Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

7.1. изменчивость процентных ставок. кривые доходности и временная структура процентных ставок

Пожалуй, одной из важнейших черт рассмотренных выше моделей простой кредитной сделки, простого класса сделок и накопительного счета является предполагаемое постоянство (нормированной) процентной ставки. В наших моделях процентная ставка определялась, с одной стороны, для индивидуальной сделки, с другой — для простого класса сделок. Если в некоторый момент времени зафиксировать все существующие, но не завершенные сделки, которые описывают кредитный рынок в целом, то, согласно данному нами определению простой эквивалентности сделок, эта совокупность всех мыслимых сделок разобьется на простые классы, так что каждый класс сделок будет иметь свою общую процентную ставку. На практике многообразие получившихся классов и, следовательно, набор соответствующих им ставок будет достаточно широким. Содержательно это означает, что Для «наблюдаемого состояния» кредитного рынка в целом ставки варьируются в широких пределах. Эта вариация, или изменчивость, определяется различными условиями заключаемых сделок, их временными, финансовыми и другими параметрами. Ставки по депозитам Даже в одном банке могут зависеть от срока вложения денег и размера вклада. Тем более эти ставки могут меняться от банка к банку, от одного Долгового инструмента к другому и т.д.

Таким образом, имея в виду не конкретную сделку, а рынок в целом, следует говорить не об одной, а о многих ставках. Отметим, что этот аспект изменчивости относится к данному моменту времени. Так, можно выяснить: каковы были ставки по трехмесячным депозитам на 1 марта 1995 г. в коммерческих банках Москвы? Однако, задав тот же вопрос для другого дня, например для 1 марта 1996 г., скорее всего получили бы другой ответ. Значит, ставки меняются не только при переходе от одного класса к другому в данный момент времени, но и с течением времени. Так, в период значительной инфляции ставки обычно растут, а снижение инфляции ведет к снижению ставок. Эти два аспекта изменчивости ставок связаны с тем, что ставки по конкретным сделкам зависят, с одной стороны, от момента открытия (начала) сделки, а с другой — от продолжительности или срока сделки.

В самом деле, процентная ставка является интервальной величиной (см. гл. 1) и с формальной точки зрения относится к заданному промежутку (периоду) сделки:

 

Промежуток [г0, /J однозначно определяется началом /0 и длиной Т— t — tQ, которая содержательно означает срок сделки. Поэтому можно записать

і = і,о(Т) = і(і0,Т). (7.2)

Хотя tQ и Г — с формальной точки зрения два временньїх параметра кредитной сделки, их влияние на процентную ставку проявляется по-разному.

Начальный момент tQ определяет текущее состояние кредитного рынка, т.е. общеэкономические условия, в которых осуществляется данная конкретная сделка. Поэтому его влияние будет определяться этими экономическими условиями: инфляцией, спросом и предложением кредитных ресурсов, развитостью инфраструктуры рынка и т.д. В этом смысле /0 — внешний параметр сделки.

Таким образом, зависимость (изменчивость) ставок по ґ0 означает их зависимость от меняющихся экономических (внешних) условий. Напомним, что финансовый процесс, определяемый процентной ставкой, не зависящей от г0, был назван однородным.

Напротив, срок сделки Г— внутренний временной параметр сделки. На практике сделки с одинаковыми или близкими сроками имеют (при прочих равных условиях) совпадающие или очень близкие по величине ставки. Следовательно, именно срок часто является «управляющим параметром», характеризующим многообразие процентных ставок.

Безусловно, кроме указанных временных параметров на ставку влияют и другие факторы, упомянутые выше, и прежде всего факторы, характеризующие риск сделки. Чем выше риск, тем при прочих равных условиях выше процентная ставка. Однако при построении моделей можно ограничиться рассмотрением класса сделок с близкими характеристиками.

Изучение зависимости (нормированных) ставок от срока — одна из важнейших проблем теории и практики финансов. В теории такая зависимость называется временной структурой процентных ставок. Для равновесного кредитного рынка эта структура описывается функцией /,о(Г), определяющей зависимость ставки /' от срока Т. Попричинам, которые станут ясными впоследствии, график функции i,(T) называют кривой доходности, или кривой спот-ставок. Типичная кривая доходности изображена на рис. 7.1.

 

            ►

Т

Рис. 7.1

 

На практике кривые доходности строят для определенного класса однородных кредитных инструментов. Таким образом, кривая доходности описывает текущее состояние сегмента рынка этих инструментов.

Следует заметить, что изображение кривой доходности в виде непрерывной кривой безусловно является идеализацией. В любой момент времени на рынке существует лишь конечное число классов сделок с одинаковым сроком, и такая кривая должна изображаться Конечным набором точек на плоскости. Однако с точки зрения теории Удобно описывать состояние кредитного рынка непрерывной кривой, считая, что потенциально рынок определяет процентные ставки (по крайней мере в принципе) для любых сроков.

Простейшая временная структура процентных ставок предполагает независимость величины ставки от срока. Тогда

 

В этом случае говорят о плоской кривой доходности. Безусловно, даже если на рынке будут наблюдаться только плоские кривые доходности, то их уровень может меняться со временем. Иными словами, кривая доходности будет испытывать параллельный сдвиг. Так, для случая роста ставок

 

изображенная на рис. 7.2 кривая доходности переместится вверх.

 

            ►

 

Рис. 7.2

 

Систематическое изучение временной структуры процентных ставок требует более углубленного знакомства с финансовой математикой и, в частности, со схемой сложных процентов. Здесь достаточно общего замечания о характере зависимости нормированных процентных ставок от двух важнейших временных параметров tQ и Т.

В гл. 3 мы, как правило, пользовались простейшим предположением о полном постоянстве процентной ставки:

/,o(r)s/ —const,

т.е. независимостью как от начального момента Г0 (однородностью), так и от срока Т. Тем не менее в ряде случаев мы сталкивались с ситуацией переменных ставок. Так, в определении мультисчетной модели (см. §4.1) для каждого субсчета задавалась своя процентная ставка. В этом смысле мультисчетная модель является моделью с переменной ставкой. Другие рассмотренные выше модели также допускают обобщение, учитывающее возможную изменчивость процентных ставок. Так, при изложении коммерческой и актуарной моделей отмечалось, что в общем случае при допущении остатка счета любого знака (контокоррентный счет), на практике используется не одна, а две ставки: кредитовая для отрицательного и дебетовая для положительного сальдо счета. При этом мы ограничились так называемым симметричным случаем, когда обе ставки совпадают.

Прежде чем переходить к формальному изложению моделей с переменными ставками, обсудим влияние изменчивости на поведение участников кредитных сделок.

Рассмотрим следующий пример. Пусть банк выдал кредит под залог недвижимости (закладную) некоторому лицу для покупки дома. При этом сумма долга равна Л 100 000, а ставка составляет 15\% годовых. Предположим, что долг погашается ежегодными платежами в течение 20 лет, и каждый платеж состоит из .-#5000, идущими на погашение долга, плюс проценты на остаток долга.

Легко видеть, что первые годы основная доля выплат будет приходиться на проценты. Так, платеж за 1 -й год составит

 

;-#20 000 = ,#'5000 (долг) + ;#15 000 (проценты);

за 2-й год

:#17 750 = 1^5000 + ,#12 750

и т.д.

Если со временем ставки по закладным на рынке резко понизятся, то должники по ним окажутся в невыгодном положении. Они будут обязаны в течение долгого времени платить значительные проценты по ставке большей, чем сложившаяся к тому времени на рынке. Банку-кредитору такая ситуация выгодна, поскольку он получает повышенный по сравнению со среднерыночным текущий доход. В такой ситуации многие должники прибегают к рефинансированию своего долга. Для этого берут кредит в другом банке по новым сниженным ставкам и погашают полностью остаток долга по закладной в первом банке и с этого момента выплачивают новому банку пониженные проценты. Для банков, первоначально выдавших кредит, это оборачивается массовым Досрочным погашением кредита и тем самым сокращением ожидаемого высокого процентного дохода.

 

17-5169

Обратная ситуация складывается при росте процентных ставок. Банки, выдавшие кредит, получают тогда доход ниже среднерыночного. Поскольку вкладчики этих банков, за счет средств которых и выдавались кредиты по закладным, размещают средства на срок значительно меньший, чем срок по закладным, то банк вынужден привлекать новые вклады для финансирования закладных по новым повышенным ставкам, получая проценты по закладным по старым низким ставкам. В итоге это может привести к банкротству банка. Таким образом, в условиях меняющихся рыночных процентных ставок долгосрочные сделки с постоянными ставками приводят к дестабилизации рынка.

Один из возможных выходов — введение плавающих, т.е. меняющихся, процентных ставок. Это означает, что ставка за весь период времени не фиксируется. Вместо этого она определяется лишь для относительно небольшого ближайшего периода времени. С течением времени она может пересматриваться как в большую, так и в меньшую сторону в зависимости от сложившихся условий. Такой подход приводит к моделям с переменной процентной ставкой.

Рассмотрим еще один пример. Пусть инвестор обладает свободной в течение двух лет суммой в #500 и решает положить ее на срочный вклад. Допустим, что банк, которому инвестор доверяет, предлагает два вида срочных депозитов: на 1 год по ставке 10\% и 2 года по ставке 12\%.

Дилемма инвестора состоит в выборе вида вклада. На первый взгляд безусловно выгоден двухлетний депозит с более высокой ставкой. Но предположим, что инвестор ожидает значительного повышения ставок по вкладам через год (например, из-за постоянно растущей инфляции). Допустим, что, по его оценке, через год ставки увеличатся втрое. Ясно, что тогда выгоднее сначала вложить деньги на год по ставке 10\%, а затем накопленную сумму снова положить на годовой депозит, но уже по ставке 30\%.

Действительно, если инвестор размещает средства на двухлетнем депозите, то в конце 2-го года он будет иметь

 

500(1 + 0,12-2) -бЮ(Л').

Если же он размещает их сначала по ставке 10\%, то в конце 1-го года накопит сумму

500(1 + 0,1-1)- 550(,^), а затем, вновь размещая ее на год, но уже по ставке 30\%, получит

550(1 + 0,3-1) = 715(.#).

Конечно, если ожидания инвестора не оправдаются и ставки останутся неизменными, то эта стратегия принесет ему всего

500(1 + 0,1-1) = 550(;^)

в конце 1-го и

550(1 + 0,Н) = 605(.#)

в конце 2-го года.

Если бы банк платил по двухлетним вкладам 10,5\%, то при условии неизменности годовой и двухлетней ставок обе стратегии были бы равносильны, так как двукратное вложение на год обеспечивало бы рост вклада в (1 + 0,1)(1 + 0,1) = 1,21 раза, и точно такой же рост обеспечивает двухлетний вклад:

550(1 + 0,105-2)= 1,21.

Многократное повторение (итерация) однотипных кредитных сделок приводит к моделям так называемых кратных сделок или моделям с реинвестированием. Они служат мостиком между схемами простых и сложных процентов.

Рассмотрим два направления для обобщения приведенных выше моделей. Первое направление связано с введением переменных процентных ставок, а второе — с многократным повторением (суперпозицией, итерацией) однотипных (простых) кредитных сделок.

Говоря о введении переменных ставок в схему простых процентов, следует отметить два подхода, позволяющих осуществлять такое введение. Каждый из подходов акцентирует внимание на разных аспектах и формах изменчивости ставок, о которых упоминалось при анализе выражения (7.2) для временной структуры процентных ставок.

В первом подходе основное внимание уделено изменению ставок с течением времени. Для представления (7.2) это означает зависимость от текущего момента /   При этом вполне возможна независимость

структуры ставок і,{Т) от срока Т. Иными словами, для любого

момента времени Г0 кривая доходности — плоская. Такой подход к анализу изменчивости можно назвать динамическим, поскольку в нем основное внимание уделено собственно изменчивости ставок.

При втором подходе, напротив, на первый план выдвигается аспект,

связанный с зависимостью ставок і,(Т) от различных сроков. При этом вполне возможна независимость і,(Т) от /0: і (Т) = і(Т).

Иными словами, мгновенная структура ставок не меняется со временем, т.е. рынок находится в равновесии. Такой подход к анализу изменчивости можно назвать структурным. Он используется, например, в задачах оптимального выбора кредитного портфеля на равновесном рынке.

На практике присутствуют оба аспекта изменчивости. Поэтому приходится применять комбинацию как динамического, так и структурного анализа. В этой главе основное внимание уделим прежде всего динамическому подходу, в некотором смысле более простому. Кроме того, он тесно связан со вторым направлением обобщения схемы простых процентов — с упоминавшейся выше итерацией простых сделок. Коснемся кратко этой связи в простейшем дискретном случае.

Оба вида обобщения связаны с разбиением временнбй шкалы или периода сделки [/0, t0 + Т] на последовательные подпериоды, образуемые так называемыми критическими моментами t, /2,..., t ,

t<t<t<...<t    <t = L + Т.

0       12           п — 1       /т 0

В первом случае критические моменты будут совпадать с моментами скачкообразного изменения процентной ставки, причем на каждом подпериоде [tk r tk] соответствующая этому периоду нормированная ставка/, считается постоянной.

Во втором случае с каждым подпериодом связана своя простая кредитная сделка, так что tkX и tk являются начальным и конечным моментами к-іл кредитной сделки с нормированной ставкой /.

Однако эти две схемы обобщения различаются коренным образом по фундаментальному обстоятельству.

В первом случае (схема простых процентов с переменной ставкой) проценты начисляются, как это и принято в схеме простых процентов, только на основной счет.

Во второй схеме (кредитные сделки с реинвестированием) полное состояние Sk.счета в конце к-го периода является начальным состоянием Рк+ { основного счета следующего периода. Таким образом, в следующем за данным периодом проценты будут начисляться как на сумму основного, так и сумму процентов предыдущего периодов.

Перейдем к описанию моделей в схеме простых процентов с переменной ставкой. Как и в предыдущих главах, начнем с анализа простых моделей, имеющих вполне очевидную содержательную интерпретацию, а затем перейдем к изложению общей схемы простых процентов.

Начнем с изложения наиболее простых дискретных моделей, в которых процентная ставка «кусочно-постоянна»

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |