Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

2.3. дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы кредитных сделок

Вернемся к простой кредитной сделке. Начальная сумма долга (сумма выданного кредита) Р — первичный параметр. Она играет роль базы для вычисления остальных параметров. Так, в формуле для процентной ставки

/

г- —

р

проценты за кредит соотносятся с основной суммой долга P, получаемой должником в начале сделки, т.е. Р = S . Оценивая таким образом доходность сделки, кредитор соотносит полученный доход (прибыль) с инвестируемым капиталом. С другой стороны, формулы

 

I=Pr=SQr и S=Su(+r)

выражают тот факт, что проценты начисляются на исходную сумму Sb и по отношению к этой сумме полная сумма S — S} в момент времени /, = Г0 + Г является увеличенной (наращенной), а проценты / дают величину прироста.

Однако кредитную сделку можно описать, взяв в качестве исходного (базового) параметра полную (конечную) сумму долга S = S.

О целесообразности и практическом применении этого подхода будет сказано чуть ниже, сейчас же этот подход будет рассмотрен с формальной точки зрения.

Определение 2.3. Учетной ставкой сделки называется величина

Таким образом, в отличие от определения процентной ставки в определении учетной ставки сумма процентов соотносится не с начальной, а с конечной, полной суммой долга.

Заметим, что / = / — интервальная величина, относящаяся к периоду времени Т, и нет какого-либо естественного (математик сказал бы канонического) правила ее соотнесения к одной из сумм SQ и Sr Раньше в качестве базы соотнесения мы брали S0, а теперь S . С произволом такого рода, связанного с разнотипностью (мгновенной и интервальной) рассматриваемых величин, неоднократно столкнемся в дальнейшем.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что именно конечная сумма долга является отправной, процент /в этом случае получил другое название. А именно разность

 

называется также дисконтом сделки (по отношению к конечной сумме S).

Конечно, численно проценты и дисконт сделки совпадают, различие заключается в выборе отправной точки и направлении движения. Если исходным значением служит начальная сумма долга S0, то переход от нее к S{ означает увеличение суммы, а проценты, как уже отмечалось, — прирост. С позиции конечной суммы долга S{ переход к Su означает уменьшение суммы, а дисконт дает величину этого уменьшения или скидку.

Обращаясь снова к понятию финансовых событий, отметим, что в данном случае событие (гр 55) — платеж полной суммы долга S{ в момент времени t — замещается событием (г, 5) — платежом S в момент времени t.

Содержательный смысл такого перехода очень прост. Найти величину Sn для заданного события (f 5,) означает ответить на вопрос: какую сумму должен выдать кредитор в момент времени /0, чтобы взамен получить в момент времени t{ сумму Sj? Естественно, что при этом процентная (или учетная) ставка кредита считается заданной. Величина 5, понимаемая в этом контексте, называется текущей (сегодняшней, настоящей) стоимостью (или текущим значением) суммы iSj (точнее, события (/,, 51,)). Этот факт записывается в виде

S0 = PKASt). (2.14)

На самом деле в (2.14) речь идет не о суммах, а о событиях. Более корректна запись

М„) = />!<;(»„$,). (2.15)

Тем не менее в дальнейшем все же будем пользоваться общепринятой сокращенной записью (2.14).

Оператор PV перехода от будущего события (7р Л^) к текущему (настоящему) событию (/ S) называется оператором дисконтирования. Поэтому сумму SQ называют также дисконтированным значением суммьг S.

Вернемся вновь к формуле (2.13) и выпишем следующие равенства, немедленно вытекающие из нее:

/ = D = wSl (2.16)

 

50 = 5,(l-w); (2.17)

 

r = ~ = —. (2.18) SQ -w

Учетная ставка w сделки относится ко всему периоду (сроку) сделки и точно так же, как процентная ставка, может быть нормирована, т.е. приведена к базовому периоду.

Определение 2.4. Нормированной простой учетной ставкой сделки, приведенной к базовому периоду, называется величина

 

d=j, (2.19)

где Т= /, — t0 — срок сделки в единицах базового периода.

Так же как и для процентной ставки, базовый период, участвующий в вычислении нормированной учетной ставки, будет присутствовать в качестве соответствующего прилагательного. При этом слова «простая» и «нормированная», как правило, опускаются (например, годовая учетная ставка, месячная учетная ставка).

Зная нормированную ставку и основную или полную сумму долга, легко найти все остальные параметры сделки:

и' = дТ; (2.20) I=D = S{dT; (2.21)

 

S^S^l-dT): (2.22)

 

-dT

dT -dT

8-5169

' =        (2-25)

-dT

Естественно, что учетная и нормированная учетная ставки могут быть выражены через процентную и нормированную процентную ставки сделки. Так, имеют место равенства

w=— = -^-; (2.26) i+r +iT

 

d^—1—. (2.27) і + іТ

К формулам (2.24), (2.25) и двойственным им формулам (2.26), (2.27) необходимо подходить с осторожностью. Следует помнить, что нормированные ставки /, dи срок Гдолжны быть согласованы, т.е. срок должен обязательно выражаться в единицах базового периода, к которому приводятся процентная и учетная ставки сделки.

Не менее существенно и то, что формулы (2.25) и (2.27) для нормированных процентной и учетной ставок зависят от срока сделки. Именно поэтому в приведенный выше список не включены часто приводимые в учебниках по финансовой математике «сбивающие с толку» формулы

d

 

l + l

которые получаются из (2.25) и (2.27) при 7=1. Эти формулы верны только для сделок с единичным сроком. Изменение срока меняет процентную ставку при неизменной учетной ставке и учетную ставку при неизменной процентной.

П р и м е р 2.8. Пусть кредит выдан на 6 мес. под 10\% годовых. Найти учетные ставки за период сделки и нормированные — месячную и годовую.

Решение. По условию /' = 0,1. Тогда по формуле (2.26), учитывая, что Т= 1/2 года, имеем

0 1-

w = —-—— = 0,0476, 1 + 0,1-1

или 4,76\%.

Годовую учетную ставку можно найти либо по определению:

w 0,0476 ^=3=—г—= 0.0952, ' ->

т.е. 9,52\%, либо по формуле (2.27):

 

d   =     =    °Л    = 0,0952,

1 + ішТ   1 + 0, И

т.е. те же 9,52\%.

Месячная учетная ставка

 

или 0,79\%. Здесь Т - 6, так как базовый период — месяц и срок должен быть выражен в месяцах. Заметим, что для использования формулы (2.27) необходимо было бы в качестве / рассматривать месячную процентную ставку

 

12 12

Тогда

0.1

= —= —тгг— = 0,0079. и"   + UT 1+^-6

Таким образом, описание сделки с помощью процентной ставки полностью симметрично ее описанию исходя из учетной ставки. Различие между ними состоит в выборе точки отсчета или, точнее говоря, базового финансового события. В процентной схеме таким является начальное (r0, S0), а в учетной — конечное (tr S{) события.

Введенное несколько формально понятие учетной ставки имеет естественную интерпретацию. Она основана на временном сдвиге момента выплаты процентов. Рассмотрим эту интерпретацию подробнее.

В исходном описании простой кредитной сделки предполагалось, что в начальный момент времени t0 сделки должник получает в кредит основную сумму долга Р = SQ, а в конце г, периода сделки возвращает эту сумму и выплачивает проценты / = /т за период сделки. Таким образом, ключевым здесь является тот факт, что проценты выплачиваются в конце периода сделки. Однако проценты являются с финансово-экономической точки зрения не фондовой, т.е. относящейся к моменту времени, а интервальной характеристикой, т.е. величиной, относящейся к некоторому промежутку времени.

Как отмечалось в §1.2, актуализация такой величины в виде конкретного платежа зависит от конкретных условий финансовой сделки. Таким образом, проценты могли быть выплачены не только в конце срока, а в начале, конце, середине периода или даже в виде серии платежей. Последний случай более подробно рассмотрим в гл. 5, посвященной обобщенным кредитным сделкам. Здесь же отметим лишь авансированную схему, т.е. схему, при которой проценты выплачиваются авансом в начале срока. В специальной литературе проценты, выплачиваемые в конце срока, называются декурсивными, постнуме-рандо или процентами на сто, а проценты, выплачиваемые в начале срока, — антисипативными, пренумерандо или процентами со ста. Мы будем использовать термин «авансированные проценты», как более простой и указывающий на суть дела.

Рассмотрим подробнее сделку с авансированной выплатой процентов. В этом случае должник берет (в момент tQ) в долг сумму Р~~ сумму кредита. Однако проценты теперь должны быть выплачены немедленно. Пусть сумма процентов в такой сделке равна /. Это значит, что на самом деле должник реально получает не сумму Р, а меньшую сумму

 

S0 = P-I.

Следовательно, по отношению к сумме кредита Р выданная сумма S меньше ее на величину /, так что реально / есть не что иное, как дисконт А т.е. скидка с (основной) суммы долга Р, которая в этом случае становится возвращаемой суммой S{ долга. Представляющий поток сделки в этом случае будет иметь вид

CF = {(;„,-/>+/),(/„/>)}.

Если теперь от абсолютных (денежных) характеристик (сумм) сделки перейти к относительным (ставкам), то, определяя ставку сделки как отношение авансом выплаченных процентов / к сумме кредита, т.е. как величину 1/Р, получим, что эта характеристика есть в точности учетная ставка w за период сделки.

Так, если сумма годового кредита Р = 100 000, а стоимость кредита 10\% годовых, выплачиваемых авансом, то должник должен немедленно выплатить из суммы кредита проценты

 

/-0,1-100 000= 10 000(Л>),

так что реально на руки он получает лишь сумму

 

S0 - 100 000 - 10 000 - 90 0Щ.П).

Вернуть же в конце года он, естественно, должен взятую в долг сумму

 

S] = Р= 100 000(^).

Нормируя авансированную ставку w, получим нормированную учетную ставку сделки.

В приведенной интерпретации совершенно естественным выглядит тот факт, что ставка за кредит вычисляется как отношение величины выплачиваемых процентов / к основной сумме долга Р. В обычной схеме, т.е. с выплатой процентов в конце срока, основная сумма долга Р

 

полностью выдается в начале срока, т.е. Р — 50, и поэтому ставка за период интерпретируется как процентная ставка. В случае же авансированных процентов в начальный момент времени выплачивается меньшая (дисконтированная) сумма SQ, тогда как основная сумма долга Ртеперь выплачивается в конце срока, т.е. Р ~ S{ и ставка сделки естественным образом будет интерпретироваться как учетная ставка. Заметим, что в конечном счете с формальной точки зрения мы имеем лишь две реально выплачиваемые суммы (т.е. два фактических события): сумму 50 — выданного кредита и £, — сумму его погашения. Доход, с точки зрения кредитора, или расход, с точки зрения должника, есть разность S] ~- S0. Когда считать эту сумму выплаченной и к какой базе (т.е. к SQ или S}) ее относить, вообще говоря, дело вкуса. Реально для сделки обе ставки, как процентную, так и учетную, легко найти одновременно. Это лишь взаимно-дополнительные относительные (в отличие от абсолютных, денежных) характеристики сделки. Однако на практике имеется естественным образом возникающая асимметрия, обусловленная конкретным видом сделки.

Кредитные сделки обычно воплощаются в виде сделок со специальными финансовыми инструментами — ценными бумагами. Одной из характеристик этих ценных бумаг является их номинал F, по смыслу совпадающий с основной суммой долга. При этом в так называемых процентных бумагах этот номинал играет роль выданной суммы кредита, т.е. S, тогда как в дисконтных бумагах он играет роль суммы погашения 5*,. Поэтому в сделках с дисконтными бумагами учетная ставка появляется столь же естественно, как процентная ставка в процентных бумагах или в банковских депозитах.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |