исполнение опциона приведет к денежным потерям и он абсолютно ничего не стоит.

При курсе акции, равном 155.52, нужно подумать о том, выгодно ли реализовывать право преждевременного использования. Если мы не реализуем это право, то тогда стоимость «живого» опциона пут составит

pN _ а'2 1.06

 

~ ■ fo.8889 • 0.00 + 0.1111 • 20.03) = 2.09. 06   /

Если, наоборот, опцион исполняется немедленно, то тогда мы получим

р£2 = 160.00 - 155.52 = 4.48,

что, очевидно, для нас выгоднее. Значит, опцион пут в этой ситуации имеет стоимость 4.48.

Совершенно аналогично следует осуществлять расчеты, если курс акции упадет до 129.62. Немедленное исполнение приведет к

Р*2 = 1G0.00 - 129.60 = 30.40,

в то время как выжидание приводит к получению стоимости, равной лишь

р"2 = _L . (0.8889 • 20.03 + 0.1111 ■ 43.Зб) = 21.34.

Значит, и здесь немедленное исполнение целесообразно.

• После того как мы проанализировали все возможные случаи в момент времени t = 2, обратимся теперь к моменту времени t = 1.

При курсе акции 172.80 не рекомендуется немедленное исполнение, так как

Р*х = шах (160.00 - 172.80,0) = 0.

Если мы откажемся от исполнения, то у нас есть

P,;V! = — ■ (0.8889 • 0.00 + 0.1111 ■ 4.48) = 0.47. 1.00   V /

Значит, выжидание лучше. — Если наоборот, курс упадет до 144.00, то мы в случае выжидания получим

P,N, = — ■ fo.SSSO ■ 4.48 + 0.Ш 1 ■ 30.40) = (І.94, ""'     1.00   V J

в то время как немедленное исполнение приведет к РД = max (160.00 - 144.00.0) = 16.00.

Значит, дальнейшее выжидание здесь невыгодно.

• Таким образом, мы наконец можем заняться t = 0 и рассчитать, сколько стоит опцион пут сегодня. Немедленное исполнение принесет мало денег, так как

Р„л0 = max (100.00 - 100.00. 0) = 0.

Наоборот, выжидание лучше, так как

Pav = —L . (0.S889- 0.47 + 0.1111 ■ Ю.Оо) = 2.07. 1.00   V /

и, таким образом, мы нашли справедливую цену, которую можно сегодня заплатить за опцион пут.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |