Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов

Рассмотрим простейшие непрерывные бинарные модели, т.е. модели с разделенным основным и процентным счетом, для которых внешний поток платежей (довложений/изъятий) будет непрерывным (см. § 1.2). Такой поток платежей задается (кусочно) непрерывной плотностью }л(ї) . При этом величина V = VCf потока CF, представляющая собой аддитивную функцию промежутка, описы-

вается интегралом

 

Г(/)=ф(г)ёг,

 

где /— произвольный промежуток временной шкалы.

Кроме непрерывного потока CF, задающего внешний поток, будем считать заданным финансовый закон роста, порождаемый непрерывной аддитивной функцией r(t, т) с (кусочно) непрерывной плотностью j(t). Таким образом,

т

r{t, r) = Jy(tt)dM

для любых Т> Л

Поскольку состояние бинарной модели определяется двумя фондовыми величинами — состояниями P{t) основного и I(t) = /(/0, I) процентного счета, то для нахождения состояния полного счета

 

S{t) = P(t) + /(О

необходимо найти закон изменения обоих составляющих (субсчетов). Будем считать, что начальное состояние задается условиями

№) = /> = £„; |/('о) = 0-

Поскольку модель непрерывная, то естественно ожидать, что ее динамика описывается дифференциальными уравнениями. Эти уравнения получаются простыми рассуждениями.

Пусть в момент / состояние счета известно и задается парой значений P(t), 1(f). Рассмотрим достаточно малый промежуток [?, t + Аг] (теоретически бесконечно малый: At ~ df). Состояние счета в момент t+ At, т.е. P(t + At), I(t+ At) определяется, во-первых, начисленными за текущий период [t, t + At] процентами

 

I(t + At) = P(t)r(i,t+Af) = P(t) j(u)6u (7.34)

 

и, во-вторых, внешним потоком CF. За период [f, / + At] в систему поступит (или уйдет из нее) сумма

 

V(t,t + At) = J n(u)du. (7.35)

Для малого At интегралы в (7.34) и (7.35) можно заменить их приближенными значениями

l{t,t + At) = P(t)j(t)At; V(t,t + M)~fi(t)At. (7-36)

Новое состояние I(t + At), V(t + Аг) зависит не только от текущих процентов /(/ + At) и внешней суммы V(t + At), но и от способа взаимодействия этих элементов с текущим (старым) состоянием P(t)y f(t). В гл. 4 рассмотрены две модели — коммерческая и актуарная, соответствующие двум способам такого взаимодействия, определяющего локальный переход от старого состояния к новому. Непрерывный аналог коммерческой модели получается очень легко, если вспомнить, что в ней внешний поток воздействует только на состояние основного счета, а процентный счет просто аккумулирует текущие проценты. Таким образом, для коммерческой модели локальный переход от старого состояния к новому описывается уравнениями

P(t + At) = P(t) + n(t)Af I{t + At) = l{t) + P(t)j(t)At. Эти уравнения можно переписать в виде

P(t + At)-P(t) =

At        К '

и

I(t + At)-I(t)

At

= P(t)j(t). (7.38)

Переходя к пределу при At —» 0, мы получим систему линейных дифференциальных уравнений

 

Ql (7.39)

 

{ dt    1 JJy}

Система уравнений (7.39) легко решается. С учетом начальных условий получаем последовательно

 

P(t) = PQ+ц(т)йт;

(       и

du.

'о         '(Л       'О J

 

Учитывая, что

г t

r(t, т) = j(u)6u V(t0,t) = fi(u)6u

 

и меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получим решение системы (7.39) в виде

P{t) = P, + V{tt,l);

/     ч    Г   , ч  ,     ч <7-4°)

 

Следовательно,

 

= />(/) + /(/)=/> [l + г(/0, /)] + j,u(r)[ + г(т, 0]dr.        (7.41)

'<»

Последнее равенство можно переписать в виде

 

5(/) = ^(/0,г) + {М(г)й(г,г)с1т,          (7.42)

где

a(r,t) = +r(rj), />т

 

— коэффициент роста в общей схеме простых процентов.

Равенство (7.42) имеет вполне очевидную интерпретацию. Первое слагаемое есть будущая стоимость события (f0, Р), представляющего начальное состояние:

P,a{tqj) = FVt{t„P,). (7.43)

Второе слагаемое можно рассматривать как обобщение понятия будущего значения для непрерывных потоков:

)li{r)a{Tj)6r = FVt{CF,), (7.44)

где CF — начальный отрезок внешнего потока, т.е. непрерывного потока, порожденного плотностью, являющейся сужением плотности 14м) исходного потока на отрезок [ґ0, t. Если объединить начальное состояние (дискретный поток из одного события) и непрерывный поток CF , то получим смешанный поток, порождающий анализируемый счет

CF = {{t0,P0)} + CF. (7.45)

Тогда выражение для состояния счета можно представить окончательно в виде

S(t)=FV,(cF ). (7.46)

 

Пример 7.4. Найти состояние счета с переменным капиталом в коммерческой модели с начальным состоянием (г0, Р0), внешним потоком с постоянной плотностью п и постоянной процентной ставкой j.

Решение. Для постоянной процентной ставки коэффициент роста имеет вид

 

Подставляя выражение для коэффициента роста в (7.40), получим

P(i) = P0 + V{t0,t)=Pij+n{t~t{))

и

'           і У

/(г)=М'„-0 + /М'-О^=М'и.0 + /іУ^:7^.

 

Формулу для состояния процентного счета можно переписать в виде

 

Таким образом, полное состояние счета в момент / равно сумме основной части, представляющей собой просто общую сумму средств, поступившую на счет, и процентной части, которая равна произведению «средней величины» состояния основного счета на процентную ставку за период [tCj, t].

Мы получили в общем виде выражение для состояния счета в коммерческой модели. Обобщение актуарной модели на непрерывный случай возможно, но существенно более сложно. Здесь мы не будем его рассматривать.

Приведенный выше анализ показывает, что в рамках общей схемы простых процентов можно обобщить понятия текущей стоимости для общих потоков, а не только для дискретных, как было сделано в предыдущем параграфе. Мы не будем приводить соответствующие определения и результаты. Заинтересованный читатель легко выполнит это самостоятельно.

Эту главу мы закончим небольшим параграфом, посвященным так называемым кратным кредитным сделкам или моделям с реинвестиро-

 

ванием капитала. Эти модели, по существу, выводят нас за рамки схемы простых процентов, и их развитие приводит к следующей важной теме — схеме сложных процентов, которой посвящена остальная часть книги.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |