Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

5.3. потребительский кредит

Потребительский кредит — краткосрочный кредит, предоставляемый населению для покупки предметов личного потребления. Как и в простом кредитном контракте, основными параметрами потребительского кредита являются сумма кредита Р, срок Г, на который он выдается, и процентная ставка по кредиту і.

Как правило, такой кредит погашается в рассрочку, т.е. периодически выплачиваемыми погасительными платежами. Однако способ расчета погасительных платежей существенно отличается от рассмотренных выше регулярных схем. Главный принцип, определяющий условия погашения в потребительском кредите, состоит, во-первых, в единовременном начислении всей суммы процентов на величину долга в момент выдачи кредита и, во-вторых, в постепенной выплате или, как еше говорят, амортизации полной суммы долга регулярными платежами. При этом баланс долга и выплат определяется без учета временной стоимости денег. В этом принципиальное отличие такой схемы от уже рассмотренных схем, учитывающих «процентную динамику» как долга, так и погасительных платежей.

Формально схема амортизации долга в потребительском кредите может быть описана следующим образом.

Пусть Р — основная сумма долга, выданная в момент t,T — срок и / — процентная ставка кредита. Тогда полная стоимость кредита

S=P(+iT). Схема погашения определяется потоком платежей

ст={(*„с1),(/„сг),...,(/..с.)},

причем

Уравнение баланса для такой схемы погашения имеет вид

Р(1+/Т)=ХС,. (5.6)

 

Таким образом, поток CF погашает долг, если сумма всех погасительных платежей равна полной сумме долга (с учетом процентов).

14-5169

Общая схема имеет различные конкретные воплощения. Чаще всего потребительский кредит погашается регулярными одинаковыми платежами. Если долг погашается п одинаковыми платежами, то размер каждого погасительного платежа

с   S_P(l + iT)

П П

Так, для годового кредита на сумму '3R 500 по ставке 20\% годовых, погашаемых 12 ежемесячными платежами, каждый платеж

500(1+0,2) 12

Рассмотренная схема погашения называется равномерной или линейной амортизацией долга. В этом случае и основной долг и проценты по нему выплачиваются одинаковыми долями. Структура погасительного платежа очевидна: поскольку

 

 

где

 

то

 

Таким образом, причем

S=I+P, 1= PiT,

 

п    п п С = Сосн + Спр,

 

Р I

П П

Отметим, что для потребительской схемы погашения, как и для коммерческой и актуарной схем, определено понятие текущего баланса, т.е. состояние ссудного счета в любой момент времени. Он равен разности между полной суммой долга и суммой выплаченных к данному моменту погасительных платежей:

к'

k:tk<!

b,=-s+ £с,

 

Это состояние можно разделить на основную и процентную части, если в схеме погашения указана структура погасительных платежей. Так, для равномерной схемы

( т

/}=-/>+ х сг=-1-- л

v

где /и — максимальный из номеров к таких, что tk < t.

Аналогично

V-1

 

Другой регулярной схемой погашения в потребительском кредите является метод ускоренной амортизации процентов. Основной долг, как и в равномерном случае, погашается равными долями, тогда как процентные платежи представляют собой убывающую арифметическую прогрессию.

Иными словами, для схемы с п платежами

Ck = С k  ■+■ С k , к — 1,2,..,, л,

где

р

С

ОСИ  

к ~

п

и

C?=ak=a,-d(k-), d>0. Уравнение баланса в этом случае означает, что

±C?=^^I=PiT. (5.7)

к=1

Задавая один из параметров профессии, например а, или d, можно найти все остальные процентные платежи. Чаще всего сначала определяются не сами платежи Скр, а их веса

С? а>

 

т.е. доля платежа в общей сумме процентов. Тогда сумма всех весов равна 1:

2 пп-\ wn=wx-(n-)d.

В этих двух уравнениях из трех величин w]9wu,d одну можно выбрать произвольно. Так, для годового кредита, погашаемого 12 ежемесячными платежами, при условии, что процентная часть уменьшается с каждым платежом на 1/12, т.е. d = —wp получаем

11

w + w  щ

1    '     12 ]12 = 1;

2

откуда 2          1 1

ил = — и        d - — w, = —.

'13       12 1 78

Поскольку

__2__12 ^~13~78'

то последовательно

11        10 1

2   78     3   /*8            12 78

и, значит,

 

12 1

С

пр                    *       Г /^ПР     /

1        7g          12 у8

Это так называемая амортизация по методу «78-х». Общий знаменатель 78 в выражении для весов есть просто сумма номеров месяцев в году:

78 = 1 + 2 + ... + 12. Для предыдущего примера годового потребительского кредита на ^?500 по ставке 20\% с ежемесячным погашением имеем

 

/= 500-0,2 = 100

и,следовательно,

Госн _ 500

12 '

^=^(13-*), Аг = 1,2    12.

Таким образом, окончательно получим

 

к     к   12    78 '

 

Отметим еще раз существенное отличие условия погашения (уравнение баланса (5.6)) для потребительского кредита от ранее рассмотренных коммерческой и актуарной схем погашения. Хотя по смыслу равенства (5.7) проценты в потребительском кредите начисляются на весь срок кредита, тем не менее они выплачиваются не в конце срока, как в простой кредитной сделке, а в рассрочку в течение кредитного периода, т.е. досрочно. Но частичное погашение долга до конца срока и в коммерческой, и в актуарной моделях ведет к уменьшению величины основного долга. Поэтому проценты за период, следующий после очередной выплаты, будут меньше процентов, начисленных за предыдущий период. В частности, сумма выплаченных процентов за весь период должна быть меньше, чем проценты, начисленные за весь период на начальную сумму долга. Таким образом, если

с?={(л, с,), (^2, С2),... Дг„, с„)}

— поток погасительных платежей по коммерческому или актуарному правилу на ту же сумму кредита Р и по той же ставке /, то

Хс7</=лт.

 

В частности, отсюда следует, что

Yck<s=p+i.

Jt=!

Так как погашение кредита в актуарной или коммерческой моделях по ставке / требует меньших погасительных сумм, чем погашение той же суммы долга при той же ставке по потребительской схеме, коммерческая и актуарная схемы погашения дешевле (лучше), чем потребительская для должника. Однако этот факт иногда выражают в виде утверждения, что ставка, указываемая в потребительской схеме, не является реальной стоимостью кредита, а занижена, т.е. действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процентную ставку [28].

Для того чтобы последнее утверждение было осмысленным, необходимо уметь находить «истинную» процентную ставку для данной схемы погашения и, в частности, уметь находить реальную стоимость потребительского кредита. Следует четко осознавать, в чем, в сущности, состоит проблема определения «истинной» или, как еще говорят, внутренней процентной ставки схемы погашения. Пока в рамках схемы простых процентов есть лишь одна однозначная общепринятая характеристика стоимости кредита, которая была определена для простой кредитной сделки, — это нормированная процентная ставка.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |