Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

6.1. будущая стоимость потоков платежей

В гл. 4 была подробно изучена динамика различных накопительных моделей в схеме простых процентов. Для мультисчетной, коммерческой и актуарной моделей был явно описан алгоритм (правило) получения текущего состояния S процесса процентного роста исходя из заданной процентной ставки /, начального состояния (г0, S0) и внешнего потока CF дополнительных вложений или изъятий капитала, воздействующего на состояния процесса и изменяющего их.

В терминах § 1.4 поток СРявляется внешним параметром финансового процесса в выбранной модели. Таким образом, во всех случаях можно представить связь между текущим 5; и начальным состояниями в виде уравнения

S, = ^(£0,C/v), />/0, (6.1)

где — функция (оператор) динамики счета в конкретной модели, а S — состояние счета в момент времени /. Здесь под Sf понимается полное или обобщенное состояние счета в каждой модели. Поскольку (6.1) характеризует будущее по отношению к начальному (tQ, S0) состояние, то оператор 5/mod можно рассматривать как оператор перехода или приведения начального состояния к будущему и записать

S^FVr^^CF],), (6.2)

не указывая, как обычно, процентную ставку /.

Формула (6.2) играет важнейшую роль в определении корректных, т.е. согласованных с рассматриваемой моделью, понятий будущей и текущей стоимости потока платежей. Наша ближайшая цель — определение и анализ этих понятий.

Выше подробно рассмотрены операторы приведения или операторы будущей и текущей стоимости для отдельных событий и связанное с ними отношение эквивалентности событий (см. § 3.3). Кроме того, в § 4.1 для потока платежей

^-{(/рСОД^.С,),...,^,^)} были введены его простейшие характеристики — будущая

^(CF) = £ct(l+i(f-»t)), til, (6.3)

 

и текущая (дисконтированная)

 

стоимости, названные стандартными (см. § 3.4). Стандартная будущая и текущая стоимости получаются линейным продолжением на потоки аналогичных понятий для отдельных событий, т.е.

W,(CF) = t<WACFk) (6.5)

и

pK(CF)=ipv,ACF*)- <6-6)

Аг=1

Иными словами, стандартная будущая или текущая стоимости потока есть просто сумма соответственно будущих или текущих стоимостей отдельных событий. П р и м е р 6 Л. Для потока

CF = {(1,200), (2, -500), (3,600)}

найдем накопленную к моменту г = 4 и текущую в момент / = 0 стоимости, если нормированная ставка / = 20\%.

Решение. Для стандартной будущей стоимости имеем

FV4 (CF) = 200 (1 + 0,2 ■ 3) - 500(1 + 0,2 • 2) + 600(1 + 0,2) = 340( Щ, а для текущей стоимости

W,(CF).J!!L__»^+_«»_.,g4.52H).

v    1   1 + 0,2   1 + 0,2-2   1 + 0,2-3   v '

Введенные стандартные операторы будущей и текущей стоимости обладают рядом «хороших» свойств. Например, они линейные и легко вычисляются. Однако эти свойства имеют скорее математический, формальный характер. Куда более важен вопрос о содержательном, финансовом смысле понятий стандартных операторов будущей и текущей стоимостей в рамках рассмотренных выше моделей. Собственно это и составляет содержание данного и следующего параграфов.

Более точно, в данном параграфе речь будет идти о том, в какой мере понятие оператора будущей стоимости согласовано в рамках данной модели с ее динамикой, задаваемой уравнением (6.2). Так, образуя расширенный (порождающий) поток

Cf={(f0,J,)} + CF = {(f0,J,),(»1,C1),...,(/..C,)},

получаемый присоединением к внешнему потоку С/'начального состо-

яния, можно спросить, будет ли в данной модели выполняться соотно-

шение /       v       . .

s = FVn^ ^ iCF) = FVt (СҐ), (6.7)

т.е. даст ли модельный оператор перехода к будущему моменту t тот же эффект, что и стандартный оператор будущей стоимости? Мы уже знаем, что это так для мультисчетной и коммерческой моделей, поскольку, как показано в § 4.2,

S, = FVr {S„CF) = FV,(Cf), (68)

но это уже не так для актуарной модели.

Пример 6.2. Рассмотрим накопительный счет с начальным состоянием

 

Пусть нормированная процентная ставка счета 20\%, а внешний поток взносов и изъятий имеет вид

CF- {(1, 100), (2, -100)}. Найти состояния счета в момент г - 3 в коммерческой и актуарной моделях. Проверить для этих моделей условие согласованности (6.7).

Решение. Рассмотрим сначала коммерческую модель. Для нее получаем таблицу состояний (табл. 6.1). В этом случае

Pi = ..#100;   73 = .-#80

и, следовательно, 53 = .#180.

Актуарная модель представлена в табл. 6.2. Отсюда следует, что

 

Наконец, для расширенного (порождающего счет) потока

 

СГ = {(0, 100), (1, 100), (2, -100)},

согласно (6.5) имеем

FV3(CF') = 100(1 + 3-0,2) + 100(1 + 2 0,2) - 100(1 + 0,2) = 180(."#). Таким образом,

S?m =       = FV^CF').

Как и ожидалось, для коммерческой модели условие согласованности будущих стоимостей выполнено, а поскольку

В дальнейшем будем рассматривать модельные операторы будущей

и текущей PV™A стоимостей произвольных потоков. Чтобы не

использовать громоздкую верхнюю метку, обозначающую модель, к о-бозначению операторов присоединим начальную букву «А» для актуарной и «С» — для коммерческой. Тогда для актуарной модели эти операторы получат обозначения AFVt и APVr, а для коммерческой — CFVt и CPV. Для мультисчетной модели оставим естественные для нее стандартные обозначения.

Вернемся к точному определению оператора будущей стоимости потока для коммерческой и актуарной моделей.

Как было показано, роль оператора будущей стоимости потока в коммерческой модели играет стандартный оператор будущей стоимости , т.е.

CFVt(CF) = FVl(CF). (6.9) Это обусловлено выполнением условия согласованности (6.7) для

коммерческой модели.

Напомним, что в основе определения будущей стоимости лежит

уравнение (6.2). Отметим одну деталь, связанную с этим уравнением.

 

15-5169

В нем присутствует некоторое начальное состояние, не связанное, вообще говоря, с потоком CF, который является внешним параметром. Поскольку нашей целью является определение будущей, а в дальнейшем и текущей стоимостей, применяемых непосредственно к потокам платежей, то следовало бы модифицировать основное уравнение (6.2) таким образом, чтобы в нем не присутствовало упоминание о начальном состоянии, не связанном с рассматриваемым потоком.

Такая модификация возможна двумя способами. При первом можно условиться, что первый элемент потока представляет собой начальное состояние. Тогда

S, - РУГ* {CF) = FT,™* (('і, Si)> CF\%        (6.10)

где CF'— остальная (кроме первого платежа) часть потока.

При втором способе можно всегда в качестве начального состояния выбирать нулевое, т.е.

S0 = Q,   /0 </„...,*„.

Тогда

S[ = FVru{CF) = FV,mou((tQtO)tCF)> г>/0. (6.11)

Легко показать, что (6.11) не зависит от выбора начального момента ?0; требуется лишь, чтобы он предшествовал всем платежам потока. Кроме того, легко показать, что оба определения эквивалентны. Мы, по существу, воспользовались первым определением при формулировке условия согласованности (6.7).

Как было показано в гл. 4, будущая (накопленная) стоимость потока в коммерческой модели совпадает со стандартной будущей стоимостью (6.9) и, как это следует из примера 6.2, стандартный оператор будущей стоимости не согласован с актуарной моделью.

Выражения (6.8) и (6.9) однозначно определяют понятие будущей стоимости потока для коммерческой модели. Однако для актуарной модели в общем случае нет явного выражения для этого оператора в виде простой формулы наподобие (6.3).

В частных случаях, например для знакопостоянных потоков плате-жей, т.е. потоков, в которых все платежи либо положительны, либо отрицательны, актуарная и коммерческая модели дают один и тот же результат. Следовательно,

 

CFYr(CF) = AFVt(CF) = FVt(CF).

Наличие платежей с разными знаками существенно усложняет дело. Так, нарушается принцип линейности, т.е. для актуарной модели будущая стоимость не является суммой будущих стоимостей платежей потока. Для потока

CF={(1, 100), (2,-100)} из примера 6.2 (при ставке / = 20\%) имеем

AFV^{№) = FVy{№)= 100(1 + 2-0,2)= 140(:-#);

AFV£-№) = /У,(-100) = -100(1 + 0,2) - -120(.*).

Оставляем читателю самостоятельно подсчитать, что AFV3(CF) = 24( ул). Таким образом, получаем

AFVy{CF) = 24(.Л>)* FV3(0) + FV3(-100) = 20(.#).

Нелинейность оператора будущей стоимости в актуарной модели обусловлена нелинейным характером связи потока платежей с процентным и основным счетами в этой модели. В то же время в коммерческой модели основной и процентный счета изменяются «практически независимым» образом, а в мультисчетной модели отдельные платежи потока вообще полностью независимы и порождают собственные субсчета, что и обеспечивает линейность соответствующего оператора будущей стоимости для этих моделей.

В завершение обсуждения понятия будущей стоимости отметим еще два его важных отличия для коммерческой и актуарной моделей. Речь идет о так называемом нулевом балансе потока.

Определение 6.1. Будем говорить, что поток

CF={(»1,q),(/J>cJ),...,(f.Pc,)}

имеет нулевой баланс относительно процентной ставки / в точке t> t, ?2,...,гл, если будущая стоимость потока в этой точке для рассматриваемой модели равна 0, т.е.

FVrmvd(CF) = 0.

Поведение точек нулевого баланса существенно различается в коммерческой и актуарной моделях.

В коммерческой модели точка нулевого баланса определяется единственным образом. Действительно, линейное относительно f уравнение

 

2Ct(l + /(f-rt)) = 0 (6.12)

 

имеет не более одного решения.

Напротив, если точка f — точка нулевого баланса для потока CF в актуарной модели, то всякая следующая за ней точка t > Ґ также является точкой нулевого баланса, т.е. если

AFVr(CF) = 0,

то

AFVt(CF) = Q, t>t (6.13) Это свойство связано с тем, что в актуарной модели равенство нулю полного счета возможно только при нулевых основном и процентном счетах, т.е.

srP, = iro

тогда и только тогда, когда

 

поскольку в актуарной модели состояния основного и процентного счетов не могут быть противоположными по знаку. Иными словами, в актуарной модели всегда

/,р>о.

Последнее свойство легко доказать индукцией по числу платежей потока, рассматривая различные варианты перехода от состояния к состоянию в актуарной модели. Не будем приводить здесь доказательство, оставляя его читателю. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 6.3. Для потока

CF- {(0, -400), (1,300), (2, 450)}

нормированная ставка / = 50\%. Показать, что точки 2 и 3 являются точками нулевого баланса потока в актуарной модели.

Решение. Таблица состояний для потока в актуарной модели приводится ниже (табл. 6.3). Видно, что /, = Р2 = 0, следовательно, S2 и все последующие состояния будут нулевыми, таким образом, все точки, следующие за ґ = 2, являются точками нулевого баланса. Уравнение точки баланса для коммерческой модели имеет вид

- 400 (1 + 0, 5t) + 300(1 + 0, 5(/- 1)) + 450(1 + 0,5(f — 2» = 0 ,

или

175г = 250, Ґ = 1,429

— единственная точка нулевого баланса потока.

С помощью понятия нулевого баланса можно сформулировать свойство, весьма важное для понимания смысла будущей (накопленной) стоимости потока. Оно формулируется следующим образом:

Vr=FVtmod(CF)

тогда и только тогда, когда

FVtmod(CF') = Q, (6.14)

где

CF' =CF + {(l,-K)} = {Ш,...,{и,С.),(и-К)} (бЛ4) — расширенный поток, полученный присоединением к CF события

It,-К)-

Содержательный смысл этого свойства очевиден. Если сумма V равна будущей стоимости потока CF по ставке /, то, инвестировав поток CF, в результате процентного роста получим сумму V, снятие со счета которой в момент времени t приводит к нулевому балансу. Таким образом, в рамках данной модели поток CFn событие (/, V) являются эквивалентными, т.е. сумма Vt — эквивалентное в финансовом смысле представление потока CFв момент t.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |