Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

Введение

 

Основная цель науки о финансах состоит в изучении того, как экономические агенты (лица и учреждения) распределяют ограниченные ресурсы во времени. Акцент именно на временном, а не на других видах распределения, изучаемых в экономике (по регионам, отраслям, предприятиям), является отличительной чертой финансовой науки. Решения, принимаемые лицами по поводу временного распределения ресурсов, представляют собой финансовые решения. С точки зрения лица или лиц, принимающих такие решения, распределяемые ресурсы относятся либо к расходам (затратам), либо к доходам (поступлениям). Финансовые решения основываются на соизмерении стоимостей потоков расходов и доходов. В термине поток отражается временной характер распределения средств. Проблемы, касающиеся временного распределения ресурсов (в самом широком смысле), являются финансовыми проблемами.

Поскольку решение финансовых проблем подразумевает соизмерение стоимостей затрат (расходов) и результатов (доходов), то предполагается наличие некоторой общей меры для оценки стоимости (ценности) распределяемых ресурсов. На практике стоимость ресурсов (активов) измеряется в тех или иных денежных единицах. Но это только один аспект проблемы. Другой касается учета фактора времени. Если проблема временного распределения ресурсов — отличительная характеристика финансовых проблем, то финансовая теория должна давать средства для соизмерения ценностей, относящихся к разным моментам времени. Этот аспект проблемы имеет афористичное выражение «время — деньги». Рубль, доллар и т.д. сегодня и завтра имеют разные стоимости.

Кроме того, существует еще один чрезвычайно важный аспект. Во всех реальных финансовых проблемах, с которыми приходится сталкиваться на практике, присутствует неопределенность, касающаяся как величины будущих расходов и доходов, так и моментов времени, к которым они относятся. Именно тот факт, что финансовые проблемы связаны со временем, и обусловливает присущую им неопределенность. Говоря о неопределенности, имеем в виду, конечно, неопределенность будущего, а не прошлого. Неопределенность прошлого связана обычно (по крайней мере, в финансовых проблемах) с недостатком информации и в этом смысле, в принципе, устранима по мере накопления и уточнения данных, тогда как неопределенность будущего принципиально неустранима. Эта неопределенность, присущая финансовым проблемам, приводит к ситуации риска при их решении. Любое решение по поводу финансовых проблем в силу неопределенности может привести к результатам, отличающимся от ожидаемых, сколь бы тщательным и продуманным ни было это решение.

Финансовая теория разрабатывает понятия и методы для решения финансовых проблем. Как и любая другая теория, она строит модели реальных финансовых процессов. Поскольку такие основные элементы, как время, стоимость, риск, а также критерии для выбора желаемого распределения ресурсов получают количественное выражение, то эти модели по необходимости носят характер математических моделей. Большинство моделей, изучаемых в современной финансовой теории, имеют ярко выраженный математический характер. При этом математические средства, используемые для построения и анализа финансовых моделей, варьируются от элементарной алгебры до весьма сложных разделов случайных процессов, оптимального управления и др.

Хотя, как было сказано, неопределенность и риск — неотъемлемые характеристики финансовых проблем, в ряде случаев ими можно пренебречь либо в силу стабильности условий, в которых принимается решение, либо в идеализированных ситуациях, когда рассматриваемая модель в силу ее специфики игнорирует наличие тех или иных видов рисков. Финансовые модели такого рода называют моделями с полной информацией, детерминированными моделями и т.п. Изучение таких моделей важно по двум обстоятельствам.

Во-первых, в ряде случаев эти модели вполне пригодны для прямого использования. Это касается, например, большинства моделей классической финансовой математики, посвященной моделям простейших финансовых операций, таких как банковский депозит, вексельная сделка и т.п.

Во-вторых, одним из способов изучения моделей в условиях неопределенности является моделирование (см. [221), т-е- анализ возможных будущих ситуаций или сценариев. Каждому сценарию соответствует некоторый, уже вполне определенный, будущий «ход событий». Анализ этого сценария осуществляется, естественно, в рамках детерминированной модели. Затем на основе проведенного анализа различных вариантов развития событий принимается общее решение. В этом смысле можно сказать, что изучение общих финансовых моделей основывается на использовании детерминированных моделей.

Предлагаемая книга посвящена детерминированным моделям, возникающим при решении специального класса финансовых проблем. Отсутствие фактора неопределенности приводит к тому, что главной проблемой при анализе таких моделей становится разработка методов сопоставления стоимостей в различные моменты времени.

Выше уже отмечался математический характер финансовых моделей. Принципы построения математических моделей в финансах те же, что и в любых других науках. Не касаясь подробно этой темы и отсылая читателя к специальной литературе [см. 17, 22], остановимся лишь на одном весьма важном моменте. Характеризуя математические модели, обычно говорят, что они являются формализацией содержательных, неформатьных моделей, имея в виду, что эти модели описываются с помощью математического языка. Безусловно, использование математического языка — отличительная характеристика математических моделей. Однако далеко не самая важная. К сожалению, достаточно «часто приходится сталкиваться с игрой в символы», когда для различных понятий вводятся лишь их символьные обозначения, а вся модель сводится к набору бессодержательных «уравнений», выражающих некоторые «зависимости» между введенными переменными. Естественно, для этих зависимостей также придумываются специальные «функциональные» обозначения и т.п.

На самом деле, построение математических моделей сводится не к «лингвистическому переводу» с содержательного языка на математический, а к более глубокой и тонкой процедуре сопоставления содержательным объектам, понятиям и т.д. соответствующих им математических объектов и понятий. И дело здесь не ограничивается просто введением обозначений. Математические объекты: числа, множества чисел, функции, матрицы, операторы, случайные величины и т.д. являются вполне определенными конструкциями. Для них определены различного рода операции отношения. Они обладают определенными свойствами и т.д. Когда строится математическая модель финансовой операции, например, связанной с выбором инвестиционного портфеля, необходимо решить, какими математическими объектами (а не символами!) будут представлены все существенные элементы такой сделки. Как представляются активы? Что это: числа, функции или, быть может, случайные величины? Что такое портфель: множество или вектор активов? Что такое доходность и риск активов и портфеля: числа, функции, матрицы или что-нибудь еще? Вопрос «что это такое?» (в смысле каков этот объект, какова его структура, какими свойствами он обладает) является основным в построении моделей. Кстати говоря, само развитие математики шло именно по этому пути. Туманные определения линии как «длины без ширины», функции как «зависимости переменных» постепенно были заменены строгими или, как говорят, формальными определениями как некоторых специальных конструкций из «элементарных кирпичиков», единственных неопределяемых, но интуитивно ясных понятий, на базе которых строится все здание математики.

Существование таких «элементарных кирпичиков» можно проследить в большинстве корректных моделей из различных областей науки. В книге также сделана попытка выделить такие «базовые элементы» финансовых моделей, с помощью которых можно строить другие более сложные модели. Они подробно рассматриваются в первой главе. Существенное использование в современной финансовой теории и практике математических методов и тот факт, что сами финансовые модели являются математизированными, приводит к тому, что совокупность таких моделей и математических средств для их построения и анализа называют финансовой математикой (в широком смысле). Таким образом, финансовая математика в таком ее понимании занимается построением и изучением математических моделей финансовых операций и процессов. При этом в ней выделяют различные разделы, обычно связанные с соответствующей предметной областью, например математика кредитных операций (теория процентов), математика инвестиций, математика производных финансовых инструментов, математика страховых операций (актуарная математика) и т.п. В принципе, в таком подходе ничего плохого нет, однако возникает вопрос, является ли такая математика на самом деле математикой? Конечно, формула сложных процентов описывает модель «накопительного вклада», и ее можно в равной степени считать математической моделью некоторого финансового процесса или финансовой моделью, выраженной математически. Однако ни нахождение значения этой формулы для конкретных значений переменных, ни различные ее математические преобразования, вообще говоря, не являются, на наш взгляд, математикой. Это, конечно, применение математики, но не сама математика. Но существует ли тогда финансовая математика? Не является ли то, что под ней обычно подразумевают, просто применением математики, а реальное содержание ее сводится просто к набору финансовых моделей, хотя и математически представленным? Чем вообще занимается математика?

По мнению авторов, очень удачный ответ на этот вопрос содержится в статье известного отечественного математика М.М. Постникова [19]. Он основан на двух экспериментальных фактах, которые можно сформулировать в виде следующих утверждений.

1.         Познание природы осуществляется с помощью моделей, т.е. упро-

щенных и идеализированных описаний окружающего мира.

Здесь модель понимается в самом широком смысле, включая и неформальное, словесное ее описание.

2.         Рассматривая модели в различных науках, легко обнаружить

группы чрезвычайно сходных моделей, и результаты, полученные для

одной модели, могут быть применены в другой.

Для описания сходства моделей М.М. Постников предлагает использовать термин «схема». Тогда сходство моделей можно выразить утверждением, что эти модели имеют общую схему или что схожие модели — это модели, которые основываются на одной и той же схеме. Введение понятия схемы приводит к задаче изучения схем как таковых, безотносительно к их конкретному воплощению.

Используя понятие схемы, М.М. Постников дает следующее определение математики:

«Математикой называется наука, изучающая все возможные схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем и т.д. и т.п. Таким образом, математика не есть наука о моделях мира, а есть наука о схемах этих моделей».

Заметим, что М.М. Постников говорит о математике как о науке о любых схемах моделей, в том числе схемах моделей из разных наук. Но, немного сужая это определение, можно говорить о математике данной науки, если ограничиться изучением схем лишь моделей, используемых в этой науке. В таком смысле финансовую математику можно рассматривать как науку о схемах финансовых моделей.

Для того чтобы такая трактовка финансовой математики была достаточно продуктивной, необходимо иметь такие схемы. И они есть. Даже в элементарной классической финансовой математике можно выделить, по крайней мере, две такие схемы. Это схемы простых и сложных процентов. Заметим, что очень важно, речь здесь идет не о формулах простых или сложных процентов, а именно о схемах финансовых моделей (которые в книге коротко названы финансовыми схемами), т.е. о схемах моделей, «основанных» на теории простых и сложных процентов.

Во введении нет смысла давать определение финансовой схемы, в частности схем простых и сложных процентов. Первому понятию посвящена первая глава, а двум другим, по существу, вся книга.

В заключение заметим, что авторы не настаивают на использовании термина «финансовая математика» непременно в таком уточненном смысле. Цель состояла в объяснении авторской точки зрения на предмет и метод финансовой математики и вытекающий из нее принятый в книге способ изложения материала. В частности, этим же продиктован и выбор названия книги.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |