Имя материала: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Автор: Л. Крушвиц

6.3.2. валютный опцион пут

 

Найдите формулу для оценки валютного опциона пут в рамках так называемой модели «два момента времени—две ситуации». Используйте следующие символы:

So — сегодняшний валютный курс, So и — будущий валютный курс при благоприятном развитии событий,

5(, d — будущий валютный курс при неблагоприятном

развитии событий, r„j — безрисковая ставка процента по активам в

иностранной валюте, Tij — безрисковая ставка процента по активам в отечественной валюте, К — цена исполнения валютного опциона пут, и = 1 + ти — благоприятный фактор повышения стоимости валюты, d = 1 + r,i — неблагоприятный фактор повышения стоимости валюты.

Опишите свою модель с помощью принятых допущений, на которые вы хотели бы опереться, и после этого выведите соответствующую формулу оценки.

Покажите, что существуют возможности арбитража, если псевдовероятность выводимого здесь уравнения оценки не принадлежит интерва-лу [0,1].

 

1. Чтобы суметь дать свободную от предпочтений оценку валютного опциона пут, нам необходим полный рынок капитала. Он дан, так как в момент времени t = 1 мы имеем дело с двумя ситуациями («вверх» и «вниз») и при этом обращаются два финансовых титула с линейно независимыми друг от друга денежными потоками, а именно отечественное (безрисковое) и иностранное (рисковое) инвестирование. На этой основе и при имеющихся здесь условиях можно однозначно определить цены Эрроу—Дебре и использовать их при работе с уравнением оценки

Ро = Р„тг„ + Р,пги. (С. 10)

При этом символы 7г„ и ir,i обозначают обе цены Эрроу—Дебре, а Р„ и P,i — зависимые от ситуации денежные потоки валютного опциона пут при

Ри = max (Л" — So 0). Pd = max(K' - S0 (1,0).

Для того чтобы суметь оценить опцион пут, нам снова необходимы две формулы цен Эрроу—Дебре. Первая из них будет найдена нами, если мы уясним для себя, что существуют два способа для того, чтобы приобрести требования на гарантированные потоки величиной в одну отечественную денежную единицу: или мы покупаем безрисковый ти

тул и платим цену 1/(1 +?-,/), или мы приобретаем все примитивные ценные бумаги, а значит, платим тг„ + тг,/. В условиях свободного от арбитража рынка должно быть верным

1

Подпись: 1 + r,j
Ті „ + тт,і -

(1 + 'л/) • 7Г„ + (1 + /■,./) • Ж,, = 1.

(6.11)

Вторая формула оценки должна относиться к рисковым денежным потокам. Рисковым (негарантированным) является в нашей модели лишь валютный курс. Для выведения этого уравнения задумаемся о следующем: если сегодня кто-то обменяет одну отечественную денежную единицу на иностранную валюту, он делает капиталовложения, зарабатывая в течение одного периода доход, соответствующий иностранной ставке процента, чтобы в конце поменять ее «обратно» по действующему в это время курсу; тогда в зависимости от того, благоприятна динамика курса или нет, он получит:

1

(1 + raj) ■ S()-и

или

1

5п

(1 + r„j) ■ Sod.

Отсюда в качестве второй формулы оценки выводится

(1 + /■„./) U ■ 7Г„ і- (1 + V„j)d ■ 7Г(, =-■ 1.

 

 

(6.12)

Если мы решим возникшую таким образом систему уравнений для цен Эрроу—Дебре при использовании правила Крамера, то получим

 

1 +

7Г„

u(l+ /•„./)    d (1 + r„,/)

 

(1 +r,j) -d[l + ;•„,/)

;i+r;./).(u(l + rrI./)-d(l4-r<1,/)) 1 (l+7-,/)-r/(H-r,1,/)

1+ /•,,/        (u - d) (1 + raJi)

 

(6.13)

 

Подпись: 1 + r;

7Г</

U (1 + »•„,/) 1 + nj

v(l + raJ)    d{l + raJ)

1 + r,,f            1 + rtJ j

d)(l

>'a.f)

1          и (I + raJ) - (1 + l-ij)

 

(6.14)

Перед тем как мы подставим эти результаты в формулу оценки (6.10), рекомендуется преобразовать уравнения цен (6.13) и (6.14) в несколько более подходящую форму. Для этой цели мы определим псевдовероятность

=      + +

У         (u-d){l+raJ)   V ;

и покажем, что верно

J _ р. = Ц(1+Г«./)-(1+Гг./)

(u-d)(l-raj)

Это сделано быстро. Суммирование двух последних уравнений приведет действительно к

. , і      * = (1 + г*,/) -<*(! + Л,,/) + и (1 + гд,/) - (1 + ту)

Р         Р («-d)(l+rai/)

1= (-d + u)(l + r0|/) («-d)(l + ra,/) '

С использованием псевдовероятности мы можем записать цены Эрроу—Дебре как

пи =      1     V    и   nd=      1 -(1-р*)-

1 + Гі,/            1 + Гі,/

Подстановка в уравнение оценки (6.10) дает

Ро = 7-— -(p'Pu + {l-pm)Pd) 1 + Tij     /

при

Ри = max (X - S0u, 0), Prf = max (А" - S0d, 0) и

. =    +       -d(l +г0|/)

Р         («-d)(l + rai/) '

и мы у цели.

2. Если мы хотим показать, что существование возможности арбитража при р* е [0,1] исключено, то нам нужно исследовать, что случится, если псевдовероятность не принадлежит этому интервалу. При этом мы исходим из того, что и > d > 0.

Давайте сначала исследуем случай р* > 1. Подстановка в (6.15) даст

+       -d(l + r0|/) (u-d)(l + r0i/)

l+ru -d(l + raJ) > {и - d) (1 + raJ),

            a > и — d,

1 + raJ

+        > u(l + raJ), (1+гіі/)-и(1 + гОі/)>0. (6.16)

Тогда при условии, что и > d > 0, должно быть верным

(l + r;,/)-d(l+rn,/)»0 (6.17)

и это указывает на возможность арбитража. Но данное утверждение еще должно быть доказано. Мы начнем с того, что проиллюстрируем оба неравенства, (6.16) и (6.17). Мы представляем себя в ситуации инвестора, который ведет свои расчеты в рублях. Он хочет взять за границей кредит, а именно в том объеме, который позволит ему по сегодняшнему курсу стать владельцем одного рубля. Далее он инвестирует сумму кредита на отечественном рынке капитала, так что через один год имеет гарантированные денежные потоки величиной в (1 + г, j). Иностранный кредит должен быть обслужен им в момент времени t = = 1 при (1 + raj). Если субъект был бы нерезидентом, то речь и здесь шла бы о гарантированном платеже. Но наш получатель кредита может выполнить свои обязательства по возврату кредита лишь в том случае, если он приобретет необходимую валюту по действующему в соответствующий момент курсу, вследствие чего сумма возврата кредита, включая проценты, с сегодняшней точки зрения является рисковой. Она составляет или и (1 + raj), или d (1 + raj). Действия инвестора порождают сегодня нулевые чистые платежи и приведут позже к положительным избыткам (ср. табл. 6.7), если мы предположим, чтор* > 1. Такое погашение противоречит теореме доминирования, так как инвестор сегодня ничего не платит за положительные возвратные потоки.

А сейчас давайте обратимся к случаю р* < 0 и подставим опять данные в (6.15). Это дает

(1+4/) -<*(!+ Га./) <0 (и ~d)(l + Га,/)

При и дальше действующем условии, что и > d > 0 и иностранная ставка процента не становится отрицательной, мы умножим уравнение на знаменатель левого члена и получим после незначительных преобразований

0<d(l+.r„,/)-(l + ri,/) и из-за и > d

0 « »(1 + /•„./) - (1 +/•,,/).

Как показывает табл. 6.8, и здесь речь идет о возможности арбитража. Для ее использования необходимо взять отечественный кредит и вложить деньги за границей.

6.3.3. Свободная от предпочтения оценка, осуществляемая несмотря на возможность арбитража

Представьте себя в мире «два момента времени—две ситуации» и рассмотрите описанный в табл. 6.9 рынок капитала.

При изображенном в табл. 6.9 опционе речь идет об опционе колл на описанную там акцию при базисной цене Л' = 340 руб. Нужно оценить при данных условиях опцион на продажу с той же ценой исполнения. Какую структуру имеет эквивалентный портфель и как высока его цена?

Придерживаетесь ли вы мнения, что изображенный в табл. 6.9 рынок капитала свободен от арбитража? Обоснуйте свое мнение.

Мы начнем с выяснения зависимых от ситуации денежных потоков опциона пут в конце срока обращения. Их можно записать при SlK, обозначающем зависимый от ситуации курс акции по истечении срока обращения опциона, в форме

шах (Л' - S]„, 0).

из чего следует

Ри = о,

РГ2 = 0.

Руі = Ю0.

Из обращающихся на рынке бумаг необходимо сконструировать портфель, который порождает в точности эти денежные потоки. Если мы обозначим символами its, «л и пс количество акций, облигаций и опционов колл, из которых состоит этот портфель, тогда на основе представленных данных должна быть решена система уравнений

400 ■ ns + 100 ■ n л + GO • не = 0, 350 ■ ns + 106 • 77/з + 10 • пс = 0. 240 • ns + 10G • и в + 0 ■ nc = 100.

Первое уравнение относится к ситуации 1 и обеспечивает то, что эквивалентный портфель порождает возвратные потоки величиной в Рц = = 0. Два других уравнения нужно трактовать аналогичным образом, учитывая, что они относятся к ситуациям 2 и 3. Для определения структурных переменных эквивалентного портфеля мы можем использовать правило Крамера. С его помощью мы получим следующие значения количеств приобретаемых акций, облигаций и опционов колл.

400 0 60 350 0 10 210  100 0

400 106 60 350 106 10 240  106 0

 

 

пс —

400 106 0 350 106 0 240   106 100

400 106 60 350 106 10 240   106 0

Отсюда мы с помощью правила Сарусса рассчитаем

0 ■ 106 • 0 + 106 ■ К) • 100 + 60 ■ 0 • 106--100 ■ 106 ■ 60 - 106 ■ 10 ■ 0 - 0 • 0 • 106

iis

530 000

/400 ■ 106 • 0 + 106 • 10 ■ 240 + 60 ■ 350 • 106--240 ■ 106 ■ G0 - 100 ■ 10 ■ 400 - 0 ■ 350 • 106 -530 000

пв= 3.2075, пс = 1.0000.

= -1.0000.

Если исключены возможности арбитража, то эквивалентный портфель должен иметь ту же цену, что и опцион пут. Поэтому мы получим

Р0 = ns ■ S0 + пв ■ В0 + пс • Со =

= -1.0000 • 300 + 3.2075 • 100 + 1.0000 • 28 = = 48.75 руб.

2. Обсуждаемый здесь рынок капитала, без сомнения, является полным, так как мы имеем дело, с одной стороны, с тремя ситуациями, а с другой — с тремя рыночными ценными бумагами, денежные потоки которых линейно независимы. Линейная независимость подтверждена, так как в противном случае определители матрицы денежных потоков в предыдущей части задачи приобрели бы нулевое значение, и мы не были бы в состоянии определить эквивалентный портфель. Но для наличия рынка, свободного от арбитража, нужно большего: все цены Эрроу—Дебре должны быть положительными. Имеем ли мы дело с этим случаем или нет, нужно еще исследовать. Для этой цели рассчитаем соответствующие цены из системы уравнений

400 • тії + 350 • тг2 + 240 • тг3 = 300, 106 • 1ХХ + 106 • тг2 + 106 • 7Г3 = 100, 60 • 7Г1 +  10 • тг2 +    0 • тгз = 28.

Если мы решим систему уравнений подходящим методом, то получим информацию, что рынок не является свободным от арбитража, так как

я-! = 0.4688,       тг2 = -0.0130,       тгз = 0.4875.

Если бы в предыдущей части задачи мы рассчитали бы опцион пут не через эквивалентный портфель, а с помощью цен примитивных ценных бумаг, то нам стало бы ясно, насколько спорным является определение стоимости с помощью используемых здесь чисел. Рынок с возможностью арбитража не находится в равновесии!

 

6.3.4. Опцион колл—пут

Здесь речь идет об оценке опциона, который позволяет своему владельцу по истечении двух периодов по цене К = 340 руб. выборочно или купить, или продать акцию (опцион колл—пут). Акция котируется сегодня по цене So = 320 руб., причем все участники рынка предполагают, что этот титул в каждом периоде или повышается на 8 \%, или снижается на 2 \%. Кроме того, в первом (втором) периоде обращается облигация по цене Ро = 100 (Pi = 106), которая через год породит гарантированные возвратные потоки величиной в 106.00 (112.36). Значит, безрисковая ставка процента составляет постоянно г} — 0.06. Сконструируйте из акции и безрисковой облигации портфель, который эквивалентен опциону колл—пут и определите цену этого портфеля.

* * *

Опцион, который может использоваться выборочно как опцион колл или опцион пут, «обещает» в момент времени t = 2 зависимые от ситуации денежные потоки величиной в

Оии = max ^ max (Sou2d° — К,0), max (К — Sou2d°, 0)^,

Oud = max ^ max (Souldl — K, 0), max (A' — Soi^d1,0)^,

Odu = max ^max(5ow1d1 — A', 0), max (K — So^d1, 0)^ или

Odd = max ( max (S0u°d2 - A", 0), max (K - S0u°d2,0)).

С цифрами из нашего примера это означает, что

Оим = 33.25,       Odu = Oud = 1.31,       Odd = 32.67.

В момент времени t = 1 опцион колл и пут не порождает ни доходов, ни расходов, так как он относится к европейскому типу, а значит,

On=Od = 0.

Для того чтобы суметь сконструировать эквивалентный портфель из акции и безрисковой инвестиции, мы будем использовать следующие символы для обозначения структурных переменных эквивалентного портфеля:

"б,о — количество акций, оборачивающихся в t = 0,

пв,о — количество облигаций, оборачивающихся в t — 0,

tig j — количество акций, держащихся в t — 1 в ситуации и,

ns і — количество акций, держащихся в t ~ 1 в ситуации d,

Пд j — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации и,

ndB г — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации d.

При использовании этих символов можно составить и решить три системы уравнений. При этом мы как бы «двигаемся назад во времени».

(1) Рассмотрите рис. 6.5 и сконцентрируйте внимание на окаймленном участке. Вы находитесь в моменте времени t = 1, и курс акций повысился до Sou. В этой ситуации вы можете быть убеждены, что курс акции в момент времени t = 2 или повысится до Sou2, или снизится до Soud. Это одновременно означает, что опцион колл—пут тогда породит денежные потоки или в объеме Оии, или в объеме Oud. Нам сейчас нужно при действующих здесь условиях сконструировать из акции и облигации портфель, который в момент времени t = 2 породит в точности те же денежные .потоки, что и опцион колл и пут,

а именно Оии и Ои,1- Если далее учесть, что облигация в момент времени t = 1 котируется по цене В и один период позднее даст гарантированные возвратные потоки в объеме В] (1 + ?*/•), тогда система уравнений для определения структурных переменных эквивалентного портфеля будет выглядеть следующим образом:

S0u2du • /,£ , + #,(1 + /7) •»'/,л = 0(11„ Soi^t/1 • п^.л +Ві(1+ і-/) ■ п\%л = О,,,,,

или с конкретными данными из нашего примера

373.25 • п£л 4 112.36 • 7/.£л = 33.25. 338.69 ■ 7^.', + 112.36 • 7j.ft', = 1.31,

из чего мы получаем решения п'^ } = 0.9241 и nuD { = —2.7738. (2) Вторая система уравнений предполагает, что курс акции в момент времени t = 1 упадет до стоимости Sod. При этом условии эквивалентный портфель необходимо образовать так, чтобы он в момент времени t = = 2 при повторном снижении курса акции принял значение 0,і,і, а при росте курса акции — значение 0,[и. Поэтому мы получаем

S0ull -пІ, + Д,(1 + ,7=0,,,,. SuuW ■ ndSA + By(1 + rj) ■»'/;,, = 0,,,h

или с конкретными данными из нашего примера

338.G9 • + 112.36 ■ п';зл = 1.31, 307.33 ■ п£л + 112.36 • п'1,л = 32.67.

что приводит к решениям tig j = -1.0000 и п''и , = 3.0260.

(3) С помощью обеих первых систем уравнения мы определили структуру эквивалентного портфеля, который следует выбрать нам в интересах дублирования нашего опциона в момент времени t — 1. Естественно, для приобретения этого портфеля в соответствующий момент времени необходимы платежи. Но так как сам опцион колл—пут по истечении первого периода не порождает ни расходов, ни доходов, то эти платежи должны финансировать сами себя. Вследствие этого мы должны выбрать доли портфеля в момент времени t = 0 таким образом, чтобы связанные с ним в момент времени t — 1 доходы были бы в точности так же велики, как необходимые в этом моменте времени расходы. Это означает следующее:

Л'о» ■ rc.s-.o + В{)(1 + Г])- пни = • -Ь'о" + п'[}Л ■ Ви ■\%<■! ■ ».v.o +        + '•/) • »о,о = '4.1 ' S0d + iidBA ■ Вх.

Левая часть первой (второй) формулы описывает возвратные потоки из владения акциями и облигациями в момент времени t -= 1 при условии, что курс акции повысился (понизился). В правой части находятся доходы, которые необходимы для финансирования (зависимых от ситуаций) эквивалентных портфелей в момент времени t — 1. С учетом данных примера и промежуточных результатов для структурных переменных эквивалентного портфеля это означает:

.445.60 • и.ч.і) + 106.00 ■ nBfi = 25.34. 313.60 ■ ns.a + 106.00 ■ 7'в.о = 7.15.

что, наконец, приведет к решениям n.s.o = 0.5683 и /іві0 = —1.6138.

Имея эти числа, мы точно знаем, что необходимо делать сегодня (t — 0) и позже (t = 1) для того, чтобы посредством покупки и продажи акций и облигаций поставить себя в положение, которое в отношении ожидаемых денежных потоков никоим образом не отличается от приобретения опциона колл—пут. Цена приобретаемого сегодня портфеля составляет

"5.0 • S(> + n/j.i, ■ Во = 0.5683 ■ 320 - 1.6138 • 100 = 20.47,

и это число при условии свободного от арбитража рынка капитала должно в точности совпадать с ценой, которую инвестор обоснованно согласится заплатить за опцион колл—пут.

При помощи табл. 6.10 можно подтвердить, что наше решение действительно имеет желаемое свойство дублирования опциона колл и пут. Мы покупаем в момент времени і. = 0 акции в количестве 0.5683 и одновременно продаем без покрытия 1.6138 облигаций. Это сегодня связано с чистыми расходами в объеме 20.47 руб. Рассмотрим для примера, что случится, если курс акции по истечении одного периода повысится. За счет держания акции мы получим доходы в объеме 0.5683,- 345.60 = 196.41 руб., в то время как продажа облигации без покрытия вынудит нас осуществить расходы

в объеме 1.6138- 106 = 171.06 руб. Таким образом, сальдо доходов оказывается равным 196.41 — 171.06 = 25.35 руб. Однако мы должны одновременно приобрести 0.9241 акций и продать 2.7738 облигаций. Поэтому для покупки акций мы осуществляем расходы в объеме 0.9241 • 345.60 = 319.36 руб., в то время как проданные без покрытия облигации приносят нам доходы в объеме 2.7738 106 = 294.01 руб. Сальдо расходов оказывается равным 319.36-— 294.91 = 25.35 руб., так что доходы и расходы в момент времени t = 1 совершенно выравниваются. Независимо от того, как изменяется курс акций во втором периоде из-за проданных без покрытия облигаций, мы осуществляем расходы величиной в 2.7738-112.36 = 311.66 руб. Если курс акции повышается, то мы за счет продажи акции получаем 0.9241 • 373.25 = 344.91 руб.; если, наоборот, курс акции снижается, то тогда наша выручка составляет лишь 0.9241 ■ 338.69 = 312.97 руб. В первом случае сальдо доходов оказывается равным 33.25 руб., во втором — 1.31 руб. Эти значения в точности совпадают с денежными потоками, которые может ожидать владелец опциона колл—пут при точно такой же динамике курса акции.

 

Литература

Фишер Блэк и Майрон Скоулз со своей известной работой «The pricing of options and corporate liabilities* (Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. P. 637-654) начали весьма плодотворный и долгосрочный процесс обсуждения оценки опционов и похожих финансовых титулов. Читатель, который хотел бы серьезно заняться теорией ценообразования опционов и ее разными применениями, должен обратиться к книге: Сох J. С, Rubinstein М. Е. Options Markets. Englewood Cliffs (-N.J.): Prentice-Hall, 1985. Выдающимся учебником об опционах и других производных финансовых титулах является также: Hull J. Options, Futures, and other Derivative Securities. 3rd ed. Englewood Cliffs (N.J.): Prentice-Hall, 1997. По поводу подхода, в основе которого лежит идея непрерывного времени, как и в модели Блэка—Скоулза, мы рекомендуем: Kruschwitz L., Schobel R. Eine Einfuhrung in die Options-preistheorie // Das Wirtschaftsstudium. 1981. S. G8-72, 11С—121, 171-17G.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |