Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

6.4. реструктуризация кредитных контрактов в схеме простых процентов

В финансовой практике довольно часто возникает необходимость замены одного платежа или серии платежей на другой платеж (скажем, более отдаленный) или другую серию платежей (с другими сроками и суммами) таким образом, чтобы ни одна из сторон в таких операциях не имела бы ни потерь, ни явных преимуществ. Таким образом, упомянутые операции должны приводить к финансово эквивалентны м ре зул ьтатам.

Подобные ситуации возникают при различных изменениях действующих кредитных договоров (контрактов). Например, должник, сделав ряд погасительных платежей, просит кредитора об отсрочке очередного платежа уши об уменьшении его суммы взамен увеличения других, более отдаленных платежей и т.п. Кредитор может согласиться на такое изменение действующего соглашения при условии, что ничего не потеряет. Таким образом, ключевым моментом в подобного рода изменениях или, как еще говорят, реструктуризации действующих кредитных контрактов является финансовая эквивалентность действующего и нового, преобразованного, контрактов.

В предыдущем параграфе подробно описаны отношения эквивалентности для потоков платежей, порождаемых конкретной используемой моделью. В этом параграфе рассмотрим несложные примеры применения этих видов эквивалентности в реструктуризации долговых контрактов.

П р и м е р 6.11. По взаимному соглашению кредитора и должника кредит в S1000, выданный в начале года, погашается двумя одинаковыми платежами по $800 каждый в конце первого и второго кварталов. Должник, выплатив полностью первый погасительный платеж, попросил кредитора об отсрочке второго платежа до конца года. Какова должна быть величина этого платежа?

Решени е. Следует обратить внимание, что в условии ничего не сказано о процентной ставке по кредиту. На первый взгляд она обязательно должна присутствовать в условии задачи, так же как и упоминание о схеме погашения, используемой в данном контракте. На самом деле существенно только последнее, т.е. знание конкретной модели погашения. Как мы убедились при обсуждении схем погашения (см. § 5.6), схема погашения и контрактная эквивалентность кредита и погасительного потока однозначно определяют соответствующую (внутреннюю) нормированную процентную ставку Поскольку в условии нет указания о схеме погашения, то задача однозначным образом не решается. Решим ее для двух вариантов схем погашения — коммерческой и актуарной.

Рассмотрим сначала коммерческую модель. Соответствующая процентная ставка определяется из уравнения баланса для начальной сделки:

1000(1 + 2j) = 800(1 + /) + 800.

Здесь / — ставка за квартал. Решая это уравнение, получим / = 50\% за квартал или / = 4 у = = 200\% годовых. Зная ставку, легко теперь выписать уравнение баланса для новой, реструктуризованной сделки:

1000(1 4-4-0,5) = 800(1 + 3-0,5) + X.

Решая уравнение, получим

Х= 1000(S).

Рассмотрим теперь актуарную модель. Снова начнем с определения соответствую-щей ставки. Уравнение баланса для первоначального контракта в актуарной модели имеет вид

1000(1 +/)г= 800(1 +/) + 800. Полагая г = 1 +/, получаем квадратное уравнение

5z7 - 42 - 4 = 0.

Это уравнение имеет единственный положительный корень г = 1,3798. Отсюда следует, что/= 37,98\%.

Для этой ставки уравнение баланса в новой сделке примет вид

1000(1 + 0,3798)4 = 800(1 + 0,3798)3 + X.

Отсюда

Х= 1523,07(5).

В заключение примера решим его, используя формальную эквивалентность сточкой приведения, совпадающей с концом второго квартаїа.

Уравнение для определения ставки в этом случае совпадает с уравнением для коммерческой модели и, следовательно, квартальная ставка /по этой эквивалентности равна 50\%. Однако уравнение баланса для новой схемы погашения будет иметь уже другой вид:

1000(1+ 0,5-2) = 800(1+0,5) + —

Отсюда

А1- 1600.

Замечание. Не следует думать, во-первых, что в задачах реструктуризации порядок действий таков, как в примере 6,11, т.е. сначала определяется ставка, а затем находится преобразованный поток платежей. Контрактная ставка обычно известна, и сами погасительные платежи в исходном контракте находятся по заданной ставке. Во-вторых, начальная ставка и ставка, относительно которой проводится реструктуризация, могут не совпадать. Изменение ставки может обусловливаться разными условиями, в частности, оно может быть предусмотрено в первоначальном контракте именно на случай возможной реструктуризации. При этом, однако, несколько меняется смысл эквивалентной замены платежей.

В примере 6.11 отношение эквивалентности определялось относительно начальной суммы кредита, а новый поток формировался из выплаченных и перенесенных новых платежей. При изменении процентной ставки реструктуризацию осуществляют не относительно исходного долга, а относительно текущего баланса на момент начала реструктуризации.

Пример 6.12. Рассмотрим кредит в S1000 из предыдущего примера. Пусть для коммерческой схемы погашения после первого платежа и решения о реструктуризации долга квартальная ставка увеличилась на 10\%. Найти величину заключительного платежа в конце года.

Решение. Из решения примера 6.11 известно, что для коммерческой модели начальная ставка за квартал равна 50\%. Знание ставки позволяет нам найти баланс на конец первого квартала:

^ = -1000(1 + 0,5) + 800 = -700(S). Согласно коммерческому правилу,

/> - -200($); /, = -500(5).

Если в течение следующих трех кварталов действует новая ставка 60\%, то уравнение баланса для заключительного платежа будет иметь вид

-200(1 +0,6-3) - 500 + ^=0.

Отсюда получаем

Х = 1060(5).

Заметим, что в коммерческой модели мы не могли просто привести сумму баланса 5", = —700 на конец года, т.е. определить последний платеж из уравнения

-700(1 + 0,6-3) + Х = 0 и получить Х= I960, поскольку состояние основного и процентного счетов в коммерческой модели определяются раздельно. Точно так же некорректной была бы запись уравнения баланса относительно начального кредита с новым погасительным потоком:

1000(1 + 0,6-4) = 800(1 + 0,6-3) + X,

откуда X = 1160, поскольку новая ставка 60\% действует лишь на трех последних кварталах, а в течение 1-го квартала действовало старое кредитное соглашение со ставкой 50\% за квартал.

Конечно, если бы изменения ставки не происходило, то не было бы разницы между эквивалентностью по исходной величине кредита с новым полным погасительным потоком и по текущему балансу с новым остаточным погасительным потоком. И в случае изменения ставки можно по-прежнему пользоваться полным уравнением баланса относительно начальной суммы кредита, но тогда следует учитывать изменение ставки за последние три квартала.

Подробно обобщенные схемы, учитывающие изменения ставок, рассматриваются в следующей главе, здесь же мы просто продемонстрируем сказанное на примере.

Уравнение баланса с учетом изменения ставки выглядит следующим образом:

1000(1 + 0,5-1 + 0,6-3) = 800(1 + 0,6-3) + X,

откуда снова получаем X = 1060(S), т.е. то же значение, что и для метода текущего (остаточного) баланса.

Добавим несколько слов по поводу применения формальной эквивалентности в схемах реструктуризации. С этой эквивалентностью связаны два обстоятельства. С одной стороны, произвольный выбор точки приведения. С другой — этот метод не предусматривает, по крайней мере, явное разбиение рассматриваемых величин на основную и процентную части. Поэтому применение формальной эквивалентности по текущему балансу некорректно. Изменение ставки в этом случае учитывается в схеме приведения непосредственно так, как это было сделано в примере 6.11. Уравнение баланса выписывается сразу для всего потока.

Так, возвращаясь к предыдущему примеру, уравнение формальной эквивалентности с точкой приведения на конец второго квартала и с изменением ставки на 10\% после первого платежа даст уравнение вида

 

-1000(1 +0,5-1 + 0,6.1) +800(1 +0,6)+—-— = 0,

V         ;       v     ' '   1 + 0,6-2

отсюдаХ = 1804($).

Мы проиллюстрировали идею реструктуризации кредитных контрактов на простом примере. В общем случае идея та же.

Сначала выбирается определенный вид эквивалентности или, что то же самое, вид эквивалентного преобразования сумм и событий, участвующих в контракте. Затем, используя выбранную эквивалентность, записывается уравнение баланса для нового преобразованного потока, связывающего искомые погасительные платежи с уже сделанными, а также с другими известными параметрами контракта.

Рассмотрим одну общую схему реструктуризации, часто встречающуюся на практике. Речь идет о так называемой консолидации долга. Допустим, должник имеет п обязательств, описываемых потоком событий

CF = {(tl,Cl),(r2,C2),...,{t„,C„)}, /,<f2<...«,.

Кроме того, по соглашению с кредитором он желает погасить все эти платежи одним консолидированным платежом С в некоторый момент л Необходимо найти условия, обеспечивающие эквивалентность такой замены. Задача имеет много различных решений в зависимости от конкретного типа эквивалентности и дополнительных условий, касающихся выбора момента t и величины С. Рассмотрим несколько типичных уточнений.

Г. Момент / задан и следует за всеми моментами /р A,,..., tn. Найти С, используя формальную эквивалентность относительно г и ставки і,

В этом случае решение очевидно. Уравнение формальной эквивалентности имеет вид

C=lQ(l+/(r-0).

Таким образом, С будет просто стандартным будущим (накопленным) значением исходного потока обязательств.

2°. Величина С консолидированного платежа известна и равна сумме исходных обязательств. Известна также процентная ставка /. Найти момент t, в который должен быть осуществлен платеж, при условии / > /, где t < tv ґг, используя формальную эквивалентность относительно точки консолидированного платежа.

В этом случае уравнение эквиватентности следующее:

с=Іс, = як(ст)=£сіВ(г4,/),

к= к=

где v{tk, і) — обобщенный коэффициент дисконтирования. Таким образом, полученное уравнение равносильно уравнению

Іс4(оМ-і)=о.

к=

Поскольку v(t, т) — ступенчатая функция, «склеенная» из линейной и нелинейной функций, последнее уравнение, вообще говоря, нелинейно, и для его решения необходимо рассмотреть различные возможные варианты расположения искомой точки:

t<r

v{t, т)-і = /(т-0;

 

-і(г-т)

+i(t-r)'

v(t, т)-1 =

Однако можно доказать, что для платежей одного знака точка консолидации t обязательно лежит внутри отрезка [t, ta] исходного потока. Для иллюстрации рассмотрим сильно упрощенный пример.

П р и м е р 6.13. Для потока

CF — {(1, 100), (2, 200)}

найти момент консолидированного платежа С относительно нормированной процентной ставки / = 20\%.

Решение. Возможны три варианта расположения точки: а) г< 1; б) 1 < t < 2; в) т> 2. Для случая а) уравнение имеет вид

100-0,2            ^/—- + 200 0,2            2~/ ■ .- = 0,

1 + 0,2(1-?)     1 + 0,2(2-?)

которое не имеет решений в области (< 1. Для случая б) получаем уравнение

100-0,2(/-1)-200-0,2    ^—- = 0,

v    1    1 + 0,2(2-г)

которое приводится к квадратному уравнению

20(г- 1)0,4 - 0,2;) - 40(2 - /) - 0.

Его решение / = 1,65 удовлетворяет условию г є [1, 2]. Для случая в) уравнение имеет вид

100-0,2(/ - 1) + 200-0,20 - 2) = 0 и не имеет решений при / > 2.

 

Вопросы и упражнения

Запишите выражения для стандартных операторов будущей и текущей стоимостей потока платежей в схеме простых процентов.

Дайте формальное определение оператора будущей стоимости потока для коммерческой и актуарной моделей.

Что такое точка нулевого баланса в модели с переменным капиталом, порожденной потоком платежей? В чем различие свойств точек нулевого баланса в коммерческой и актуарной моделях?

Дайте общее определение текущей стоимости потока платежей в модели с переменным капиталом для схемы простых процентов.

Приведите явное выражение для текущей стоимости произвольного потока платежей в коммерческой модели и потока с одинаковыми платежами в актуарной модели.

Какая связь существует между «модельными» и относительными операторами приведения платежей в схеме простых процентов?

 

Задачи

Для того чтобы накопить .#10 000 за 20 лет, требуется инвестировать по .#200 ежегодно в начале каждого года. Какова соответствующая простая процентная ставка? Для расчетов использовать коммерческую модель.

Найти текущую стоимость потока

CF={(, 100), (2, 200), (3, 300)},

заданного в годовой шкапе, при простой процентной ставке 20\% годовых для: а) коммерческой и б) актуарной моделей.

Найти будущую стоимость в момент т = 3 потока из задачи 6.2 для простой процентной ставки / = 20\%. годовых относительно полюсов: а) р = 0; б) р = 2; в) р = 5.

Для потоков

CF{ = {(I, 100), (3, 200)}, CF2= {(2, 150), (4, 190)} найти полюс р, относительно которого эти потоки эквивалентны в схеме простых процентов при нормированной ставке / = 20\%.

Могут ли для заданной простой процентной ставки существовать «абсолютно неэквивалентные» потоки, т.е. потоки, неэквивалентные относительно .w5o<?o выбранного полюса?

Можно ли для заданного полюса найти два различных потока, которые не были бы эквивалентными в схеме простых процентов ни для какой (неотрицательной) ставки?

Пусть задан поток CF. нормированная ставка / и момент приведения т. Существует ли в схеме простых процентов полюср такой, что приведенное к гзначение потока относительно этого полюса является наибольшим среди всех других приведенных значений?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |