Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

6.3. расширение анализа

Возможности теории ценообразования опционов выходят далеко за рамки оценки европейских или американских опционов на бездивидендные акции. Этот факт учитывается здесь нами таким образом, что в качестве базисных активов используются, с одной стороны, акции с дивидендом, а с другой — валюта. В заключение мы займемся свободной от предпочтения оценкой связанной сделки (опциона колл—пут) и попытаемся предостеречь от непродуманного применения свободной от предпочтений оценки.

 

6.3.1. Опцион на акцию с дивидендом

В 6.1.1 было сделано обычное допущение, согласно которому акционер во время срока обращения опциона не получает дивидендов. Теперь мы предположим наличие выплаты дивиденда в объеме D в конце срока обращения опциона, который не зависит от действующего в тот момент курса акции.

Выведите при этих измененных условиях общую формулу оценки опциона на покупку акции с дивидендом.

Примените вашу формулу к данным задачи 6.1.1 и исходите при этом из того, что дивиденд составляет D = 12 руб.

 

1. Искомую формулу оценки можно найти, если уяснить для себя, что после включения дивиденда ничего не изменилось в других допущениях модели. Решающую роль играет тот факт, что рынок капитала с двумя моментами времени и с двумя ситуациями является полным, если на нем обращаются две рыночные ценные бумаги (акция и облигация) с линейно независимыми друг от друга денежными потоками. В этих условиях можно однозначно рассчитать цены примитивных ценных бумаг (при 7ги для случая, при котором курс акции повышается, и при 7rrf для случая, при котором он снижается) и мы можем использовать уравнение оценки

Со = тг„ Си + тг,, С. (6.6)

Для искомых цен Эрроу—Дебре можно сейчас сконструировать систему уравнений

{S{iu+D)nu + (S„rf + D) тг(/= So. B0(l + rf) тг„ + В0{1 + rf) п., = В0.

Чтобы понять первое уравнение, уясните для себя следующее: акционер, который непосредственно после выплаты дивиденда продает акцию, имеет или Squ + D, или Sud + D в зависимости от того, как изменялся курс. Если мы умножим зависимый от ситуации денежный

поток на соответствующие цены Эрроу—Дебре, то стоимость на свободном от арбитража рынке должна совпасть с сегодняшним курсом акции (теорема аддитивности стоимости). Соответствующее уравнение для облигации не требует объяснения. Если мы разделим первое уравнение на So, а второе — на В0, то получим

("+£)   +   +    *d = i,

(1 + 77)7Г„+     (1+77)71^ = 1.

Отсюда с помощью правила Крамера мы выведем следующие результаты для обеих цен

So

D_ So 1 + 77

 

(1 + rj)

 

So

Подпись: 1 + 77
и +

So

и +

1 + 77     1 + 77

1    /(l + r/)-d

So

1 + 77

71 — d

D 1

D

D

M +

1

rf +

(1+77) («+£-</-- D у

s0(u - «0/'

 

1       /«-(! +17)

d

 

 

+

 

 

S0(w - d)

1 + 77      1 + 77

Если мы подставим эти результаты в уравнение оценки (6.С), то получим искомую формулу для расчета равновесной цены опциона колл. Она выглядит следующим образом:

D

(6.7)

С„ +

С0:

1 + г} +

(I + 77)-d

1

D

+

Сd.

So (u - d)

и - (1 + 77)

1

Tf       и — a        So (и — d)

Для того чтобы придать этому громоздкому выражению некоторую элегантность, мы определим число

.     (l+rf)-d D

(6.8)

^          и — d So(u — (I)

(6.9)

как псевдовероятность. Далее мы покажем, что

D

1-р* = Ц-(1+/^ +

So{u-dY

+

+

Мы просуммируем оба последних уравнения и получим в действительности

S0(» - d)'

So (u - d)

(l + rf)-d         D         u-(l+rf) D

* і 1 * р + 1 - р

1= (1 + ту) -d     u-{l + rf) =

и — d и — d

_ (1 + rf) - d + и - (1 + rf) и — d

Наконец, подстановка (6.8) и (6.9) в уравнение (6.7) приведет в измененных условиях к результату

Со = —— (Р*Си + (1-р*)сЛ 1 + Tf )

при

Си = max (Sou — К, 0), d = max (Sod — К, 0) и = (l + ryl-d _ D

и — d So(u — d)

Обычная модель без дивидендов отличается от нашей новой модели только тем, что мы должны были изменить определение псевдовероятности. В модели без дивидендов псевдовероятность выглядит следующим образом:

_ (1 + г/) - d _ г/ - rd

и - d    ru - rd

что является специальным случаем модели с дивидендом, так как при D = 0 новая псевдовероятность переходит в старую. 2. Используя числа из предыдущей задачи и дивиденд величиной в D = = 12, мы получим

cd =

*

р =

С0 =

max (650 • 1.12 - 650, 0) = 78, max (650 • 0.95 - 650, 0) = 0, 1.04-0.95 12 1.12-0.95 ~ 650- (1.12 - 0.95) ~ 0.5294- 0.1086 = 0.4208 и

— • (0.4208 ■ 78 + 0.5792 • о) = 31.56. 1.04   /

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |