Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

3.4. стандартная схема простых процентов

Выше мы рассмотрели содержательную (интерпретированную) модель накопительного счета в схеме простых процентов. Объектом изучения этой модели являются процессы процентного накопления, определяемые начальным состоянием (tQ, S0) и основным параметром — нормированной ставкой (накопления) /'. Процессы с одной и той же ставкой / (в одной и той же временной шкале) являются, по определению, эквивалентными и составляют класс (эквивалентных между собой) процессов. Все процессы этого класса описываются одним и тем же законом накопления (капитализации)

 

Как указывалось в § 1.4, именно финансовый закон капитализации (и связанный с ним закон дисконтирования) определяют абстрактную модель данной финансовой схемы.

Поскольку рассматриваемая в этом параграфе схема простых процентов предполагает заданной фиксированную нормированную процентную ставку, то эту схему назовем стандартной, или базовой, схемой простых процентов, в отличие от общей схемы простых процентов с произвольной (переменной) структурой процентных ставок, которая будет рассмотрена ниже.

Финансовая схема позволяет работать непосредственное финансовыми событиями и финансовыми потоками без упоминания о финансовых процессах, «воплощающих» или «реализующих» эти законы. Такой подход обеспечивает необходимую общность и гибкость в анализе различных «содержательных» моделей в рамках одной абстрактной схемы. Ранее уже отмечалась частичная идентичность основных формул моделей простых сделок и накопительных моделей. Переход к абстрактной схеме простых процентов позволяет опускать конкретные детали, обусловленные конкретной спецификацией содержательных

 

моделей, и обратить основное внимание на логическую структуру теории простых процентов.

Финансовая схема (см. § 1.5) включает, во-первых, правила преобразования финансовых событий и, во-вторых, семейство отношений эквивалентности, позволяющих отождествлять или, наоборот, различать денежные суммы и потоки платежей, относящиеся к различным моментам времени.

Опишем подробно схему простых процентов для финансовых событий. Потоки платежей исследуем в последующих главах. Основное внимание уделим именно процессу формализации схемы простых процентов, т.е. того, каким образом получаются, выводятся правила преобразования (приведения) событий и условия их эквивалентности.

Основу финансовой схемы простых процентов составляют финансовые законы:

капитализации

A(ttp,C) = C(+i(p-t)), p>t (3.20) и дисконтирования

£>(/,/>, С) =    f    v (3.21) l + i(t~p)

Оба закона зависят от параметра / > 0 — процентной ставки, определяющей конкретный вид указанных финансовых законов.

. С финансовыми законами единственным образом связаны преобразования финансовых событий или датированных денежных сумм.

Закон капитализации позволяет находить будутие (т.е. приведенные к будущим моментам времени) значения событий (денежных сумм):

Vp = FVp{ttC) = A{t,pX). (3.22)

Закон дисконтирования позволяет находить дисконтированные (т.е. приведенные к прошлым моментам времени) значения событий (денежных сумм):

Vp=DVp(t,C) = D(t,p,C). (3.23)

В рамках абстрактной схемы простых процентов формулы (3.20) — (3.23) определяют просто некоторый вид связи (преобразований) между финансовыми событиями и, строго говоря, не нуждаются в упоминании о каких-либо финансовых процессах, «лежащих в основе» этих финансовых законов. Тем не менее, для того чтобы результаты, полученные в рамках «абстрактной» схемы простых процентов, не носили чисто формальный характер, по мере необходимости придадим им «содержательный смысл», интерпретируя их в терминах содержательных моделей, таких, как модели кредитных сделок накопительного счета.

Свойства финансовых законов схемы простых процентов. Из уравнений (3.20), (3.23) следует, что финансовые законы капитализации и дисконтирования удовлетворяют свойствам нормированности:

А(р,р,С) = С( + !{р-р)) = С

и

D{p, аС) = —f            г = С

для всехр и однородности относительно денежных сумм (см. § 1.4);

 

A(tlP,C) = CA(t,p,)

и

D(t, p,C) = CD(up>),

где

A{t,p,) = + i(p-t) = a{t,p), p>t

коэффициент роста (капитализации);

 

+i(t-p)

коэффициент дисконтирования.

Из условия однородности следует, что

 

A(t,p,Q = Ca(t,p)

и

 

D{Up,C) = Cd(Up).

Финансовые законы капитализации и дисконтирования удовлетворяют свойству монотонности 3° из § 1.4. Иными словами, коэффициенты роста и дисконтирования возрастают относительно / и убывают относительно/?. При этом оба коэффициента являются непрерывными функциями своих аргументов.

Как и в предыдущем параграфе, можно вычислить общий оператор приведения событий к произвольному моменту временир: FV(t,C), p>t Л    }    /Ж,(/,С), p<t.

Нормированность законов капитализации и соответствующее ему свойство

a(p,p) = d(p, р)- позволяет ввести общий коэффициент приведения (дисконтирования)

a(t,p)y p>t; [d{t,p), p<t,

 

который будет всюду непрерывной функцией. При этом очевидно, что

PV„{l,C) = Cv{t,p).

Законы капитализации и дисконтирования являются однородными по времени или стационарными:

a(f + T,p + T)=a(t, р) d(t + T,p+T) = d(t,p).

Естественно, что стационарным будет и общий коэффициент дисконтирования

v(t + T4p + T)=*v(t,p).

Таким образом, все эти коэффициенты, являющиеся функциями двух переменных, сводятся к функциям одной переменной:

a(T) = l+iT;

 

4т)={а{П Т>-°'

К 1   d{-T Т<0.

Перейдем к другим темам. Отметим специфичность финансовых законов схемы простых процентов, которая заключается в том, что эти законы нетранзитивны (нерасщепляемы) в смысле § 1.5.

В самом деле, для закона капитализации я(/0, t) имеем

Ясно, что полученное выражение не равно

e('o>0 = 1 + '('i-'o) для любых /' > 0 и tQ < r<tv Случай / = 0, когда равенство

 

выполняется тождественным образом, не представляет практического интереса, так как при / = 0 нет никакого наращения капитала.

Нетранзитивность закона капитализации (роста) в схеме простых процентов является важным специфическим свойством этой схемы. Содержательно оно означает привязанность процесса накопления к его начальному моменту. Образно говоря, процесс накопления по простым процентам всегда «помнит свой день рождения». В самом деле, принципиальным моментом накопления по простым процентам является то, что проценты начисляются только на начальный (основной) капитал, а на накопленные за предыдущие периоды «старые» проценты «новые» проценты (проценты на проценты) не начисляются. С другой стороны, текущее состояние включает как основной капитал, так и накопленные проценты. Поэтому знания текущего состояния (если оно не начальное) недостаточно для определения последующих состояний, необходимо уметь выделять из него данные о начальном капитале. Если считать процентную ставку — основной параметр процесса процентного роста — известной, то для этого достаточно знать начальный момент t ~~ дату рождения процесса. Именно в этом смысле мы говорим о наличии «памяти» у процесса накопления по простым процентам. Оно и приводит к нарушению свойства транзитивности процесса, поскольку смысл этого свойства состоит в том, что любое, а не только начальное состояние однозначно определяет все последующие состояния процесса.

Очевидно, что финансовый закон дисконтирования, как и закон капитализации в схеме простых процентов, также не транзитивен. В самом деле, для любого т, такого что г0 < т < t]

 

Очевидно, что это выражение не равно

 

при любом /" Ф 0. Случай / = 0 не представляет практического интереса.

Пример 3.7. Рассмотрим два долговых обязательства (векселя): с номиналом .#2500, сроком погашения через год и с номиналом .#3000, сроком погашения через 2 года. Найти текущие стоимости этих обязательств, если рыночная процентная ставка равна 25\%, и стоимость 2-летнего обязательства через год при сохранении того же уровня процентной ставки.

Решение. Текущая стоимость годового векселя

'>№00) = т^ = 2000(.*) ,

а двухлетнего

 

Таким образом, текущие стоимости этих векселей (в момент t = 0) равны. С другой стороны, через год текущая стоимость двухлетнего векселя

Р(/(3000) = -^~ = 2400(;#). 1 + 0,25

Дисконтирование к текущему моменту времени (/ = 0) этой суммы даст

^о(2400) = т^ = 1920(.#),

а не .^'2000. Текущей стоимостью в .#2000 обладает годовой вексель с номиналом не ;#2400, а, как мы видели, вексель с номиналом .#2500.

Эквивалентность событий в схеме простых процентов. Перейдем ко второму аспекту схемы простых процентов — понятию эквивалентности событий, т.е. денежных сумм, относящихся к различным моментам времени. Введенные выше правила приведения событий (сумм) позволяют отождествлять или, наоборот, различать финансовые события (денежные суммы). Естественно считать эквивалентными события (суммы), приводящие к одному и тому же значению V относительно заданного момента времени р. Таким образом, имеем следующее определение эквивалентности событий в схеме простых процентов.

Определение 3.3. Пусть / — заданная нормированная процентная ставка. Два события (t{, С{) и (tv С) называются эквивалентными относительно момента (полюса) р (и ставки /') или р-эквивалентными, если

 

или      _ (        ~ /

Cxv{tl,p) = C1v{t1,p).

 

Эквивалентность событий запишем в виде

(г„С,)~(г„С,).

Знак процентной ставки в обозначении эквивалентности часто будем опускать.

Так, в примере 3.6 события (1, 2500) и (2, 3000) эквивалентны относительно моментар - 0 и ставки / = 25\%, поскольку текущие (приведенные к моменту 0) стоимости сумм .#2500 и г#3000 равны одному и тому же значению .#2000. С другой стороны, событие (2, 3000) будет эквивалентным событию (1, 2400) относительно моментар = I, но последнее событие не будет эквивалентным событию (0, 2000).

Для выяснения конкретного вида описанной выше эквивалентности необходимо выделить три случая взаимного расположения рассматриваемых моментов времени р,   и tY

Пусть р < tx < tr В этом случае оба события (/ С{) и (г2, С2) имеют один и тот же «источник» — состояние (р, V), т.е. (r0, С0) = (р, V). Таким образом, они будут эквивалентны тогда и только тогда, когда их приведенные к начальному моменту значения совпадут:

PVf{C<)=PVp{C>)

ИЛИ

С С

+i(tx-p) +i(t2-p)'

Содержательно, с использованием процесса роста по ставке, этот вид эквивалентности означает, что оба события лежат на одной траектории, порожденной событием (/?, V) как начальным, т.е. р = /0, V~ Sl} (рис. 3.5 а).

Рассмотрим второй случай, когда  р. Оба события (как на-

Рис. 3.5 о

чальные) порождают одно и то же накопленное к моменту р значение V:

FVp{C,) = FVp{Q

ИЛИ

C,(l + /(/>-/1)) = C1(l + i(p-/1)).

Содержательная интерпретация эквивалентности событий вовсе не означает их принадлежность к одной инвестиционной траектории. Более того, можно — утверждать, что эти события обязательно порождают разные траектории (в силу нетранзитивности процесса накопления в схеме простых процентов). Событие (р, К), к которому они оба приводятся, является единственной точкой пересечения этих траекторий (рис. 3.5 о).

Пусть г, < р < tr В содержательной интерпретации событие (t[f С,), как начальное, порождает событие (/?, V), в свою очередь, порождающее событие (г,, С2). Таким образом,

И

V = FVt{Cx) C, = FVU{V)

ИЛИ

 

^(С,) = РКДС2).

Отсюда следует, что

 

Снова можно утверждать, что события (t С) и (/,, С) не лежат на одной траектории (рис. 3.5 в).

Таким образом, содержательно, т.е. в терминах процесса роста, эквивалентность событий относительно момента р будет означать их принадлежность к одной траектории лишь в единственном случае, когда моментр предшествует моментам обоих событий. Очень важно помнить, что момент валоризации в этом случае выступает начальным Моментом, а событие (р, V) — начальным состоянием, порождающим траекторию, которой принадлежат события (t С) и (/,, С,).

Введенное отношение эквивалентности событий действительно является отношением эквивалентности в формальном математическом смысле. Иными словами — это рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение. Эти свойства немедленно следуют из определения эквивалентности событий.

Рассмотрим вопрос о геометрическом представлении (описании) отношения эквивалентности событий. Поскольку финансовые события изображаются точками на фазовой плоскости время — деньги, то каждому классу эквивалентности, т.е. совокупности попарно эквивалентных между собой событий соответствует определенный геометрический образ. Каждый такой класс представляется некоторой гладкой кривой на плоскости, а семейство классов (фактор-множество отношения эквивалентности) — семейством непересекающихся кривых, заполняющих плоскость время — деньги.

Начнем с описания класса эквивалентности единичного события (р, 1). Зафиксируем момент (полюс) р. Полагая

 

получим, что

 

Таким образом, класс эквивалентности события (/?, 1) представляет собой график функции v(pt t) по переменной /(р-параметр). Однако

(+i(t-p),    если t>p

Таким образом, если сдвинуть график функции v(t), приведенный нарис. 3.4, на/? единиц вперед, то получим графическое представление (геометрию) класса эквивалентности единичного события (р, 1), изображенное на рис. 3.6.

 

Подпись:
Следовательно, все события, лежащие на графике, эквивалентны единичному событию и, значит, эквивалентны друг другу. Естественно, что класс эквивалентности события (р, С) получается умножением класса эквивалентности единичного события, на константу С. Таким образом, графически это будет означать умножение графика, описывающего класс эквивалентности события (р, I), на константу С. Меняя С, получим различные классы эквивалентности. Таким образом, вся плоскость разбивается на классы эквивалентности, изображаемые кривыми, подобными графику функции v(t). Это разбиение (рис. 3.7) представляет геометрическое описание или «портрет» отношения эквивалентности событий в схеме простых процентов.

Из-за неоднородной (склеенной) структуры этих кривых изменение момента валоризации р приводит к изменению геометрической структуры классов эквивалентности, т.е. при изменении р, как легко видеть, класс эквивалентности не переходит снова в класс эквивалентности, его элементы распределяются по разным классам, т.е. исходный класс разрушается.

Отмеченное выше свойство неоднородности структуры класса эквивалентности содержательно означает то, что только правый прямолинейный участок — луч, начинающийся в точке (/?, С), является реальной траекторией (фазовой кривой) процесса процентного накопления в схеме простых процентов. Левый, криволинейный участок, лежащий левее точки валоризации р, не соответствует никакому реальному процессу накопления. Если взять некоторое событие (/0, С0), лежащее на этом участке (tn < р) графика, то график процесса будет (рис. 3.8) лучом с началом в этой точке и проходящим через эквивалентную ей точку (р, С).

Поэтому операторы приведения PV (в частности, FV), применяемые к одному и тому же событию, не обязательно порождают последовательность событий, лежащих на одной и той же траектории процесса (с фиксированной ставкой). Тем не менее проведенные выше рассуждения позволяют определить специальную модификацию операторов приведения, которая позволяла бы «двигаться» вперед и назад вдоль некоторой фиксированной траектории.

Относительные (полюсные) преобразования финансовых событий в схеме простых процентов. Введенное выше отношение эквивалентности событий относительно полюса р позволяет ввести так называемое относительное преобразование (приведение) событий (см. § 1.5).

В самом деле, пусть события. (/, С) и (г, V) эквивалентны относительно полюса/э:

С.С)'(т,К).

Используя обобщенный коэффициент приведения (дисконтирования) v(t, р), можно записать условие эквивалентности этих событий в виде

Cv{t9p) = Vv(rtp),

откуда получаем

 

V = C—          г. (3,24)

и

 

Поскольку v(t, р) определено и отлично от нуля для всех г, р, то на равенство (3.24) можно смотреть как на определение некоторого преобразования событий:

Кт = /^>(С>С,44 (3.25)

Оператор PV{/ преобразующий события (t, С) в событие (т, К), называют относительным оператором текущей стоимости или оператором приведения относительно полюса/?. Конкретный вид оператора относительного приведения зависит от взаимного расположения трех моментов времени: I, /?, т, участвующих в его определении. Всего возможно 3! = 6 различных упорядочений этой тройки. Мы не будем выписывать соответствующие явные формулы. Читатель это легко сделает самостоятельно. Приведем лишь один вариант формулы (3.25) для случаяр < t < т.В этом случае очевидно, что у   с1 + ,[Т~Р>

 

Аналогично получаем и другие конкретные варианты формулы (3.25).

Смысл этого оператора прост, он заменяет (при заданном т) событие (г, С) на эквивалентное ему относительно полюсар событие (г, V).

Поскольку коэффициент v{r,p) является самосопряженным, т.е.

v(p,T)=-Y^-r, v(*, Р)

то равенство (3.25) можно переписать в виде

Vt=Ctv{Up)v{p;t) или в эквивалентном операторном виде

vr = pv^(c,)=pv,{pvr(c,)).

Таким образом, относительный оператор приведения представляет собой композицию двух обычных операторов приведения

PV[xp) = PV4oPVp.

Иными словами, событие сначала преобразуется к полюсу, а затем к точке приведения т.

Нетранзитивность финансовых законов в схеме простых процентов не позволяет заменить эту композицию одним оператором приведения РУт, иначе говоря, этот оператор не «поглощает» оператор PV приведения к полюсу р. Как показано (см. § 1.5), транзитивные законы обладают свойством поглощения, т.е.

PV oPV =PV

так что для них относительный и обычный операторы приведения совпадают. Это свойство выполняется, например, для схемы сложных процентов, что делает ее существенно более простой (как это ни парадоксально звучит), чем схема сложных процентов.

Оператор относительного преобразования допускает простую интерпретацию для процесса накопления по простым процентам, если в качестве полюса р взять начальный момент времени t(i. В этом случае для   г> t получим

 

11-5169

т.е. событие (t, С) сначала приводится (дисконтируется) к начальному моменту tQt а затем — к некоторому другому моменту времени т. Таким

образом, оператор приведения PV^'^ относительно начального момента tQ преобразует (связывает) состояния, лежащие на одной траектории процесса с началом в /. Этот оператор действует «вдоль траектории» процесса.

Пример 3.8. Рассмотрим накопительный счет, открытый в момент времени ta = 0. Процентная ставка / по вкладу равна 20\% годовых. Известно, что к концу третьего года сумма вклада составила #1600. Найти сумму вклада в конце: а) 2-го; б) 5-го годов.

Решение. Поскольку речь идет о конкретном вкладе, то решение легко получается с помощью относительного оператора текущего значения:

а)         S2 = PV2°(S3) = 1600■1 + °'2[2"° = 1400(.#);

2      2 к "         1 + 0,2(3-0) 1

«/   ч    1 + 0,2(5-0)     . ,

б)         S, = PV? (S, =1600     Ц         { = 2000р?) .

5      5 v ,}       1 + 0,2(3-0)        v ;

Пример 3.9. Вкладчик за 2 года накопил при ставке 20\% годовых .J/?210. На сколько увеличится вклад за следующие 3 года?

Решение. Пусть начальный момент времени выбран нулевым. Тогда по условию

 

S2 = .#210.

Ясно, что начальная величина вклада

50 = PVJSA^   210   = 150Ш. 0      н 11   1+0,2-2       k ]

Тогда через 5 лет (2 + 3 года) сумма вклада составит

S5 = 150(1 + 0,2-5) = 300(;#). Таким образом, за последние 3 года вклад возрастет на сумму

S5- S2 = 90( .#).

Этот результат можно было бы получить сразу, найдя проценты, начисленные за последние 3 года. Они составят

/, = 150-0,2-3 = 90(;-#), т.е. те же .#90. Конечно, было бы ошибкой находить их умножением ставки за 3 года

г3 = 0,2-3 = 0,6

на сумму Sv которая кроме начального капитала содержит и проценты за первые 2 года. Напомним, что в схеме простых процентов начисление процентных сумм осуществляется только на начальную величину капитала (долга и т.п.).

Финансовые потоки в схеме простых процентов. Перейдем теперь к анализу денежных потоков в рамках схемы простых процентов. Рассмотрим сначала операцию приведения потока к заданному полюсу.

Простейший вид такой операции — так называемое формальное приведение (см. § 1.5) потока, являющееся просто линейным продолжением операции приведения отдельных событий. Определение 3.4. Пусть

ст={(/1,с1),(/2,с2),..,(/я,сд)}

— финансовый поток. Тогда стандартным приведенным к полюсу р значением потока, обозначаемым через PVp(CF), называется сумма приведенных к полюсу р значений событий, составляющих этот поток:

 

Приведенное значение потока называют также текущим значением или текущей стоимостью относительно полюса р, а оператор приведения PVp — оператором текущей стоимости.

Конкретный вид стандартного приведенного значения зависит от положения полюса р относительно критических моментов потока. Так, при

 

получим

Пример 3.10. Для потока

CF={1, 100), (2, -200), (3, 100), (4, -120), (5, 700)}

Найти стандартную текущую стоимость в точке р = 3 относительно ставки / = 20\%. Решение. Используя формулу (3.26), имеем

PVACF} = 100(1 + 0,2-2)-200(1 + 0,2) + 100—— +   7°° =400.

л    1       у       1       к       '     1 + 0,2   1 + 0,2-2

В частности, когда полюс следует за всеми критическими моментами потока, т.е.

г, </2 <...</„ <А

стандартное приведенное значение называют также будущим стандартным значением или стандартной будущей стоимостью. В этом случае оператор приведения PV записывают как FV

 

FVp(CF) = ^Ck(l+(p-tk)).

 

На практике часто встречается и двойственный случай, когда полюс предшествует всем критическим моментам потока, т.е.

 

p<tx<t2<...<tn.

Тогда говорят о стандартной дисконтированной (текущей, сегодняшней) стоимости потока и пишут

DV(CF) = f    fk ..

 

На этом закончим изложение стандартной схемы простых процентов. Здесь мы ограничились в основном анализом лишь отдельных событий и ввели только одно понятие, касающееся финансовых потоков. Однако финансовые потоки естественным образом появляются в анализе кредитных операций и играют очень важную роль. Ниже мы рассмотрим финансовые потоки более подробно сначала содержательно в рамках так называемых моделей с переменным капиталом, а затем с более общей точки зрения.

 

Вопросы и упражнения

Укажите, что общего и в чем различие между формулами простых процентов для моделей индивидуальной сделки, простого класса сделок и накопительного счета.

Укажите три интерпретации нормированной процентной ставки в схеме простых процентов.

Какой вид имеет траектория состояний накопительного счета в схеме простых процентов? Могут ли пересекаться эти траектории для вкладов с различными начальными условиями: а) если моменты открытия счета совпадают? б) если моменты открытия счета различны?

Определите основные операторы преобразования (приведения) событий в схеме простых процентов. Выпишите выражение для общего коэффициента дисконтирования.

Опишите геометрическую структуру классов эквивалентности финансовых событий

Опишите стандартную схему простых процентов.

 

Дайте определение оператора относительного приведения. Запишите его представление в виде композиции обычных операторов приведения и докажите, что он обладает свойством поглощения.

Дайте определение стандартного текущего значения потока платежей относительно полюсар в схеме простых процентов.

 

Задачи

1.         Найти накопленное значение суммы ;^?500 за 1 мес. для годовой простой

процентной ставки 24\%.

Найти обычные и точные простые проценты за 90 дней для вклада .#800 по ставке 15\% годовых в невисокосном году. Правило АСТ/360.

Фирма внесла в коммерческий банк ::#8 млн на срок с 9 ноября по 21 ноября того же года. На вклады «до востребования» банк начисляет простые проценты — 36\% годовых. Определите наращенную сумму. Правило АСТ/365.

Каков размер вклада, если накопленная сумма за 6 мес. при годовой простой ставке 5\% равна .#2050?

Для события (3, 500) в годовой шкале найти эквивалентные ему события в моменты 0; 2; 9 относительно полюса 2 и простой процентной ставки, равной 20\% годовых.

Инвестор открывает накопительный счет в банке. Простые проценты за 9 лет составили :#97 200, а сумма вклада на конец 9-го года в два раза превышает сумму вклада на конец 3-го года. Какая сумма была инвестирована и какова годовая процентная ставка?

При какой простой процентной ставке текущая стоимость двух выплат по #200 в конце каждого из двух лет равна текущей стоимости одной выплаты в .Л'500 в конце 2-го года?

Для потока

CF= {(1,100), (3, -500), (5, 200)} в схеме простых процентов найти стандартные текущие значения для моментов 0, -1,3, 4, 5, относительно нормированной ставки 20\%.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |