Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

5.4. нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок

Нормированная процентная ставка простой сделки со сроком Г, начальной суммой долга Р и полной суммой Sопределялась как

рТ -Т[р / Отсюда в § 3.3 было получено ключевое уравнение

P(l + iT)=S,

которое можно рассматривать как уравнение баланса для простой сделки, где основной долг погашается одним погасительным платежом

 

C = S=P+I.

Его основная часть совпадает с начальной суммой долга Р, а процентная — с величиной процентов за период сделки.

Рассмотрим обобщенную кредитную сделку, подразумевающую погашение кредита с основной суммой Р, выданной в момент г0, и серией погасительных платежей

            [t.,c.)}.

Допустим, что в соответствии с условиями этой сделки погасительный поток CF полностью погашает долг Р. Необходимо подчеркнуть, что такое допущение есть просто соглашение сторон кредитного контракта: кредитора и должника.

Важно понимать, что в определении общей кредитной сделки нет никакого упоминания о процентных ставках, как его не было и в случае простой кредитной сделки. Формально сделка определяется лишь в терминах контрактной эквивалентности двух потоков — кредитного и погасительного. В нашем случае кредитный поток сводится к событию (tQ, —Р), хотя на практике встречаются и более сложные ситуации, например кредитная линия и т.п. Для обобщенной сделки, как это сделано для простой кредитной сделки, можно поставить вопрос о количественной мере ее эффективности или стоимости. Иными словами, можно ли каким-нибудь способом определить такую ставку, которая отражала бы эффективность или стоимость обобщенной сделки в целом с учетом внутренних (на периоде сделки) платежей? Искомую ставку принято называть внутренней процентной ставкой сделки. Естественно также требовать, чтобы в вырожденном случае, т.е. когда погасительный поток платежа сводится к единственному платежу, внутренняя ставка сделки совпадала с простой нормированной ставкой сделки.

К сожалению, однозначно без предварительных предположений ответить на этот вопрос невозможно. Однако вопрос становится корректным и внутренняя ставка вполне определенной, если изучать сделку в рамках одной из приведенных выше моделей схем погашения. Поэтому параметры /0, Р0, CF обобщенной кредитной сделки позволяют определить, вообще говоря, не одну, am/ш внутренние процентные ставки:

а)         коммерческую ставку icom, равную нормированной ставке і, для

которой выполняется условие баланса

Blm=S^(-P,CF,i) = 0

в коммерческой модели;

б)         актуарную ставку /ас' — нормированную ставку /, для которой

выполняется условие баланса

 

B,M=S?{-P,CF,t) = 0

в актуарной модели;

в)         потребительскую ставку іcons, для которой выполняется уравне-

ние баланса

В{ = S,cons (-Р, CF, і) = О

в модели потребительского кредита.

По крайней мере в двух случаях можно записать явные, причем линейные уравнения, определяющие внутреннюю ставку сделки. Так, для коммерческой схемы погашения уравнение для ставки /сот имеет вид

 

-p(i+/(c-f.))+2;c1 (!+«'('.-'.))=<»■

 

Решая это уравнение относительно /, запишем

tc>-p

'('.-'.Ьісж-О (5'8)

k=l

Для потребительской схемы погашения имеем уравнение баланса, определяющее потребительскую ставку

 

/>(l+,T)=XQ,

k=]

где T=tn~ г0. Решая это уравнение, получим

Ус,

( «

lck-p

Наконец, для схем погашения с одинаковыми погасительными платежами, т.е.

С, — С2 — ... — Сп = с,

можно написать уравнение для актуарной ставки. Уравнение баланса в этом случае (см. гл. 13) имеет вид

 

рЫ'=Sc,(i+»)'■-" =с£(1+/)'"-".

 

Это нелинейное уравнение. Решая его одним из известных приближенных методов, можно найти приближенное значение ставки /act.

Таким образом, вопрос, какова истинная ставка обобщенной кредитной сделки погашения, некорректен. Ответить на него можно лишь в рамках указанной схемы (модели) погашения. Поскольку условия сделки представляют собой обоюдные соглашения сторон, то в конечном счете важно, действительно ли обе стороны соглашаются считать, что погасительный поток CF точно и полностью погашает долг Р. Такое соглашение может не предусматривать никаких упоминаний о какой-либо модели погашения. Однако вопрос о модели погашения непременно возникнет, если необходимо отслеживать процесс погашения долга, находить его промежуточные состояния и т.д. Это особенно важно, когда по тем или иным причинам исходная схема изменяется, или, как говорят, долг реструктуризуется. В этом случае необходимо знать невыплаченный остаток долга и прийти к соглашению о новой схеме его погашения. Конечно, и в этом случае можно считать, что стороны вновь просто договариваются о том, как видоизменяется погасительный поток, чтобы по-прежнему он находился в балансе с невыплаченным долгом.

На практике действуют систематическим образом, т.е. теоретически стороны в любой момент времени знают состояние процесса погашения и свои позиции в нем. Но такое возможно лишь при известной модели процесса или схемы погашения. Поэтому, хотя обобщенную кредитную сделку можно описать в терминах лишь основного долга и погасительного потока, такое описание будет неполным в двух отношениях. Во-первых, в случае расторжения, прерывания, реструктуризации и т.п., как отмечалось выше, необходимо определять «текущее состояние» сделки. Во-вторых, без указания модели погасительного процесса нет возможности сравнения эффективности (доходности) сделки, с точки зрения кредитора, и ее «стоимости», с точки зрения должника. Указание модели погашения сразу позволяет находить эти характеристики схемы погашения, описываемые внутренней простой нормированной процентной ставкой. Тогда сравнение различных сделок можно осуществлять по величине этой ставки, рассматривая, естественно, обе сделки в рамках одной модели.

После сказанного становится ясно, что ответ на вопрос, какова реальная стоимость потребительского кредита со ставкой /, тавтологичен: она равна указанной ставке /. Если же под реальной стоимостью понимать внутреннюю ставку в другой модели погашения, то это некорректно. Можно лишь спросить, какова внутренняя процентная ставка аналогичной (с тем же долгом и погасительным потоком) сделки в другой, например коммерческой или актуарной моделях, но это совсем другой вопрос.

Пример 5.6. Рассмотрим кредитную сделку с суммой долга Р = МХ000, погашаемого четырьмя одинаковыми платежами, по .^300 в конце каждого квартала. Найти внутренние годовые ставки для каждой схемы погашения.

Решение. Для коммерческой модели балансовое уравнение для ставки имеет вид

300(1 + Зу) + 300(1 + 2j) + 300(1 + j) + 300 = 1000(1 + 4j), где j — ставка за квартал, или

1200 + 1800 У — 1000 + 4000/

Отсюда получаем, что

J = 0,0909

и, следовательно, годовая ставка

/сога = 4у= 36,36\%. В потребительской схеме имеется уравнение

1000(1 +/) = 4-300 - 1200,

откуда

і"*" - 20\%.

Наконец, в актуарной модели для квартальной ставки у" получаем уравнение

300(1       + 300(1 +j)2 + 300(1 +у) + 300= 1000(1 + у)4.

Это уравнение имеет единственный положительный корень. Решая его одним из приближенных методов, получим

j= 0,07715, и, следовательно, годовая актуарная ставка

/ = 4 / = 0,3086 или iKt = 30,86\%.

Как показывает пример, при погашении долга равномерными погасительными платежами самая высокая ставка соответствует коммерческой модели. Именно этот факт, по-видимому, и служит основанием для вывода о том, что реальная ставка кредита в данном примере —

не объявленные 20\% годовых потребительской схемы, а, например, 36,36\% коммерческой. Однако кроме коммерческой схемы есть еще и актуарная модель; ей соответствует 30,86\%, что больше потребительской, но меньше коммерческой ставки. Какая из двух ставок реальная? Вполне возможно придумать и другие схемы погашения, дающие и другие значения стоимости кредита. Бесспорным является факт, что схема (актуарная и коммерческая), учитывающая временную стоимость денег, дает значения внутренней ставки более высокие, чем потребительской ставки. Однако, на наш взгляд, все же прямое сравнение ставок, полученных в разных моделях, строго говоря, некорректно.

Как неоднократно сможем убедиться в дальнейшем, определение индивидуальных характеристик сделок — это, в некотором смысле, произвольный акт. Для определения эффективности или относительной стоимости кредита можно было бы использовать не обычную нормированную простую ставку, а ее логарифм или коэффициент роста, и вообще некоторую функцию временных и финансовых параметров. В последующем мы определим так называемую эффективную ставку сделки. Каждое такое определение есть по существу, задание конкретной модели оценивания эффективности и/или стоимости кредитной операции. Непосредственное сопоставление значений ставок для одной и той же сделки, но в разных моделях, вообще говоря, некорректно. Однако осмысленным является сравнение эффективности разных сделок относительно одной и той же модели. Поэтому «дороговизна» потребительской схемы погашения заключается не в том, что существует какая-то «истинная стоимость» этой сделки, которая будет выше объявленной ставки, а в том, что реальные погасительные платежи для заданной суммы кредита при этой объявленной ставке в других схемах оказываются существенно меньшими.

Пример 5.7. Найти величину погасительного платежа для кредита .#100.0, погашаемого четырьмя одинаковыми выплатами в конце каждого квартала по ставке 20\% годовых в каждой из рассмотренных моделей.

Решение. Для потребительского кредита величина платежа

ао№=юоо-^^=зоо(9?).

 

Для коммерческого правила из уравнения баланса получаем

Подпись: (Подпись: 3Подпись: 1

1000(1+0,2)= X

1 + 0,2 - +Х 1 + 0,2--

4

 

+ Х

1+0,21 + *,

 

или

1200 = 4,3*,

откуда

 

+Х,

 

или

1215,506*= 4,3101.

Отсюда

= 282(.#).

Как и следовало ожидать, самой дешевой по погасительным платежам для заданной годовой ставки 20\% является коммерческая модель.

Факт, сформулированный в конце предыдущего примера, выполняется и в общем случае. Для любых заданных величины кредита и ставки среди всех схем погашения с равными платежами наименьшей величиной погасительного платежа будет обладать коммерческая модель. Вместе с тем для любой кредитной сделки с одинаковыми погасительными платежами, внутренняя ставка по коммерческой схеме будет наибольшей. Несложное доказательство этих утверждений оставляем читателю.

 

Вопросы и упражнения

Опишите обобщенную кредитную сделку. Какова структура представляющего потока платежей сделки? Что такое состояние (баланс) сделки в момент tl

Опишите регулярную схему погашения долга с постоянными погасительными платежами в коммерческой и актуарной моделях.

Опишите основные амортизационные схемы погашения долга для потребительского кредита.

Что такое внутренняя (нормированная) ставка обобщенной кредитной сделки? Выпишите явное выражение для этой ставки в случае: а) коммерческой модели; б) актуарной модели с одинаковыми погасительными платежами; в) модели потребительского кредита.

 

Задачи

Долг погашается ежемесячными платежами. Сумма долга .#8000, простая процентная ставка по кредиту равна 18\% годовых. В конце 1-го месяца инвестор выплатил 3?1000, в конце 2-го — .-#2000. Правило погашения долга — актуарное. Сколько из второй выплаты ушло на проценты? Каков невыплаченный остаток долга?

Долг в .#10 000 погашается тремя выплатами по .#3000 в конце каждого квартала (З мес.) и заключительного платежа в конце года. Найти величину заключительного платежа, если простая ставка по кредиту составляет 10\% годовых и используется актуарное правило.

Покупатель может купить машину либо за наличные по цене $6000, либо в кредит на год, погашаемый двумя платежами по S4000 в конце каждого полугодия. Какой вариант оплаты выгоднее для покупателя, если простая процентная ставка по депозитам (на любой срок) в банке равна 20\% годовых? Найти решение для коммерческого и актуарного правил.

Долг в М10 000 погашается двумя месячными платежами: в конце 1-го месяца выплачивается .#5000 и в конце 2-го .#8000. Какова процентная ставка (головая) по кредиту, если погашение осуществляется по коммерческому правилу?

Долг в .#7000 погашается двумя одинаковыми выплатами в конце каждого года. Простая процентная ставка составляет 7\% годовых. Какова величина выплат, если погашение осуществляется по коммерческому правилу?

Магазин допускает покупку в кредит, который погашается по коммерческому правилу двумя одинаковыми платежами по .#800 в конце каждого полугодия. При какой простой процентной ставке по депозитам в банке покупка в кредит станет выгоднее, чем оплата наличными?

Автосалон продает машину в кредит, который погашается четырьмя выплатами по $2000 в конце каждого квартала. Какую сумму должен покупатель вложить в банк под простые проценты по ставке 20\% годовых, чтобы оплатить кредит снятием сумм погашения с этого счета? Найти решение для коммерческого и актуарного правил.

Долг в .#5000 погашается выплатами .#2000 и .#4000 в конце 1-го и 2-го годов. Какова простая процентная ставка по ссуде, если действует актуарное правило?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |