Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

9.1. интенсивность роста финансового процесса

При изложении теории сложных процентов мы придерживались в основном так называемой накопительной модели или модели банковского вклада с неопределенным сроком. Основной изучаемой величиной служила накопленная сумма вклада S(t) в момент времени t. Нас интересовал закон изменения этой величины со временем для заданной процентной ставки /. При этом последняя характеризует относительную скорость или темп роста величины S{t). Тем самым процентная ставка служит мерой доходности банковского вклада. Банковский вклад однако, — лишь один из видов финансовых активов.

При инвестировании часто приходится решать задачу в некоторой степени противоположную той, о которой говорилось выше для накопительного вклада. Так, зная последовательные значения цены некоторого актива, необходимо оценить доходность, связанную с изменением Цены, т.е. доходность от прироста капитала. В этом случае исходными Данными служит последовательность цен или, как еще говорят, временной ряд S(tx), S(t2),..., S(tJ цен актива, соответствующий некоторой последовательности г,, f2,..., tn моментов времени или, более общим образом, некоторая функция S(t) времени. Это может быть или цена отдельного актива, или текущая стоимость некоторого портфеля активов, фонда и т.д. В принципе это может быть любая зависящая от времени фондовая переменная.

Итак, рассмотрим некоторую фондовую величину S(t). Наша цель -описание характера ее изменения. Так для любых двух моментов времени /, < t2 можно охарактеризовать изменение S{t) на промежутке ї ] величинами, широко используемыми как в теории, так и на практике. В частности, можно говорить о приращении

bS{t,j2) = S{t2)-S(t,) (9.1) величины S(t) на этом промежутке и о средней скорости

u{tvh)J(<ysi>K^!A (9.2)

U   ;       t2-tx At

изменения S(t).

В экономике, в частности финансах, чаще интересуются не абсолютным, а относительным изменением величин. Поэтому говорят об относительном приращении

 

или относительной средней скорости, или средней интенсивности изме-

нения  . .      . .            . "

,/,    ,   S(t2)-S(t,) AS(/„f,)

Д"1,"5(г1)(/,-0" *S(t,)

за промежуток [tr t2.

Очевидно, что относительное приращение — это аналог процентной ставки за период. В том случае, когда S{t) представляет величину вклада в момент г, эти понятия просто совпадают. С другой стороны, если S{t) интерпретируется как стоимость актива, то относительное приращение есть просто доходность актива от изменения цены. Средняя интенсивность является аналогом номинальной процентной ставки и при стандартном соглашении о смысле S(t) совпадает с этим понятием. При интерпретации S{t) как цены (стоимости) актива эту величину можно было бы назвать среднеарифметической (ценовой) доходностью в единицу времени.

Приведенные характеристики изменения величины S{t) зависят только от конечных значений S(t{) и S(t2) промежутка [г{, /,], и они никак не связаны с поведением S(t) внутри этого промежутка.

Чтобы охватить всевозможные изменения функции S(t), вводят понятие о мгновенных или предельных характеристиках изменения. В первую очередь это понятие мгновенной скорости, которая на языке математического анализа описывается как производная функции S(t)

 

u{tQ) = S'(t0 Him   {i UJ.

 

Предельный случай относительной средней скорости или средней интенсивности

 

v '     *('.)(',-'.) s[tt)

в анализе называется логарифмической производной, так как для случая положительных значений S(t) > О

 

\%)=[lnS(r)]'|,=,0. (9.3)

 

В теории процентной ставки, когда S(t) интерпретируется как процентный рост во времени некоторой суммы, эта величина называется силой процентов или интенсивностью роста. Покажем, как связаны сила процентов и процентные ставки в стандартной модели процентного роста с постоянной процентной ставкой.

Рассмотрим сначала процесс роста S(t) со ставкой (любого вида). Пусть а — соответствующий эффективный коэффициент роста. Тогда (при г0 = 0)

S(t) - V'. (9.4)

В этом случае для любых tx < t2 относительное приращение и средняя интенсивность процесса за период [г,, t2]:

 

Щ)

И         /      ч      і /

 

Интенсивность (мгновенная) роста этого процесса

а'"''1 -1

S(L) = \m y(/0,/) = Iim           = па.

 

23-5169

Здесь мы воспользовались так называемым замечательным пределом

 

lim-—--па, а>0.

х-» О х

Таким образом, процесс роста с постоянной ставкой обладает постоянной (не зависящей от времени) интенсивностью

 

8= In а.

Этот результат можно было бы получить сразу, применив формулу (9.3) к процессу роста S(t), определяемому формулой (9.4):

<5(0-|(in^(0) = ^(mv)=in..

dt

Теперь можно получить выражения интенсивности роста для каждого типа процентной ставки. Для этого достаточно вспомнить формулу для эффективного коэффициента роста, соответствующего выбранному типу ставки:

т )

a = +i = ( + ihfh =

Отсюда немедленно следует, что

<5=1п(1 + /)

для эффективной (нормированной) ставки /.

Для ставки начисления /А с периодом начисления h

5 = 5Л(г) = ІЦіН).

При этом

(    /И V 1 + —

и

г(/, / + h) = ih j(tj + h) = l± = i[hY

 

т.е. относительное приращение совпадает со ставкой начисления, а средняя интенсивность — с номинальной ставкой /" .

Для номинальной /я-кратно начисляемой ставки i(m) =j

 

т )

= win

1 + ^

(9.5)

 

Заметим, что процесс накопления по номинальной /w-кратно начисляемой ставке i{m) с постоянным значением i{m) =j имеет вид

 

(9-6)

 

Предельный переход при m -> со в равенстве (9.6) дает (предельный) процесс роста

S(~] (t) = SQQjt

с номинальной непрерывно начисляемой ставкой j. Ему соответствует эффективный коэффициент роста

 

я(") = еА

Интенсивность этого процесса

 

(5(~>(/) = In л<-> = у.

Это же значение интенсивности получается предельным переходом при т —> оо в равенстве (9.5):

Утд{т) U)~ lim win

' УЛ

/77

1+—

 

(9.7)

и

lim я ^ lim

1 +

ey =

 

т.е. характеристики предельного процесса S{oa){t) равны пределам соответствующих характеристик промежуточных последовательных процессов SSm ).

Итак, для всех рассмотренных (см. гл. 8) непрерывных моделей процентного роста

S(t) = Sua'

интенсивность таких процессов постоянна:

 

<5 = In а,

причем конкретный вид коэффициента роста а и интенсивности 8 зависит от конкретного вида модели (т.е. выбора типа процентной ставки).

Пример 9.1. Пусть у = 10\% — номинальная годовая ставка. Найти накопленное значение суммы 100 за год при начислении процентов: а) раз в год; б) раз в полгода; в) раз в квартал; г) раз в месяц; д) ежедневно; е) непрерывно.

Реше н и е. Пусть S — накопленное значение за год. Тогда:

а)         S= 100(1 +0,1) = 110(.#);

б)         5 = 100(1+^-)2=ИО,25(;*);

в)         5 = 100(l+^)4 = I10,3S(.^);

г)         £ = 10о(і + ^),2 = ПО,47(.#);

д)         S = 100(l+^)*°=110,515(^);

 

е)         S = 100е(и - 110,517(^)-

Заметим, что разница между ежедневным и непрерывным начислениями не превышает 0,5 коп. '

Приведенные формулы основывались на выражениях для конкретных моделей процентного роста с постоянной ставкой накопления (любого вида). В этом случае интенсивность роста оказывается постоянной.

Можно доказать в некотором смысле и обратное, что постоянная интенсивность определяет процесс экспоненциального роста, который можно интерпретировать как процентный рост с постоянной ставкой. Мы получим этот факт как следствие общей формулы, связывающей произвольную фондовую величину S(t) и интенсивность ее изменения

5(Г), т.е.

6(0

Интегрируя это равенство от г до г, получим

или

Переходя к логарифму частного, запишем

Пусть S(t) — положительная величина. Тогда предыдущее равенство можно записать как

 

и, окончательно,

ft

S(i) = 5(/0)ехр J8(x)dx

 

(9.8)

J

Таким образом, для класса положительных гладких функций S(t) задание интенсивности изменения 8(t) однозначно с точностью до выбора начального значения S{tQ) определяет саму величину S(t).

В частности, при 8(f) = 8 — const имеем, что

J(/) = 5(/0)e"Mj, (9.9)

и, если положить tQ = 0, то получим обычную формулу экспоненциального роста

Из формулы (9.8) следует, что относительное изменение также однозначно определяется интенсивностью 8(f). В самом деле,

и, значит,

 

r(r,,/2) = expfjs(r)dr

 

 

1.

 

 

(9.10)

 

Если 8(f) = 8— const, то

- exp

J8df

V'. J

и

r{tltt2) = exp(S(t2-tx))-\;

 

В частности, для периодов единичной длины

г2-г,= 1

получим

r(fvt2)=j(fvt2)^es- 1.

Таким образом, процесс роста с постоянной интенсивностью S можно всегда интерпретировать как процесс процентного роста с нормированной ставкой

i = Qs- 1, (9.11) так что в этом случае имеют место равенства (9.7).

Рассмотрим теперь схему накопления по простым процентам. Полагая по-прежнему tQ = О, имеем

 

S(t) = S0(+it),

где / — простая годовая ставка. Отметим, что эта ставка является фактической только для промежутка [0, 1], т.е. для первого года:

5,-Уо = ДІ(1+0-Д._/

 

Здесь и далее для целого к используются индексные обозначения Sk = S(k).

Для второго года фактическая ставка будет другой:

 

h     Sx S0(l + i)           +

И вообще для /7-го года получим

 

,                       ft П-

n

 

Таким образом, фактическая годовая ставка для простых процентов убывает с течением времени.

Сила процентов для схемы простых процентов, в отличие от сложных процентов, не является постоянной величиной и также есть убывающая функция времени:

a(,)=kMLj_.

w    SQ(]+it)     U it В общем случае, когда t Ф 0 и

 

интенсивность роста в схеме простых процентов

 

зависит не только от текущего значения времени /, но и от начального момента Г0 как от параметра, тогда как интенсивность роста в схеме сложных процентов <5(/) = S— const является постоянной. Это одно из важнейших отличий двух схем накопления. Тем не менее существенно, что обе схемы могут быть описаны в рамках одного подхода, использующего понятие интенсивности роста. Мы ниже покажем, что значительная часть изложенного выше материала допускает подобную переформулировку.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |