Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

5.2. регулярные схемы погашения долга для простых процентов

В предыдущем параграфе мы ограничились лишь рассмотрением коммерческой модели погашения долга. Дело в том, что для актуарной модели формулы (5.2), (5.4) и (5.5) неверны. К сожалению, явные формулы для баланса долга в случае произвольных погасительных платежей по актуарному правилу выписать не удается. Однако это можно сделать для так называемых регулярных схем погашения, когда погасительные платежи образуют ренту. Имеется несколько разновидностей регулярных схем погашения.

В первой долг погашается п одинаковыми платежами с периодом h. Каждый платеж осуществляется в конце очередного периода.

Во второй регулярной схеме погасительные платежи также выплачиваются регулярно в конце очередного периода длины h. Однако теперь одинаковой является только часть, идущая на погашение основного долга, а остальная часть идет на выплату процентов за текущий период. Естественно, что полная величина погасительного платежа в этом случае будет меняться.

Рассмотрим обе схемы подробнее. Начнем со схемы с одинаковыми платежами величины С. Для простоты выберем период h в качестве базовой единицы времени. Тогда если ставка по кредиту за период h — 1 равна ih — /, то уравнение баланса

В = 0

л

в момент tH — п последнего платежа для коммерческой модели запишется, согласно (5.5), в виде

Р(1+/л) = ^C(+ik)=C^( + ik).

 

Отсюда, суммируя арифметическую прогрессию

ак~ + ik,   к = 0, 1,..., п — 1,

(л .«-1

получим

P( + in) = Cn

V 2

Последнее равенство позволяет определить требуемый размер платежа

P(+in)

 

п + i

2

Для актуарной модели, как будет показано (см. гл. 13), уравнение баланса при условии С > Pi имеет вид

*(!+')' = І СР+')'=СХ0+')*-

к=п~ /ЬО

Отсюда, суммируя геометрическую прогрессию

qk = (+if, к=0,,...,п-,

получаем

 

Из последнего равенства можно получить выражение для величины погасительного платежа:

с^/>/(1+/)^ Pi

( + i)a- 1-(1+/)-л'

Конечно, нет смысла запоминать формулы для погасительных платежей. Проще в каждом конкретном случае выписывать соответствующее уравнение баланса и из него находить требуемые характеристики схемы погашения.

Пример 5.3. Пусть кредит в J?5000 погашается в течение 10 лет одинаковыми выплатами в конце каждого года. Найти величину погасительных платежей, если ставка По ссуде 20\%.

Решение. Уравнение баланса для коммерческого правила имеет вид

9

5000(1 + 0,2 • 10) = £С(1 + 0,2*)

* = 0

или

15000 = с( 10 + 0,2— | = 19С.

Отсюда находим, что

 

С = ^2=789,48(:»).

5000(1 + 0,2)Ш=СХ (1 + 0,2)*

Для актуарного правила уравнение баланса имеет вид

9

 

(Ы0

ИЛИ   / ч'°

5Ш-(і,2)10=сМ-і!,

 

откуда

 

Рассмотрим второй вид регулярных схем погашения. Погасительный платеж Ск состоит из двух частей: одинаковой для всех платежей части, идущей на погашение основного долга, и процентной, предназначенной для выплаты процентов. Если долг Р погашается п платежами, то

 

п

 

где Скр — процентная часть погасительного платежа.

В коммерческой модели платежи изменяют только состояния основного счета. Таким образом, для этой модели все платежи Ск, кроме последнего, равны Р/пу т.е.

Р

С. = —, £ = 1,2,.,.,я-1. п

Лишь последний платеж Сп имеет процентную часть, идущую на погашение всех накопленных за период погашения процентов:

cy=-/(o,#i)=-/„.

Эти проценты легко найти, поскольку ясно, что величина основного счета после к-то погасительного платежа

Рк=-Р+-Р = -Р

( к I--1 V п)

к п

и, следовательно, проценты за следующий (А: + 1)-й период составят

Тогда сумма всех процентов за период погашения

 

*=1      к= п

Суммируя арифметическую прогрессию

п

к-

, к — 1,2,...,п,

получим

 

I=-Pi

п + 1

 

Таким образом, для коммерческой модели получаем

 

Р

Ск=—, £ = 1Д...,л-1;

 

 

П

г     п(п + 1)

1+/—1 L

{ 2

Для актуарной модели нулевой баланс в момент последнего платежа будет достигнут, если процентная часть погасительного платежа в точности равна по абсолютной величине процентам за текущий период:

Спр- J W     J k

В этом случае состояние основного счета после k-го платежа, как и для коммерческой модели, будет

 

Рк=-Р

и, следовательно,

f к~1Л

 

 

Таким образом, в актуарной модели

к-1

я  V     п )

 

Я = —(і + (л-£ + 1)/), /: = 1,2,...,л.

пv ;

Пример 5.4. Пусть, как в примере 5.3, долг в ^ 5000 погашается ежегодными платежами по ставке 20\% по второй регулярной схеме. Это значит, что все платежи имеют одинаковую часть, идущую на погашение основного долга. Найти величины погасительных платежей для коммерческой и актуарной моделей.

Решение. Для коммерческой модели

Q =-^ = 500(3?), * = 1,2,...,9,

и

( 1011

С10 = 500

1 + 0,2—^ = 6000(3?).

Перед последним платежом состояние счета имеет вид

Р9 = -500{3?); /9 = -5000-0,2X^1 --^^ = -5400(;??).

Проценты за последний период

/10= -500 0,2 = -100(3?) и, следовательно, конечное значение процентного счета

/10 - -5500.

Конечное значение основного счета

/>10 = -500 + 6000 = 5500( 3?). Таким образом, последний платеж С10 действительно приводит к нулевому балансу:

5ю = Рт + Ао = 5500 - 5500 = °-

Отметим еще раз особенность коммерческой модели. В ней баланс достигается только за счет взаимной противоположности процентного и основного счетов при последнем платеже. Строго говоря, последний погасительный платеж целиком идет на изменение основного счета и его «деление» на погасительную и процентную части, вообще говоря, условно.

Для актуарной модели платеж за k-vi период

С. =500 + 1000

( к-\

1-^J = I500-I00{*-1), £ = 1,2,...,10.

Отсюда получаем, что

 

С,= 1500(31); С2 = 1400(3?»-,    С10 = 600(3?).

Обычно процесс погашения долга описывают в виде графиков (таблиц) погашения долга, в которых указывается последовательность погасительных платежей с указанием их структуры (т.е. разбиения на основную и процентную части) и остатка текущего счета (баланса) после каждого платежа. Эти графики аналогичны графикам состояния счета, рассмотренным в предыдущем параграфе.

Пример 5.5. Пусть долг в ЗРЮОО погашается четырьмя квартальными платежами. Составить таблицу погашения долга для двух регулярных схем погашения, если ставка по кредиту 40\% годовых.

Решение. Поскольку платежи ежеквартальны, то найдем сначала ставку за квартал: ,=М=од,

4

т.е. 10\%. Для первой схемы — схемы с равными погасительными платежами по коммерческому правилу имеем балансовое уравнение

или откуда

1000(1 + 0,1-4) = С [(1 + 0,1-3) + (1 + 0,1-2) + (1 + 0,1) + 1]

 

1400 = 4,6С,

С =304,35(3?).

Модель погашения долга для этого случая представлен в табл. 5.1.

Для коммерческого правила нет смысла в разбиении погасительного платежа на основную и процентную части, поскольку весь платеж идет прежде всего на погашение основного долга, и нулевой баланс достигается по полному счету в момент последнего платежа.

Для актуарного правила уравнение баланса в схеме с одинаковыми платежами имеет вид 4

 

V       ' 0,1

откуда

С= 315,47(3?).

График погашения долга в этом случае представлен на табл. 5.2.

идущую на погашение основного долга, так что долг с каждым платежом уменьшается на ,Щ 250. Процентная часть платежа, как и в предыдущем случае, в точности равна накопленным за текущий период процентам.

Наконец, отметим еще один тип задач, тесно связанных с интерпретацией обобщенных кредитных сделок как покупки ренты. Этот вид сделки заключается в обеспечении вкладчиком будущих регулярных выплат за счет единовременного начального взноса. В задачах такого типа основной вопрос состоит в определении величины платежей для заданных будущих моментов и размера первоначального взноса. Взнос, обеспечивающий будущий поток платежей, естественно рассматривать как стоимость или цену этого потока.

Фактически речь идет о вычислении текущей стоимости потока платежей. Аналогичная задача уже решалась для схемы мультисчета, где вкладчик обеспечивал каждый платеж в отдельности, покупая, например, вексель, облигацию или любое другое долговое обязательство. Здесь же речь идет именно о единовременном общем взносе или, как говорят, премии. При этом будущие выплаты представляют собой амортизацию этого взноса.

Таким образом, приходим к проблеме нахождения текущего значения потока платежей для схем с коммерческим правилом. Поскольку понятие текущего значения относится к весьма важным и довольно сложным, мы посвятим ему отдельную главу.

 

В заключение рассмотрим еще одну регулярную схему погашения, связанную с так называемым потребительским кредитом.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |