Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

1.6. практическая реализация временной шкалы. элементы финансовой хронологии

В §1.1 мы ввели понятие временной шкалы Т. После выбора начала отсчета и единицы измерения она отождествляется с множеством действительных чисел R. В этом случае моменты времени t и длины промежутков Г представляются просто вещественными числами. Такое представление временной шкалы есть идеализированное представление времени в рамках математической модели. Оно связано с тем, что в математических формулах, выражениях, соотношениях можно применять только математические представления используемых в них величин, в частности числовые значения. Примерно такова же роль временной шкалы в моделях механики и физики. Однако на практике, говоря о моментах времени и промежутках, имеют дело не с абстрактными числами, а с конкретными датами, часами, периодами и т.д. Поэтому остается весьма важной проблема практической реализации выбранной временной шкалы, подразумевающей конкретный способ представления фактических событий и периодов их абстрактными аналогами.

Так, выбрав в качестве базового (единичного) промежутка временной шкалы год, полугодие или квартал, необходимо уметь выражать длительность различных периодов между реальными событиями в годах, полугодиях, кварталах. Это далеко нетривиальная задача. Возникающие здесь трудности связаны с особенностями практической временной шкалы, т.е. системой измерения временных промежутков в обычной практике. Эта система основана на использовании календаря, часов и т.п. Она имеет многоуровневую структуру в отличие от простой одноуровневой структуры модельной временной шкалы. Многоуровневость проявляется в наличии иерархии базовых временных единиц: год, месяц, число, час, минута и т.д. Точность представления событий и периодов определяется выбранным в этой иерархии Уровнем, т.е. задаваемой базовой единицей, например часом или минутой.

Хотя в финансовой практике описания событий с точностью до часа или минуты нередки, например в анализе биржевых цен в течение торговой сессии или анализе обменных курсов для валютного рынка, чаще всего временное описание большинства финансовых операций, сделок и контрактов осуществляется с точностью до дня (суток). В этом случае предельной единицей описания является дата, а соответствующая практическая система представления событий воплощается в календаре. Структура основной единицы календаря даты описывается формально тройкой

дата — <день; месяц; год>, где каждая компонента имеет естественный диапазон изменения.

Выбирая стандартное числовое представление для возможных значений компонент даты, можно указать множества значений для каждой компоненты. Так, возможные значения для компоненты «день» представлены множеством {1, 2,..., 31}, для компоненты «месяц» — множеством {I, 2,..., 12}, для компоненты «год» — множеством всех целых чисел Z. Таким образом, тройка <21; 6; 1998> описывает дату «21 июня 1998 года» или в обычном сокращенном представлении «21.06.98». Ниже в примерах мы будем часто использовать такое общепринятое представление дат.

Введем специальные обозначения для переменных компонент даты и самой даты:

Э =<dmy>y где d — день; т — месяц; у — год.

Важнейшая особенность календаря состоит в наличии естественного отношения порядка между датами. Так, для любых двух дат Э, и Э, можно сказать, какая из них предшествует (Э4 < Э2) или следует (Э, > Э,) за другой. В частности, для любой даты Э однозначно определена непосредственно следующая Э+ или, наоборот, непосредственно предшествующая Э~ дата. Так, очевидно, что

 

< 31; 5; 1998 >+= < 1; 6; 1998 > и < 1; 3; 1996 > - < 29; 2; 1996 >.

Наличие порядка между датами позволяет определить календарные промежутки (периоды) с помощью задания концевых дат Эр Э,. Например, можно говорить об отрезке [dj, Э2), интервале (Э,, Э,) или промежутке [Эр Э,), который называется промежутком от даты   до даты Э2.

Календарная шкала дискретна, поэтому для любого календарного промежутка естественным образом определена его продолжительность в днях. Обозначим число дней в промежутке / через D(J). Так, если J — [1.01.96, 31.12.96] — календарный 1996 г., то его продолжительность составляет 366 дней.

Пожалуй, наиболее важной особенностью календаря является наличие определенной зависимости между всеми тремя компонентами даты. Иными словами, некоторые значения компонент описывают «невозможные даты», точнее говоря, этим тройкам не соответствуют никакие реальные даты. К ним относятся, например, сочетание <31; 06;у> для любого года у, так как даты «31 июня» не существует. К более тонким примерам такого рода относится комбинация <29; 02; 1999>, поскольку 1999 г. не високосный и такой даты также не существует.

Наличие «невозможных дат» тесно связано с другой важной особенностью календаря — неодинаковой продолжительностью некоторых стандартных периодов, таких как год, полугодие, квартал, месяц. Более того, само определение этих периодов не совсем тривиально. Что такое год? Любой промежуток, состоящий из 365 или 366 дней? Ниже мы введем ряд более формальных определений, уточняющих эти и другие понятия.

Начнем с определения годового промежутка или календарного года. Бесспорным примером годового промежутка является стандартный календарный год с номером у, т.е. отрезок j< 1; \;у >; < 31; 2у >] или, что то же самое, промежуток [< 1; 1;у>, < 1; \у+ 1>) от 1 января года у до 1 января года (у + 1). Отметим, что продолжительность стандартного года зависит от его номера. Так, невисокосный 1999 г. состоит из 365 дней, тогда как високосный 1996 г. включает 366 дней. Кроме стандартных календарных годов, можно определить другие годовые (календарные) промежутки. Календарным годом будет, например, период от 31 марта 1998 г. до 31 марта 1999 г. Такой способ описания годовых периодов связан с определенным отношением эквивалентности между датами, которое мы будем называть отношением одноименности дат.

Более точно, будем называть даты с одним и тем же днем (числом) и месяцем одноименными. Одноименные даты различаются лишь номерами годов. Формально даты Э,= <d{; тк у\> и Э2= <d2 т2 у2> одно-именны, если d]^d2m т = т2. Одноименные даты назовем смежными, если у2 — у = 1, т.е. если они относятся к соседним годам.

Промежуток времени от одной даты Э1 до смежной (одноименной) датыЭ2 назовем календарным годом. Иными словами, это промежуток [Э,, Э2), если Э, <Э2 и даты Э{ и д2 — смежные. Точно так же календарным годом назовем и промежуток (Эр Оба этих промежутка назовем календарными периодами между датами Э( и Э,. Итак, календарный год — период времени между двумя одноименными смежными датами.

6-5169

Естественно, что в этом определении речь идет о реальных (допустимых), а не запрещенных датах. Так, строго говоря, у даты 29.02.96 нет смежных одноименных дат. Ближайшая предшествующая одноименная дата — это 29.02.92, а ближайшая следующая дата «29 февраля 2000 г.» Напомним, что 2000 г. является високосным.

Кстати, о 2000 годе. Прения по поводу «истинного» начала третьего тысячелетия основаны на недопонимании того, что год — это временной промежуток, а не момент времени. Поэтому 2000 г., как и любой другой, имеет две даты: начальную — 1.01.2000 и конечную — 31.12.2000. Истекший (пройденный) год отмечается своей конечной, а не начальной датой. Когда говорят, что от некоторого момента (в данном случае от Рождества Христова) прошло 2000 лет, то имеют в виду 2000 полных (пройденных) лет. Поэтому конец такого 2000-летнего периода будет концом 2000 г., т.е. 31.12.2000, а началом третьего тысячелетия будет 1 января 2001 г. При этом, как принято в традиционном летосчислении, год, начинающийся с Рождества Христова, — это первый, а не нулевой год.

Стандартный календарный год является високосным, если его номер у делится на 1000 или делится на 4, но не делится на 100.

Дату вида < 29; 2;у> будем называть високосной. Високосные даты не имеют смежных одноименных дат. Понятие високосной даты позволяет дать определение так называемой високосной кратности любого календарного промежутка.

Пусть / — календарный промежуток. Его високосной кратностью назовем число содержащихся в нем високосных дат. С помощью понятия високосной даты можно легко найти точную продолжительность в днях любого промежутка между двумя любыми одноименными датами. Так, если Э; = <d; т;у > и Э2 = <d; т; у2> — две одноименные даты, то точное число дней между этими датами

D(dl,d2) = 365y2-yl + k, (1.16)

где к — високосная кратность промежутка, т.е. число различных високосных дат в нем. Например, точное число дней между 13.04.81 и 13.04.99

 

£= 365-18 + 4 = 6574.

Каждая невисокосная дата определяет последовательность (сетку, решетку) одноименных с ней дат с последовательными номерами годов. Так, для даты Э0 дата д{ будет следующая за ней смежная дата, Э2 — смежная к Э, и т.д. Естественно, промежутки между последовательными (смежными) датами будут годовыми. С формальной точки зрения эта последовательность есть просто класс эквивалентности даты Э0.

Замечание. Мы не доказывали достаточно очевидное утверждение о том, что одноименность дат есть отношение эквивалентности, т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение. Тривиальную проверку этих свойств оставляем читателю.

Определив годовые промежутки, аналогичным способом можно определить полугодовые, квартальные и месячные календарные периоды. Каждый раз определение будет основываться на соответствующем понятии эквивалентности (подобия) между датами. Введенное выше отношение одноименности можно назвать годовой эквивалентностью. Соответственно полугодовой эквивалентностью назовем отношение между датами, при котором дни (числа) дат совпадают, а месяца имеют кратное полугодовому (шестимесячному периоду) смещение. Формально, даты 3j = <dp т{у{> и Э2 = <d2, т2 у2> называются полутодно эквивалентными, если d{ = d2w тх~ т2 делится на 6. Так, полугодно-эквивалентными между собой являются даты 15.03.96; 15.09.97; 15.03.98 и т.д.

Для точного определения полугодового промежутка необходимо определить понятия смежных полугодно эквивалентных дат. Смежными будут даты, отстоящие друг от друга в точности на 6 мес. Формально 3jH Э2 —- смежные, если

dl=d2; 1^-^1 = 6; |у,-_у2|<1.

Промежуток между двумя смежными полугодно эквивалентными датами называется календарным полугодием.

Как отмечалось, не каждая дата имеет смежную одноименную дату. Их не имеют високосные даты, и только они. Аналогично существуют особые даты и для отношения полугодовой смежности. Например, 30.08 (августа) любого года не имеет смежной следующей за ней даты, так как такая дата должна быть 30 февраля следующего года. Не имеет следующей смежной даты 31.05 (мая); можно привести и другие примеры. Легко видеть, однако, что все эти даты являются последними Днями длинных (из 31 дня) месяцев. Все остальные даты являются неособыми, т.е. они порождают непрерывные последовательности смежных дат, в которой любые две соседние даты смежные. Иными словами, каждая неособая дата Э0 порождает последовательность

...,Э_2,Э_1,Э0,Э1,...,Э^...

полугодно эквивалентных с ней дат, так что дк+[ является смежной с дк и, следовательно, все промежутки между двумя соседними датами последовательности полугодовые.

Заметим, что длительность полугодовых промежутков имеет не два, как в случае годовых, а три возможных значения: 182, 183 и 184 дня. Тем же способом, каким были определены годовые и полугодовые промежутки, можно определить квартальные и месячные периоды.

Квартальная эквивалентность дат д{ и Э2 определяется условиями: d{ = d2 и т] — т2 делится на 4, а месячная эквивалентность — просто совпадением номеров дней: d{ = dr

Определяя квартально-смежные и месячно-смежные даты, мы определим промежутки между ними как календарные квартальные и месячные периоды. Несложно убедиться, что возможная продолжительность квартальных промежутков составляет 120, 121, 122 и 123 дня, тогда как продолжительность месячных промежутков — 28, 29, 30 и 31 день.

Относительно квартальной и месячной смежности, как и в случае годовой и полугодовой, имеются особые даты, не имеющие смежных. Так, для 30 января нет следующей месячно-смежной даты, поскольку нет даты 30 февраля. Неособые же даты порождают последовательность (сетку, решетку) смежных дат с квартальными (в случае квартальной эквивалентности) и месячными (в случае месячной эквивалентности) периодами между соседними датами.

Сказанное проясняет основную трудность в переходе от практической календарной шкалы к модельной (теоретической) временной шкале с выбранным базовым периодом. Она заключается в неодинаковой продолжительности базового промежутка, выбран ли он годовым, полугодовым, квартальным или месячным.

Возьмем, например, годовую модельную шкалу. В ней единица измерения — год. Но о каком годе идет речь? В модельной шкале отрезок [0, 1], представляющий базовый период, имеет ту же длину, что и любой другой единичный отрезок а, а + 1J. Если мы хотим, чтобы отображение календарной шкалы в модельную корректно учитывало продолжительность в днях, т.е. чтобы календарные промежутки с равным числом дней отражались в виде равных промежутков модельной шкалы, то придется согласиться с тем, что последовательность смежных дат, порожденных некоторой датой, будет представлена последовательностью с меняющимися расстояниями (в модельной шкале) между соседними точками.

Если же мы хотим, чтобы последовательные годовые календарные промежутки изображались равноотстоящими друг от друга точками годовой модельной шкалы, то придется смириться с утратой инвариантности продолжительности в днях. Поскольку, например, процентные ставки на практике обычно задаются как годовые и, следовательно, учет накопленных (начисленных) процентов в моделях процентного накопления (роста) пропорционален периоду накопления, выраженному в годах, то, как увидим ниже, конкретная величина накопленных процентов, согласно модели, будет зависеть от способа пересчета реальных временных параметров в теоретические (модельные).

Во всех практических случаях приходится идти на некоторый компромисс, по крайней мере, для моделей, рассматриваемых ниже. Конечно, можно строить модели непосредственно в календарной шкале, но это не снимает всех трудностей, поскольку привязка к годовой базе традиционна на большинстве финансовых рынков, к тому же такие модели более громоздки.

Рассмотрим несколько схем перехода от практической календарной шкалы к модельной годовой шкале. Поскольку выбор начала (начальной даты) несуществен, то основное внимание уделим определению продолжительности в годах промежутков, задаваемых календарными датами. Конечно, дата — это сутки, т.е. 24 часа, иными словами, это временной интервал, а не точка. Тем не менее будем изображать даты точками в модельной шкале. Такое представление будет вполне оправданно, если зафиксировать стандартное начало суток, например 0 ч 0 с и т.д. Иными словами, точка модельной шкалы будет всегда соответствовать стандартному началу некоторой даты. В календарной шкале есть естественная мера длины временных промежутков — продолжительность их в днях. Она легко вычисляется с помощью стандартной функции yV(3) — порядкового номера даты 3 в стандартном календарном году (см. табл. П.1 и П.2). Если Э, и Э2 — две даты одного года, то число дней между этими датами, очевидно,

 

Так, для невисокосного 1998 г., согласно табл. П.1, 14 февраля (Э,) имеет порядковый номер 45:

jV(o)=45,

а 27 августа (Э2) — порядковый номер 239:

тУ(Э2)-239.

Следовательно, между этими датами содержатся в точности

 

Я(д„Э2) = 239-45 = 194

дня. Для високосного 1996 г. номер для 14 февраля остается тем же самым, тогда как для 27 августа он, очевидно, увеличится на единицу, т.е.

#(Э2) = 240.

Поэтому число дней между этими датами в 1996 г. равно 195.

Продолжительность в днях — однозначно определенная мера длитель-

ности календарных промежутков, в отличие от продолжительности в

годах. Определение последней требует уточнения, например, в виде

правила преобразования продолжительности в днях в продолжитель-

ность в годах. Ряд стандартных способов преобразования продолжи-

тельности в днях в продолжительность в годах промежутка/основыва-

ется на формуле        . .

DU)

Г = -Ь*, (1.17)

 

где Т, D — продолжительность соответственно в годах и днях; Y — принятое в данном преобразовании характерное число дней в году, так называемый годовой дивизор. Наиболее типичные значения годового дивизора — 360 и 365 дней. В простейших случаях дивизор является постоянным и не зависящим от промежутка / числом. Выбор в качестве числителя в (1.17) точного числа дней в периоде /, а в качестве знаменателя — дивизора 365 или 360 дают два наиболее распространенных правила, которые имеют специальные обозначения. Правило АСТ/365Для этого правила

T(J)

 

365

где D(J) — точное число дней в периоде /.

Заметим, что продолжительность в годах високосного года составит 366/365, т.е. больше единицы, тогда как продолжительность любого невисокосного года в точности равна единице. Очевидно, что если / состоит в точности из п календарных лет, включающих к високосных дат, то продолжительность в годах такого периода, согласно форму-ле (1.16),

 

1 Здесь ACT — сокращение от Actual, т.е. действительный; подразумевает использование действительного, те. точного, числа дней между датами.

7T(/„) = w + - к

365

и «погрешность» правила АСТ/365 в этом случае тем больше, чем больше високосных дат в этом периоде. Поскольку/: ~п/4, то абсолютная погрешность такого представления примерно равна

 

Л=—5—=—^ 0,7-Ю-2/».

4-365 1460

Здесь под абсолютной погрешностью понимается отклонение Г(/), вычисляемого по правилу АСТ/365, от точного числа п календарных лет. Для периода/от 14.02.96 до 27.08.96, согласно этому правилу, имеем

Г=^1=1?5=0,5342(год).

365    365        V '

Правило АСТ/360. Это так называемое банковское правило, согласно

которому        , ,

 

У } 360

где /)(/) — точное число дней в периоде /.

Это правило еще в большей степени увеличивает «годовую длину» характерных промежутков. Так, високосный год по этому правилу имеет длину

Ц = 1,0167(ГОД), а для невисокосного годового промежутка его длина

365 = 1,0139(год).

360

Естественно, чем длиннее период /, тем больше «степень удлинения» в годах. Эта формула чаще всего используется в расчетах, касающихся денежного рынка, т.е. рынка краткосрочных долговых обязательств, таких, как депозиты в банках, векселя, коммерческие бумаги, депозитные сертификаты и др.

Правило АСТ/365 в естественном смысле более точное, чем банковское правило, тем не менее оно не учитывает возможность присутствия високосных дат в измеряемом промежутке. Такой учет может быть сделан двояким образом. Первый состоит в игнорировании (исключении) високосных дат при подсчете числа дней в промежутке при

неизменном годовом дивизоре — 365. Второй способ состоит в соот-° ветствующем изменении дивизора (до 366 или другого значения) при измерении високосных промежутков.

Первый подход реализован в так называемом японском правиле АСТ/365, в котором все високосные даты исключаются, таким образом, продолжительность любого годового промежутка считается равной 365 дням. Это правило формулируется следующим образом.

Правило АСТ/365, Япония. Если / — период с к високосными

датами, то      , .

 

Данное правило используется для расчетов, связанных с государственными облигациями Японии. По этому правилу длительность в годах промежутка от 14.02.96 до 27.08.96

195-1 7—^—^ = 0,5315. 365

Второй способ уточнения связан с фактическим изменением дивизора. Имеется одно основное правило, используемое для промежутков любой длины, и короткая модификация этого правила, относящаяся к промежуткам меньше года. Оба эти правила обозначим как ACT/ACT.

Правило ACT/ACT (основное). Пусть У - период, определяемый датами Э = <d т^,у > и Э2= <d^ т ; у2>. Разобьем его на три части:

j=j]+j2 + jy

Первая часть соответствует периоду от Э, до конца текущего (>',) года:

Л =[ЭрЭ|),

где д =1.010^ + 1), т.е. начало следующего года. Промежуток/2состоит из полного числа стандартных календарных лет между Э* и Э2, т.е. числа лет от 1.01(у( + 1) до 1.01у2. Наконец, промежуток ji есть период от начала года уг т.е. Э2 = 1.0у2 до даты Э2:

/3 =[э2,э2).

Тогда с учетом приведенного разбиения

„ пил d(j3)

Y Y

где D(J) — число дней в промежутке / к= 1,3;

j366, еслиук —високосный; *   [365, еслиук —невисокосный,

а п = у2 - у] — полное число стандартных календарных лет между датами Э, и Эг

Пусть, например, Э, — 14.02.96, а Э2 — 27.08.99. Тогда промежуток/ от 3j до Э2 разобьется на период У, от 14.02.96 по 31.12.96, состоящий, согласно табл. П.1, из

/)(У1) = 366-45 = 321 дня, на период/2 от 1.12.97 до 1.01.99, который содержит

1999 -1996 = 3

полных календарных года, и на период /3 от 1.01.99 до 27.08.99, состоящий из 238 дней. Таким образом, согласно правилу ACT/ACT,

r^=!+i+3=4'529i(™>-

В частных случаях промежутки J2 и / могут быть пустыми. Так, если обе даты лежат в пределах одного стандартного календарного года, то оба этих промежутка пусты. Если же даты принадлежат смежным годам, то пустым будет промежуток /2.

Схема ACT/ACT имеет так называемую короткую модификацию для периодов У, меньших года. Это правило применяется для расчета накопленного купона по облигациям и имеет вид

г Ш Y '

где

Ґ365, если У —невисокосный;

[366, в противном случае.

Напомним, что период J называется високосным, если он содержит високосную дату. Так, период от 14.02 до 27.08 имеет длину

Т = ^ = 0,5315 (год) для невисокосного 1998 г. и

Г = Ч§ = 0'5328(ГОД)

 

для високосного 1996 г.

Нетрудно видеть, что использование основного правила ACT/ACT приведет для этих примеров к таким же результатам, поскольку выбранный период лежит в пределах одного стандартного года.

Однако если меньший года промежуток У не укладывается в пределах одного стандартного года, поскольку, например, его концы принадлежат смежным годам, то применение основного и короткого правила может привести к различным результатам. Рассмотрим, например, период / от 27.08.96 до 14.02.97. Тогда основное правило разбивает этот период на промежуток J{ от 27.08.96 по 31Л 2.96, состоящий из 125 дней, пустой промежуток У2 и промежуток J3 от 1.01.97 до 14.02.97, состоящий из 44 дней. Таким образом, для периода У имеем (поскольку 1996 г. — високосный тод):

125 44

Г = —+ —= 0,4621(год).

366   365         1 ;

Применение короткой модификации правила ACT/ACT дает для этого промежутка результат

Г = ^1=0,4630 (год),

 

поскольку период У не является високосным.

Замечание. Правило ACT/ACT для периодов меньших года (при его точном применении) совпадает по определению с правилом ACT/365 (ISDA), используемым Международной Ассоциацией Своп Дилеров (ISDA — International Swap Dealers Association) [34].

Рассмотренные выше правила базировались на тонной продолжительности в днях календарных периодов. На финансовом рынке, однако, часто встречаются схемы, основанные на так называемом упрощенном или приближенном подсчете дней. Идея этих схем состоит в «выравнивании» продолжительности всех месяцев до 30 дней. Таким образом, в этом случае год будет состоять из 12 мес. по 30 дней, т.е. из 360 дней. Поэтому дивизор Ув формуле

 

Y

для этих правил будет равен 360, а числитель D вычисляется специальным образом. Простейший вариант этого правила, так называемое основное правило 30/360, описывается следующим образом.

Правило 30/360. Пусть <d{; /w,;y,>, Э2 = <d2 m2 у2> — две даты, причем Э2 следует за Эг Тогда приближенное число дней между этими датами

D(d[,d2) = 360(y2-yl) + 3Q(m2-m[) + (d2-dll а продолжительность в годах

 

360

Рассмотрим, например, период от 14.02.96 до 27.08.99. Тогда приближенное число дней между этими датами

/) = 360-3+30-6+(27-14)^1273, а продолжительность в годах

1273

Т = — = 1,5972. 360

Заметим, что точное число дней между этими датами 1291. Это существенно больше приближенного значения 1273, так что абсолютная погрешность равна 18. Однако относительная погрешность вычисления Г по правилу 30/360 по сравнению с точным правилом ACT/ACT будет всего 1,3\%. Это, конечно, обусловлено тем, что в приближенном методе дивизор Y, равный 360, подогнан под продолжительность «приближенного года». В частности, любой календарный период, состоящий в точности из п календарных лет, имеет продолжительность в годах по правилу 30/360, также равную точно п годам. Этот эффект подгонки использован и в описанном выше японском правиле АСТ/365, которое не учитывает високосные даты, приводя таким образом продолжительность годового периода точно к 365 дням.

Приближенное правило 30/360 появилось до создания первых вычислительных устройств и существенно экономило трудоемкость вычислительных операций в финансовой практике. Хотя сейчас с развитием вычислительной техники теоретически необходимость в упрощенных методах отпала, тем не менее, закрепившись в практике, по традиции они используются и в настоящее время.

Основное правило имеет ряд модификаций, отличающихся от основного способом выравнивания длин месяцев. В каждом случае даты, соответствующие последним дням длинных месяцев, преобразуются во вспомогательные. После такого преобразования продолжительность периода в днях (приближенная) вычисляется по основному правилу 30/360.

Приведем ниже формальное описание этих преобразований для четырех правил, используемых профессиональными ассоциациями финансистов. Пусть d] = <dl; т{ у{> и d2=<d2, т2; у2> — две даты. Преобразование этих дат осуществляется следующим способом.

Правило 30/360 ISDA. Если d{ — 31, то d ~ 30, иначе d = dv

Если d2 — 31 vi d[ =30, то d =30, иначе d* -dv

Правило 30/360 PSA (Public Securities Associates). Если d{ ~ 31 или d{ — последний день февраля, то d ~ 30, иначе d = dv

Если d2 = 31 и d - 30, то    = ЗО, иначе d-dy.

Правило ЗОЕ/360. Если dl = 31, то d] = 30, иггаче ^ = .

Если d2 = 31, то J, = 30, иначе d-dr

Это правило есть вариант правила 30/360 1SDA, используемое в основном в Европе, отсюда и метка Е в обозначении правила. Оно отличается от правила 30/360 ISF3A лишь в случае, когда вторая дата также есть 31 число. Европейский вариант всегда преобразует его в 30 число независимо от первой даты. Последнее правило является комбинацией правил ISDA и PSA. Оно применяется для определения накопленных процентов для текущего купонного периода облигации.

Правило 30/360 SIA (Securities Industry Association). Если d = 31 или dx — день купонной выплаты, являющийся последним днем февраля, то d =30, иначе d -dv

Если г/, = 31 и d = 30, то d — 30, иначе d =d2.

В табл. П2 приложения приведены примеры вычисления приближенного числа дней по каждому из этих правил.

Во всех правилах месяц и год исходных дат остаются неизменными, т.е. д =<d*1mly] >и д2 = <d'2;m2y2 >, где d и d2 — дни, вычисленные по одному из правил. Приближенное число дней теперь вычисляется по преобразованным датам:

5(э1,э2)=5(э;,э;),

где Ь вычисляется согласно стандартному правилу 30/360.

Приведенные выше вычисления продолжительности периодов в годовой шкале показывают нетривиальность и многообразие применяемых правил. Их применение (а также происхождение) зависит от страны, валюты, типа финансового инструмента, профессиональной ассоциации, соглашений, установленных эмитентом ценной бумаги, и т.д. Так, правило АСТ/365 применяется для инструментов денежного рынка в Великобритании и Японии (японский вариант). Правило АСТ/360 широко применяется на денежном рынке Франции. Правило 30/360 — на рынках корпоративных облигаций и облигаций федеративных агентств США. Европейский вариант правила 30Е/360 исполь-

 

зуется на рынке евробондов, атакже в Германии и Голландии1. Правило ACT/ACT используется казначейством США, а также на финансовых рынках Франции и Австралии.

Таким образом, корректное применение описываемых ниже моделей в каждом конкретном случае нуждается в тщательном изучении конкретных временных соглашений, применяемых в расчетах с данным видом финансовых инструментов. Знание общих формул не заменяет необходимости изучения конкретных деталей. Однако ниже в нашем изложении в большинстве случаев будем избегать конкретных усложненных схем, ограничиваясь заданием упрощенных данных, позволяющих легко перейти к годовой шкале. Так, срок, непосредственно заданный в месяцах, мы будем преобразовывать в годовую шкалу по естественной формуле

Т- — 12'

где М — срок в месяцах. Срок, заданный в неделях W, можно преобразовывать по формуле

 

52

И конечно, наиболее часто в примерах будем использовать срок, задаваемый непосредственно в годовой шкале, например 2 года, 3,5 лет и т.д.

 

Вопросы и упражнения

1 В отечественной литературе использование правила АСТ/365 именуют «английской практикой», АСТ/360, т.е. банковское правило, — «французской практикой», а правило 30/360 — «германской практикой».

Какие два типа финансовых величин используются в финансовом анализе? В чем состоит основное различие между ними?

Опишите основные виды финансовых потоков.

Укажите основные схемы актуализации финансовых событий и потоков 2-го рода.

Дайте определение ренты и ее (актуализированных) вариантов. Укажите основные параметры ренты.

Какую роль играют свойства детерминированности и полной детерминированности финансового процесса в определении преобразований финансовых событий?

Что такое финансовая схема? Опишите основные элементы финансовой схемы.

Приведите важнейшие свойства финансовых законов. Придумайте примеры финансовых законов для случаев: а) когда эти свойства выполняются; б) когда выполняются не все из этих свойств.

Дайте определения отношений предпочтения и эквивалентности финансовых событий относительно заданных законов капитализации и дисконтирования.

Приведите определение формальной текущей стоимости потока платежей в финансовой схеме.

Дайте определение оператора относительного приведения финансового потока. Докажите, что этот оператор обладает свойством поглощения для любых регулярных финансовых законов.

 

Задачи

Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями

A(c,t,p) = C(l + (p-t)), p>t

D(c,t,p) = C{ + (p-t) t>p.

Являются ли эти законы однородными, стационарными, транзитивными, сопряженными?

Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями

A(c,Up) = C{+(p-t) p>t;

D(cj,p) = C[+(p-t)), t>p.

Определить общий финансовый закон F(c, /, р) и найти соответствующий ему общий коэффициент дисконтирования. Найти текущее относительно р = 0 значение событий: (-1, 100); (0, 200); (2, 500).

Пусть общий коэффициент дисконтирования v(t, р) однородного финансового (общего) закона F(c, t, р) имеет вид

v(t,p) = + (p-tf.

Будет ли этот закон транзитивным и самосопряженным? Найти приведенное к моменту т= 1 значение потока

 

CF= {(-1, 100), (0, 200), (2, 500)}

относительно полюса р - 0.

Вычислить срок в годах, если в месячной шкале он равен: а) 10 мес; б) 12 мес; в) 1 мес.

Дата получения кредита — 15 июня, а погашения — 20 окт. того же года. Найти точное и приближенное число дней до погашения. Найти срок до погашения в годовой шкале по правилам: a) ACT/ACT; б) АСТ/365; в) банковскому; г) 30/360. Предполагается, что год невисокосный.

Заем сделан 16 нояб. 1965 г. и возвращен 9 февр. 1966 г. Найти срок до погашения в годовой шкале по правилам: a) ACT/ACT; б) АСТ/365; в) банковскому; г) 30/360.

Для какого из перечисленных в §1.6 правил срок в годовой шкале между датами 3.07.89 и 14.05.91 будет: а) наименьшим; б) наибольшим?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |