Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

7.3. общая схема простых процентов

В конце предыдущего параграфа были, по существу, изложены основные аспекты схемы простых процентов с произвольной дискретной временной структурой процентных ставок. Внимательный анализ показывает, что центральную роль в обобщении операции приведения играют равенства (7.11), (7.12), определяющие аддитивным образом ставку r(t, т) для любого промежутка [t, г]. Из этих определений немедленно следует свойство аддитивности ставки r(t, г):

r(t,r) + r(r,s) = r(t,s), t<r<s. (7.19)

Именно это свойство и является определяющим для схемы простых процентов.

Отметим, что свойство (7.19) выражает аддитивность ставки за период. Ставка за период задает относительный прирост капитала за этот период. Иными словами, инвестированный в начале периода [г, г] капитал Р возрастает к концу этого периода на величину

/(г,т) = Рг(лт). (7.20)

Слева в выражении (7.20) стоит величина (сумма) процентов за период.

Легко понять, что свойство (7.19) для t < т < s влечет также и аддитивность процентов I(t, т), если проценты начисляются на одну и ту же сумму. В самом деле, умножая обе части равенства (7.19) на Я, получим

P-r(f,t) + Pr(r,s) = Pr(t,s)

или

/(Лт) + /(т,5) = /(г,5). (7.21)

Заметим, что свойство (7.21) имеет значительно более общий характер. Оно выполняется, в частности, и для схемы сложных процентов. Свойство же (7.19) — это определяющее свойство именно для простых процентов, так как при определении процентов равенством (7.20) аддитивность (7.21) обеспечивается только при условии начисления процентов по ставке r(t, т) на одну и ту же сумму.

В предыдущем параграфе ставки r(t, т) определялись по фиксированному дискретному потоку ставок RF. Но как мы только что убедились, определяющим моментом для схемы простых процентов является не способ задания функции r(t, т), а само свойство аддитивности. Таким образом, можно рассматривать любые аддитивные функции /*(г, г) как порождающие конкретные схемы простых процентов. Это приводит к следующему определению.

Определение 7.1. Общей финансовой схемой простых процентов называется схема с однородными законами капитализации

A{t,p;C) = Ca(t,p), t<p (7.22)

 

И дисконтирования

D(t,pC) = Cd(t,p), p<t. (7.23)

 

Причем коэффициент роста (капитализации) a(t,p) имеет вид

a(ttp) = l + r(ttP), t<p, (7.24)

где r(t, р) — аддитивная функция промежутка [г, р], т.е. для нее справедливо свойство (7.19). Кроме того, будем считать законы капитализации и дисконтирования взаимно сопряженными:

 

a(p,t)

 

В принципе, выполнение свойства сопряженности не является определяющим.

В гл. 2 мы ввели понятие учетной ставки и операцию так называемого учетного или банковского дисконтирования по правилу

DVf(C,) = C,[l-d(t-p)J (7.25)

Хотя такой способ дисконтирования и распространен на практике, особенно в так называемых учетных операциях с долговыми обязательствами (см. § 2.3), он не очень удобен в теоретических моделях из-за ограниченной области определения. Для корректности этого правила необходимо выполнение условий

р<Г

и

1 -</(/-/>)> о, т.е. необходимо, чтобы і

0<£/<—.

t-p

Таким образом, нормированную учетную ставку d нельзя задать независимо от промежутка, на котором она рассматривается. Так, нельзя ее объявить всюду постоянной. Это обстоятельство существенно затрудняет анализ моделей дисконтирования, основанных на учетной ставке. Поэтому ограничимся лишь дисконтированием по процентной ставке или, как его еще называют, теоретическим или математическим дисконтированием.

Это, конечно, не означает, что нельзя анализировать сделки с учетными операциями. Как было показано в гл. 2, существует простая связь Между учетными и процентными ставками. Мы можем изучать учетные модели в рамках процентных. Однако в этом случае приходится считать соответствующую процентную ставку переменной даже для моделей с постоянной учетной ставкой.

Итак, основную роль в общей схеме простых процентов играет аддитивная функция /*(/, г), содержательный смысл которой состоит в том, что она представляет собой ставку за период [t> г].

В § 1.2 были рассмотрены общие аддитивные функции промежутков. Основной результат состоит в том, что во всех «практически интересных» случаях можно считать, что эти функции «состоят» из двух частей; дискретной и непрерывной. При этом дискретная часть порождается некоторым дискретным потоком, а непрерывная часть имеет вид интеграла от непрерывной плотности., Для нашего случая можно написать

r(f,T) = r{s)(t,T) + r{c)(t,T), (7.26)

где r(Jf)(f, г) — дискретная часть порождается потоком (1-го рода)

RF = {(tk,pk)keZ}

так, что           ,,}/   х ^

k:t<tk<x

 

а г(с)(Г, г) — непрерывная часть — имеет вид

 

r(c)(/,T) = Jy(w)d*/, (7.27)

 

где j(u) — (кусочно) непрерывная, всюду определенная функция.

Можно показать, что функция r(t, т), порождаемая дискретным потоком RF, задающим дискретную временную структуру процентных ставок (не путать с потоком RF 1-го рода), является непрерывной функцией и порождается кусочно-постоянной плотностью

у(/) = Л, teak=[tk_x,tk (7.28) На первый взгляд может показаться неожиданным, что функция r(t, г) для дискретных моделей, определенных потоком RF (2-го рода!), не имеет дискретной части, точнее, r°'(f, т) - 0 для всех г< т, и, следовательно, соответствующий поток RF (1-го рода) также нулевой: рк = О для всех к. Тем не менее это действительно так.

Дело в том, что в дискретной модели скачкообразно меняется нормированная ставка jk, соответствующая периоду ок, а не ставка за период. Нормированная ставка за период [t, г] есть по определению т.е. она играет роль (средней) плотности функции r(t, г). На практике разрывные ставки за период r(t, т) не встречаются, им соответствовали бы «бесконечные скачки» нормированных ставок. Заметим, что мгновенную (предельную) плотность

 

/(л = lim——-

 

называют также интенсивностью или сйлоу процентов и обозначают также символом <5(/). Однако в схеме простых процентов будем использовать обозначение jit) для плотности (силы) процентов, а обозначение 8(t) оставим для схемы сложных процентов.

Поэтому в дополнение к перечисленным свойствам финансовых законов общей схемы простых процентов можно постулировать непрерывность законов капитализации и дисконтирования. Заметим, что стандартная схема простых процентов, т.е. схема с постоянной нормированной ставкой / естественно является частным случаем общей схемы. Для нее имеет место простое соотношение

r(>,r) = /(r-/), г>/.

Этаже схема — частный случай и дискретной модели, если считать все ставки потока RF совпадающими.

Итак, общая схема простых процентов представляет собой финансовую схему с однородными по денежным суммам, непрерывными по времени, взаимосопряженными законами капитализации и дисконтирования. Причем коэффициенту роста a(t, г) соответствует аддитивная функция

г(/, r)=a(t, г) - 1. Определив финансовые законы капитализации и дисконтирования, можно записать единый финансовый закон

 

{D(t,p;C), p<t и соответствующий ему общий коэффициент приведения

RttpC) = Cv(tiP (7.30)

 

18-5169

где

v{-'<p)=U, п  n„ азі)

p>t d(t,p), p<t.

Общий закон приведения порождает (определяет) операцию (оператор) приведения событий

PVp(t,C) = Cv(t,p), (7.32)

являющийся, очевидно, линейным. Этот оператор легко распространяется на поток платежей

Cf = {(f„C1),(/I,C1),...,(/.,C.)}

и имеет ВИД

 

Кроме того, операция приведения порождает отношение эквивалентности относительно заданного полюса р для событий и потоков. В свою очередь, это отношение позволяет обобщить операцию приведения на случай приведения к моменту г относительно заданного полюса р. Она преобразует события и потоки в события в точке г, эквивалентные исходным событиям или потокам относительно заданного полюса р. Поскольку формально рассматриваемые определения ничем не отличаются от приведенных в гл. 6, то мы их здесь не приводим. Эти определения и связанные с ними результаты не зависят от конкретного вида финансового закона схемы простых процентов. Необходимо лишь выполнение свойств, перечисленных выше.

На этом мы закончим обсуждение общей схемы простых процентов. Как видно, в общем она мало чем отличается от стандартной (базовой) схемы простых процентов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |