Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

7.5. реинвестирование в схеме простых процентов

 

Вернемся к постановке задачи для переменных ставок простых процентов, несколько видоизменив ее. Будем считать, что в первый критический момент tv т.е. когда нормированная ставка меняется с / на /2, заканчивается первая кредитная сделка. В результате получена наращенная сумма 5, . Эта сумма является начальной для «второй» сделки под простые проценты с нормированной ставкой /2, которая заканчивается в следующий критический момент /2, а наращенная к этому моменту сумма снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой /3 и т.д. Последовательность кредитных сделок такого типа отражает процесс так называемого реинвестирования или капитализации процентов.

Покажем, что при инвестиции в момент t суммы S и при реинвестировании наращенных сумм в критические моменты гА., к — 1, 2,..., п - 1, наращенная сумма на всем промежутке [tQi /J, определяется по следующей формуле:

 

=^ Л D+('»-'»-! К} <7-47>

 

Доказательство этой формулы проведем, используя снова метод математической индукции.

При п = 1 имеем схему простых процентов на промежутке [/0, t с процентной ставкойур а формула

 

получаемая из (7.47) для п = 1, совпадаете основной формулой простых процентов (3.2).

Предположим, что формула (7.47) справедлива для случая, когда рассматривается т промежутков, 1 < т < п, т.е. что наращенная сумма к моменту tm имеет вид

т

Докажем теперь, что формула (7.47) верна также и в случае, когда рассматривается т + 1 промежуток, и может использоваться для определения наращенной суммы S   к моменту tm+l.

Согласно процессу реинвестирования в момент / сумма S, снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой Z^, т.е. теперь сумма S. является начальной в новой кредитной сделке. Тогда по формуле (3.2) получаем

 

Подставляя в это равенство выражение (7.48) для 5, , получаем

т

m+i

^..-•ШСИ'»-'»-.)'»}

к=]

Таким образом, формула (7.47) доказана.

 

Пример 7.5. По договору на сумму ;^?3000 в течение четырех лет начисляются простые проценты но ставке 6\% годовых в первом полугодии, 7\% во втором полугодии. 10\% за второй год и 12\% за оставшиеся 2 года. При этом накопленные к концу очередного периода начисления суммы реинвестируются. Найти наращенную сумму к конпу срока сделки, процентную ставку за период сделки и нормированную годовую процентную ставку.

Решение. Пусть начальный момент сделки равен rQ. Накопленная по ставке i[ = 0,06 к моменту времени г() + 0,5 сумма вкладывается на следующие полгода по ставке /, = 0.07. затем накопленная к моменту t(i + 1 сумма вкладывается на год по ставке i3 ~- 0,1 и, наконец, сумма, накопленная к моменту г, + 2, вкладывается на 2 года по ставке /4 = 0,12. Тогда по (7.47) получаем

S,^4 = 3000(1 + 0,06.0,5)(1+0,07-0,5){1 +0.1-1)(1 + 0,12-2) = 4362.28(.#).

(Результат получен с точностью до копеек:)

Теперь по формуле (2.5) вычислим процентную ставку за период сделки

4362,28-3000

г =       = 0.4541, или 45,41\%.

3000

Далее, по формуле (2.9) найдем нормированную годовую процентную ставку, соответствующую периоду сделки Т- 4 года:

0 4541

/ — __1—_ = 0 1135, или 11,35\%. 4

 

Вопросы и упражнения

Что такое кривая доходностей? Какой «типичный вид» имеет кривая доходи остей? Что такое плоская кривая доходностей?

В чем состоят динамический и структурный подходы к анализу изменчивости процентных ставок?

 

Опишите схему простых процентов с дискретной структурой процентных ставок. Какой вид имеют операторы будущей и текущей стоимостей события в этой схеме?

Выпишите рекуррентные формулы для определения состояния в дискретной коммерческой модели в схеме простых процентов с переменными ставками; в актуарной модели.

Опишите общую схему простых процентов. Определите оператор приведения финансовых событий и потоков в общей схеме простых процентов.

Опишите рсинвестиционную модель (модель кратных сделок) в схеме простых Процентов, Приведите выражение для накопленной стоимости для инвестированной суммы в этой модели.

Выпишите дифференциальное уравнение для состояний основного и процентного счетов в непрерывной коммерческой модели.

 

Задачи

Инвестор в начале года открывает в банке накопительный счет на сумму .#10 ООО. Начальная годовая ставка счета равна 20\%. В конце 2, 6 и 8-го годов инвестор вносит на счет соответственно ;4'500, .'-#1000 и :-#2000. Какая сумма будет на счете в конце 10-го года, если годовая ставка счета ежегодно снижалась на 2\% первые 5 лет, а затем ежегодно повышалась на 1\%.

Решить задачу 7.1 при условии ежегодного реинвестирования начисленных за год процентов.

Инвестор открывает в начале года счет с начальной суммой .-#10 000. В конце каждого нечетного года он снимает со счета .#500, а в конце каждого четного года вносит .#500. Годовая ставка меняется по закону = 8 + 2;, где t — номер года (/=1,2,...). Каково состояние счета в конце 10-го года: а) в коммерческой модели? б) в актуарной модели?

Накопительный счет в непрерывной коммерческой модели порождается непрерывным потоком с постоянной плотностью pt = 2. Пусть в момент t (в годовой шкале) годовая ставка счета_/'(/) = 0,2 — 0,1/. Найти состояние основного и процентного счетов в конце года (/ = 1).

Решить задачу 7.4 при условии, что порождающий поток имеет плотность /1(0= 1000(0,5 -/), Ь</<1,

Решить задачи 7.4 и 7,5 для актуарной модели.

Пусть временная структура ставок задана в годовой шкале соотношением

t1 -т1

г(/,т) = 5(г-/)   —.

 

Найти приведенную к моменту / ~ 10 стоимость потока

CF= {(0, 100), (4, -100), (8, 100)}.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |