Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

8.6. эквивалентность ставок в схеме сложных процентов

 

Выше подробно рассмотрены инвестиционные процессы, описываемые непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов.

Каждый из этого класса процессов однозначно определяется начальным состоянием (f0, £0) или некоторой ставкой (процентной или учетной). Динамика процесса при этом описывается уравнением

Sf = SQa>^ = S^'-!° (8.78)

где а — нормированный (эффективный) коэффициент роста; v — нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующие ставке, характеризующей этот процесс. Выбирая конкретный вид ставки, получим конкретное представление динамики процесса в терминах выбранной ставки.

Выше были определены четыре основных типа процентных ставок. Каждая ставка определяет соответствующий коэффициент роста а:

нормированная эффективная ставка /;

 

д=1 + /; (8.79)

ставка начисления (фактическая) і за период начисления Л:

 

fl = (l +'А)1/А; (8.80)

номинальная (нормированная) ставка і(т) = і с кратностью начислений т и периодом начисления h — /т:

 

а

( /И У 1+—

     т J

номинальная (нормированная) непрерывно начисляемая ставка j — i(oa):

 

а = &. (8.81)

Были также определены четыре типа учетных ставок, каждой из которых соответствует коэффициент дисконтирования v:

нормированная эффективная учетная ставка d:

 

v^i-d; (8.82)

учетная ставка dh за учетный период А:

v = ( -d)Vh (8.83)

— номинальная (нормированная) ставка d(m) — d f с кратностью учета т и периодом учета А = /т:

v -

1

 

; (8.84)

т j

— номинальная (нормированная) непрерывно учитываемая ставка 5~ dM:

 

v = є"5. (8.85)

Заметим, что все эти определения предполагают выбор исходной временной шкалы Т, термин нормированный означает отнесенность к единичному (базовому) периоду этой шкалы.

Итак, каждая из перечисленных ставок определяет соответствующий процесс накопления (8.78). Вполне возможно, что ставки как из одного, так и из различных классов могут порождать идентичные процессы роста. Такие ставки назовем эквивалентными (в широком смысле).

Определение 8.2. Две ставки (процентные и/или учетные) называются эквивалентными (в широком смысле), если для любого начального состояния (f0, SQ) процессы роста (8.78), порожденные этим состоянием и данными ставками, тождественны.

Отсюда следует, что ставки будут эквивалентными, если соответствующие коэффициенты роста и/или коэффициенты дисконтирования совпадают. Эквивалентность ставок обозначим символом

Данное определение эквивалентности позволяет отождествлять как процентные, так и учетные ставки различных классов. Поэтому мы назвали это отношение эквивалентности эквивалентностью в широком смысле.

Под эквивалентностью в узком смысле будем понимать эквивалентность двух ставок одного класса, например ставок начисления или номинальных учетных ставок и т.д.

Заметим, что для нормированных эффективных ставок как процентных, так и учетных (узкая) эквивалентность означает попросту их совпадение.

В самом деле, коэффициент роста а однозначно определяет соответствующую эффективную процентную ставку

 

i = a- 1

так как а = -И", и учетную ставку

 

d=(a-)/a,

поскольку а = (1 - d)-]. Следовательно, совпадение коэффициентов роста влечет совпадение соответствующих эффективных нормированных ставок.

Таким образом,

/'-/"<=>/' = /"; d'~d"<=*d' = d". (8.86)

Точно так же (узкая) эквивалентность номинальных непрерывных (бесконечно-кратных) ставок также означает их совпадение. В самом деле, равенства

а = еу и а — qs

означают, что коэффициент роста позволяет однозначно определить номинальную непрерывно начисляемую ставку:

j — In а

и номинальную непрерывно учитываемую учетную ставку

 

S = In а .

Поэтому совпадение коэффициентов роста означает совпадение соответствующих непрерывных (бесконечно-кратных) ставок.

Итак, для классов эффективных и непрерывных ставок эквивалентность в узком смысле означает просто их совпадение:

 

jrJi^Jrh (8-87)

и

5, ~ <52 <=> $ = й, (8.88)

Широкая эквивалентность этих ставок (/, d, j, S) описывается очевидной цепочкой равенств:

1 +/=(1 ~d)-l = eJ=Q5. (8.89)

Каждое равенство из этой четверки дает конкретный вид эквивалентности между соответствующими ставками. Так, равенство

1 + / = (1 - </)-'

означает эквивалентность / ~ d эффективных процентной и учетной ставок.

Наконец, можно выписать еще ряд (узких) эквивалентностей ставок одного типа: — ставки начисления

/,,~'Al  =(1+0 ; <8-9°)

Подпись: учетные ставки
Подпись: (8.91)
Подпись: номинальные процентные

(

г) Г'

Г   ' <=>

 

V

 

т

1 +•

 

ї J

 

V

1 +

 

т1 )

(8.92)

номинальные учетные

 

Щ )

1

(8.93)

Наконец, широкая (перекрестная) эквивалентность для этих классов ставок задается цепочкой равенств:

(

1 +

т )

і

V

(8.94)

где снова каждое равенство из цепочки дает конкретный вид эквивалентности. Например, равенство

/і   ■ V/''

(

1

№ Y

P J

означает эквивалентность

d^

 

ставки начисления с периодом h и /7-кратно учитываемой учетной ставки dip

Теоретически восемь различных классов ставок дают 8 х 8 = 64 конкретных вида эквивалентности. Из восьми видов узких зквившіент-ностей (для ставок одного вида) четыре означают равенства, остальные — нетривиальные эквивалентности. Широкие (перекрестные) эквивалентности ставок различных видов описываются равенствами из объединенной цепочки равенств (8.89) и (8.94). Все эти эквивалентности (их 8 х 7 = 56) определяются одной из возможных комбинаций. Конечно, нет никакого смысла выписывать их все. Принцип определения этих эквивалентностей чрезвычайно прост: каждое условие эквивалентности означает равенство коэффициентов роста, выраженных через соответствующие ставки.

Пример 8.14. Пусть /' = 10\% — месячная ставка начисления (/г, = 1/12); = 3.31 \% — квартальная (/г, = 1/4). Являются ли эквивалентными эти ставки? Найти месячную

Аналогично, зная учетную ставку за период d, можно из эквивалентности dh ~ dh , равносильной равенству

 

найти учетную ставку за период п2:

і hijh

=■-(--<) •

Наконец, процентная и учетная ставки за любой период взаимно определяют друг друга:

 

1-4

Нет смысла выписывать все выражения для преобразования одной ставки в другую, поскольку механизм получения таких соотношений чрезвычайно прост. Любая из перечисленных выше эквивалентностей дает два правила преобразования для каждой из двух видов ставок, участвующих в этой эквивалентности.

Пример 8.16. Пусть /(|2) = 12\% — номинальная годовая процентная ставка с ежемесячным начислением. Найти эффективные годовые ставки всех видов, эквивалентные этой ставке.

12

Решение.

1) Эффективная годовая процентная ставка

1 + — -1 =1,1286- 1 - 0,1286, или 12,68\%. ^    12 J

(

2) Эффективная годовая учетная ставка

d* = -Mr- =  °Л286  = 0,1452, или 14,52\%. (,2)   І-/;"', 1-0,1286

 

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов

Эффективные ставки кредитных сделок. Приведенные выше определения формулировались в рамках непрерывной модели накопительного счета в схеме сложных процентов. Как известно, эта модель подразумевает непрерывную итерацию процедуры начисления процентов за выбранный период, называемый периодом начисления. Однако на практике понятия эффективной ставки и эквивалентности ставок используются в значительно более широком контексте. В частности, и для описания индивидуальных кредитных сделок.

Рассмотрим, например, простейшую кредитную сделку с периодом Т, начальной суммой S и конечной ST. Напомним, что величина

rT=(ST-S0)/SQ

называется ставкой сделки или ставкой за период Г, а величина

 

— нормированной простой ставкой сделки.

Но можно определить еще одну нормированную, т.е. приведенную к базовому промежутку временной шкалы, ставку, — эффективную ставку, которая задается выражением

 

(8.96)

 

Конечно, чисто формально (8.96) ничем не отличается от формулы эффективной ставки, соответствующей ставке начисления. Различие проявляется лишь в интерпретации. Говоря выше о ставке начисления и о связанных с ней (эквивалентных) нормированных ставках (номинальной и эффективной), подразумеваем использование накопительной модели, т.е. непрерывную (многократную) итерацию процедуры начисления процентов за последовательные периоды. Этот процесс характеризует динамику накопительного счета.

Для индивидуальной кредитной сделки ее итерация (даже если она возможна), вообще говоря, не подразумевается. В этом случае эффективная ставка — просто еще одна характеристика сделки, являющаяся функцией ее ставки за период. Фактически ставка сделки за период порождает два нормированных представления: простую и эффективную ставки.

То же относится и к понятию эквивалентности ставок кредитных сделок. В гл. 2 определен простой класс сделок, обладающий тем свойством, что все сделки этого класса имеют одну и ту же простую нормированную ставку. Аналогично можно определить класс эффективно-эквивалентных сделок — класс, все сделки которого имеют одинаковые эффективные нормированные ставки. Таким образом, две сделки и соответственно их ставки iT піт называются (эффективно) эквивалентными, если

В дальнейшем эффективную эквивалентность будем называть просто эквивалентностью, используя уточняющее прилагательное лишь для случая простых процентов.

Распространение понятий эффективной ставки и эквивалентности на случай индивидуальных кредитных сделок позволяет сравнивать сделки с разными периодами. Содержательная интерпретация результатов такого сравнения будет весьма нелегкое и тонкое дело. Сейчас лишь отметим широкое применение на практике обоих видов нормированных ставок, как простых, так и эффективных, в оценке инвестиционных стратегий с различными кредитными инструментами (векселями, облигациями, депозитами и т.д.).

Заметим, что использование различных нормированных ставок для сравнения эффективности индивидуальных кредитных сделок с разными сроками может привести к парадоксальному результату.

Пример 8.17. Рассмотрим две простые кредитные сделки. Пусть первая сроком 158 дней имеет простую доходность /,"р = 157\% годовых, а вторая — сроком 95 дней — =144\% годовых. Какая из сделок выгоднее?

Эффективная годовая доходность второй —

Решени е. Очевидно, что по простой годовой доходности первая сделка превосходит вторую. С другой стороны, эффективная годовая доходность первой сделки

Таким образом, по эффективной годовой доходности первая сделка уступает второй. Итак, /,,,р >іїр1 но </2лф. Парадокс оказался возможным исключительно из-за различной продолжительности сделок. Поэтому в данной задаче для однозначного ее решения необходимо было уточнить критерий сравнения сделок.

Выбор критерия для сравнения эффективных сделок, как мы уже увидели в этом примере, — весьма тонкая вещь. Этому вопросу мы уделим впоследствии особое внимание.

Приведенный механизм распространения понятия эффективной ставки с накопительной модели на модели индивидуальных сделок можно завершить еще более радикально, определив общее (абстрактное) понятие процентной или учетной ставки безотносительно к какой-либо содержательной модели (кредитных сделок или накопительной).

Общие ставки: определения и свойства. Пусть Т — выбранная временная шкала.

Определение 8.3. Процентной ставкой (в схеме сложных процентов) называется пара (Г, г), ТФ 0, где Т — период (точнее, длина периода) действия ставки, а г — числовое значение ставки. Ставка (1, г) с единичным периодом т= 1 называется нормированной.

Для простоты вместо пары (Г, г) используют индексное обозначение іт для значения /-ставки в тех случаях, когда необходимо указать период Т, к которому она относится. При этом обозначение нормированного периода т~ 1 часто опускают, т.е. вместо / пишут просто і.

Определение 8.4. Ставки (Г,, г,) и (Г2, г2) называются эффективно-эквивалентными, если выполняется равенство

 

в индексных обозначениях это определение запишется как

(+tTt) .

Для каждой ставки (Г, іт) существует единственная эквивалентная ей нормированная ставка

# = (J+ir)vr-l.

Последнюю будем называть эффективной ставкой, соответствующей ставке /г, и обозначать     или просто / Наконец нормированную ставку

■ = !l

 

назовем простой нормированной ставкой, соответствующей ставке ip и обозначим ее /£р, или коротко / . Простую ставку /"р называют также номинальной ставкой, соответствующей ставке /г

Из определения эффективной ставки следует, что две ставки будут эквивалентными, если соответствующие им эффективные нормированные ставки совпадают:

 

Ы    \% ^V.) (Тії

Эффективная ставка — нормированная ставка эффективно эквивалентная ставке іт:

1т ту

Заметим, что простая нормированная (номинальная) ставка /£р не является эффективно эквивалентной ставке / , за исключением случая, когда сама исходная ставка является нормированной (71= 1).

Однако можно ввести еще один тип эквивалентности ставок — так называемую простую эквивалентность.

Определение 8.5. Ставки іт и/г будем называть просто эквивалентными, если

 

т.е. если совпадают соответствующие им простые нормированные ставки.

Мы определили общие процентные ставки. Аналогичным образом определяются общие учетные ставки.

Определение 8.6. Учетной ставкой называется пара (Т, w), где Т — период действия, а и> — значение ставки. Значение w ставки с периодом /"будем обозначать также через dT. Учетная ставка (1, w) с единичным периодом называется нормированной.

Для учетных ставок можно определить отношение эквивалентности.

Определение 8.7. Учетные ставки (Т{, w) и (Тг w2) называются эффективно эквивалентными, если имеет место равенство

 

в индексных обозначениях это определение запишется в виде

 

Для каждой учетной ставки dTсуществует единственная эквивалентная ей нормированная ставка, которая называется эффективной ставкой, соответствующей ставке dr Эта ставка обозначается как d^. Ясно, что

 

Наконец, для учетных ставок можно определить понятие простой эквивалентности тем же способом, что и для процентных ставок. Ставки dT wdT считаем просто эквивалентными, если

dT dT

Тх Т2'

Каждой учетной ставке df соответствует единственная эквивалентная ей нормированная учетная ставка

dnp = -І

 

Эту ставку называют также номинальной учетной ставкой, соответствующей ставке gL.

Эффективная эквивалентность учетных ставок равносильна равенству соответствующих эффективных ставок, а простая эквивалентность — равенству соответствующих номинальных ставок.

Наконец, можно расширить определение эквивалентности, позволяя отождествлять процентные и учетные ставки. При этом ясно, что эквивалентность нормированных процентной / и учетной d ставок означает просто выполнение равенства

 

или

. d і =

 

а общая (эффективная или простая) эквивалентность автоматически сводится к эквивалентности нормированных ставок.

Определенная выше эквивалентность ставок действительно является отношением эквивалентности, т.е. оно обладает свойствами:

рефлексивности: / ~

симметричности: из /Гі ~ /Гі следует, что /г - іТ;

транзитивности: из    ~/Г; и/т ~іТ следует, что іт ~іт.

Проверка этих свойств тривиальна, и мы не будем на ней останавливаться.

Пример 8.18. Пусть ставка за квартал 12\%. Найти эквивалентные процентные и учетные ставки: а) годовые; б) месячные; в) двухлетние.

Решение. Пусть выбрана годовая шкала. Тогда 7, = 1/4; і   = О,12 и

 

1/4   1 + v 1+0,12

Найдем эквивалентные ставки, а) Т, = 1 и, следовательно,

/.,=(1 + /1/4)4-1 = (1 + 0.12)4-1 = 0,57;

Это эффективные ставки, соответствующие исходной ставке /

4 = 1 - (l - f/]M )4 = —^— = 0,6369.

сс

б) Г, = 1/12, и значит

/!/l2=(l + *V4)'-l = (l + 0,l2) -1=0,04; ^=l-(l-^/4F=T^=0,037I.

1 +'[/12

в) 7Л = 2. Используя результат, полученный в п. а), находим

'2 =(1^/1)2-1 = Ь46: йг = 1-(1-4)" =0,8682.

В заключение параграфа, посвященного ставкам и их эквивалентности, вернемся к содержательной интерпретации этого понятия.

Ставки используются в двух основных типах моделей: в моделях финансовых сделок (операций) и в моделях финансовых процессов (фондовых моделях), таких, как модель накопительного счета. В моделях сделок ставка за период является одной из характеристик эффективности финансовой операции или ее доходности. В модели процессов ставка обычно характеризует динамику роста соответствующей фондовой величины, например состояние накопительного счета. •В обоих случаях, как было показано выше, ставке за период соответствуют ее «производные» характеристики — эффективная и номинальная нормированные ставки, отличающиеся лишь способом приведения к единичному периоду (нормированием).

Замечание. Мы неоднократно использовали термин «фактическая» ставка. Так говорят о ставках за период, если он естественным образом связан с анализируемой моделью. Например, период может быть периодом кредитной ставки или периодом начисления для модели накопительного счета и т.д. С данной ставкой за период можно связать бесконечное число эквивалентных ей (в простом или эффективном смысле) ставок, относящихся к другим периодам, в частности нормированные номинальную и эффективные ставки. В этом случае прилагательное «фактическая» противопоставляется производному (искусственному) характеру получающихся таким образом ставок. Производный характер последних означает, что непосредственно с базовым периодом (периодом приведения) явно не связаны какая-либо финансовая операция (сделка) или процесс, для которых нормированная ставка являлась бы фактической. Из этого не следует, что в частных случаях интерпретация нормированной ставки как фактической невозможна. Так, в непрерывной модели накопительного счета эффективная годовая ставка будет фактической ставкой накопления за годовой промежуток. Точно так же годовая эффективная ставка простой полугодовой кредитной сделки является фактической ставкой для сложной годовой сделки, состоящей в двукратной итерации исходной сделки (если это возможно) с полным реинвестированием инвестиционного дохода от первого шага.

Аналогично можно конструировать ситуации, когда используется номинальная ставка, соответствующая исходной фактической ставке за период. Тем не менее в ситуации, где первично задана ставка за период, связанная с некоторой сделкой, процессом и т.д., фактический характер этой ставки и «нефактический», производный характер нормированных ставок, лишенных естественной привязки с периодом приведения, обычно достаточно очевиден. Таким образом, термин «фактическая ставка» вполне может быть использован и часто употребляется на пракгике, но каждый раз следует четко представлять, о чем идет речь.

Поясним подробнее сказанное выше. Если 5, и5Гі — две суммы, относящиеся к моментам времени ^ и / , — состояния некоторого финансового процесса, например St^ — возвращаемая по кредиту сумма для взятой в момент t ссуды или 5", — накопленная за период Т= t2 - t] начальная сумма вклада S, и т.п., то величина

 

'l 'l

выражающая относительный прирост начальной суммы, будет фактической процентной ставкой за период Т.

Номинальная же ставка обычно получается приведением ставки за период к единице времени (например, году) по формуле

 

і   -lJL^Ji         '± (8<98)

{Т)   т     TS    v >

 

и является другим способом представления фактической ставки, поскольку на практике принято говорить о годовых ставках.

Обе ставки безусловно однозначно определяют друг друга. Ситуацию можно пояснить примером из механики. Если автомобиль двигался равномерно точно 1 мин и проехал при этом 400 м, то его скорость, выраженная как v = 400 м/мин, соответствовала бы, так сказать, фактической скорости, поскольку он действительно двигался 1 мин и проехал действительно 400 м. С другой стороны, если выразить эту скорость в других единицах, скажем в км/ч, то получим

400 60 ^Л

v =       = 24.

1000

Такое представление можно было бы считать номинальным. Естественно, при этом не считают, что автомобиль двигался действительно 1 ч и проехал 24 км. В механике такое разделение на фактическую и номинальную скорости не имеет смысла, и их употребление как эквивалентных характеристик скорости общеизвестно и не вызывает никаких недоразумений.

В финансовых вычислениях с формальной точки зрения понятия фактической и номинальной ставок взаимозаменяемы. Трудности могут возникнуть при интерпретации полученных при вычислениях значений. Так, если на вклад в банке проценты начисляются ежемесячно по номинальной годовой ставке 12\%, то за год вклад увеличится, конечно, не наэти 12\%, а на (1,01)12 - 1 = 0,1268-0,13,т.е. примерно на 13\%. Именно эту ставку вкладчик будет считать настоящей, фактической или эффективной ставкой. Поэтому вопрос о различении фактических и номинальных ставок далеко не праздный.

Аналогичные коллизии возникают при оценке доходности различных финансовых и инвестиционных операций. Во многих финансовых сделках декларируемые ставки часто имеют совсем не тот смысл, который имеет (или может иметь) в виду «наивный инвестор». Весьма поучительным примером служит недавняя отечественная история банковского дела.

Несколько лет назад (1993) «Мосимпортбанк» проводил широко рекламируемую кампанию по привлечению вкладов населения под

 

Та б л н ц а 8.1

 

Процентные ставки

Срок востребования, мес.

\%

годовых

Срок востребования, мес.

\%

годовых

Срок востребования, мес.

\%

годовых

1

145

13

314

25

783

2

154

14

337

26

849

3

163

15

363

27

922

4

173

16

390

28

1001

5

184

17

420

29

1088

6

196

18

453

30

1184

7

209

19

488

31

1289

8

224

20

527

32

1404

9

239

21

569

33

і 531

10

255

22

616

34

1669

11

273

23

667

35

1821

12

293

24

722

36

1989

Процентные ставки (окончание)

Срок востребования, мес.

о/ /о

годовых

Срок востребования, мес.

годовых

Срок востребования, мес.

\%

годовых

37

2173

49

6519

6!

20637

38

2375

50

7164

62

22759

39

2597

51

7874

63

25106

40

2842

52

8659

64

27701

41

3111

53

9525

65

30572

42

3407

54

10480

66

32748

43

3734

55

11535

67

35000

44

4093

56

12700

 

 

45

4489

57

13988

 

 

46

4925

58

15409

 

 

47

5405

59

16981

 

 

4

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |