Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

11.1. алгебра денежных потоков

Напомним определения характеристик потоков платежей. Определение 11.1. Пусть

CF = {(tt, С,),(^Сг),...,(/„,С„)}

поток платежей. Тогда текущей (приведенной) стоимостью потока в момент р относительно нормированной ставки / в схеме сложных процентов называется величина

pyf(CF,i) = ^Cttfi-',

где

1

1+1

нормированный дисконтный множитель.

Момент времени р, относительно которого находится текущая стоимость, называется моментом приведения (полюсом или фокальной датой). Ставка/, с помощью которой осуществляется приведение (дисконтирование) платежей потока, часто опускается в обозначении текущей стоимости. Так, пишут просто PVp(CF), считая ставку/заданной неявно.

Определение 11.1 является общим в том смысле, что применяется для любых значений момента приведения р независимо от его положения относительно моментов платежей потока. В частности, если

 

т.е. момент приведения следует за всеми платежами потока, то текущая стоимость будет совпадать с будущей (накопленной) стоимостью потока

PVp(CF) = FVp(CF).

Если же момент р предшествует всем платежам потока, то текущая стоимость совпадает с приведенным к настоящему моменту значением потока платежей.

Пример ПЛ. Пусть

CF={{, 100), (2, -200), (3,500)} и і = 20\%. Найти: a) PV4(CF); б) PV^CF); в) PV2(CF). Решение.

а)         PV,(CF)=0і^4 + (-200+ 500іЛ4 = 100(1 + і)3 -200(l + / f + 500(1 + / ).

Таким образом,

PVt (CF) = FV4 (CF) = 100(1,2)J -200(1,2)2 +500-1,2 = 484,8.

 

б)         /\%(С/>100^0-200^\%500^°= — --^L+- 500

1+/'  (1+/Г 0+0 Таким образом,

.^(^ = ^-^+^=233,79. У    1   1.2   (1,2)2 (1,2)'

в) PV2 (CF) = 100и'-2 -200v2"2 +50Qv" =

=100(1+Л-200+— = 100(1,2)-200 + —= 336,6. ]+/ 1,2

 

Замечание. Поскольку изложение материала этой главы имеет общетеоретический характер, не будем указывать в примерах денежные единицы соответствующих сумм платежей в потоках.

Согласно определению, текущая стоимость потока равна сумме текущих стоимостей платежей, составляющих поток. Смысл нахождения текущей стоимости состоит в приведении всех платежей к одному и тому же моменту времени и сложению полученных приведенных значений. Такое приведение необходимо, поскольку складывать денежные суммы, относящиеся к различным моментам времени, некорректно. Приведение сумм фактически означает замену их эквивалентными значениями, относящимися к заданному моменту приведения. Таким образом, суммирование этих эквивалентных значений для платежей потока дает в некотором смысле эквивалентное (с финансово-экономической точки зрения) представление всего потока в виде отдельной суммы или, точнее, отдельного финансового события.

Замена целого потока на отдельную сумму (событие) во многих случаях существенно упрощает финансовый анализ и позволяет, как Мы неоднократно увидим в дальнейшем, легко решать многие задачи по определению характеристик денежных потоков.

Тот факт, что текущая стоимость потока определяется как сумма текущих стоимостей отдельных платежей потока, приводит к следующим очевидным, но весьма полезным свойствам линейности: —- аддитивность:

PVr (CFI+CF2) = PVp [CF,)+ PVp (CF,),

т.е. текущая стоимость суммы двух потоков равна сумме их текущих

стоимостей;

— однородность:

PVt(XCF) = XPVt(CF),

т.е. текущая стоимость потока, полученного из данного умножением всех его платежей на число X, есть произведение текущей стоимости исходного потока на это число.

При этом сумма потоков определяется естественным образом как

(с/;+CF2)(r)=сед+»■(/),

т.е. платеж C(t) в момент t для суммарного потока (CF] + CF2) есть сумма платежей в этот момент слагаемых потоков, а для потока XCF— произведение платежа CFи числа X. Напомним, что если моменту /не соответствует никакого платежа из потока CF, то CF(t) = 0 по определению.

П р и м е р 11.2. Пусть

CF, = {(1, 100), (2,-400), (3, 600)};

CF2 = {(0, 200), (2, 500), (4, 900)}.

Найти PV2{2CFi - 3Cf2) для / = 50\%. Решение. Очевидно, что

2CFl = {(1, 200), (2, -800), (3, 1200)}; - ЗСТ2 - {(0, -600), (2, -1500), (4, -2700)}.

Следовательно,

2CFX -3CF2 = 2CFt + (-3)CF2 = {{0,-600),(l, 200,)(2,- 2300),(3,1200),(4,-2700)}. Если / = 50\% и / = 2, то

PV2 (CF) = 0(1 + 0,5) - 400 +        = 150;

1+0,5

PV2 [CF2) = 200 (1 + 0,5) + 500 +   900 2 =1350

(1 + 0,5)

и, следовательно,

PV2 (2CFX - 3C/;) = 2PV2 [CFt) - ЗЯК, (CF2) = 2 150 - 3 • 1350 = -3750.

Введем еще одну важную операцию — временнбй сдвиг потока. Начнем с простейшего случая, когда поток состоит из одного платежа, т.е. сводится к одному событию.

Определение 11.2. Сдвигом события (/, С) по времени на шаг Т назовем событие (t + 7 С).

Временная диаграмма этой операции изображена на рис. ПЛ. lt

Оператор сдвига обозначим выра- ^ —"

жением LT, так что определение сдвига

f           t + г

можно переписать в виде

Рис. 11.1

LT(t,C) = {t + T,C).

Сдвиг может быть как положительным (Т> Содействующим в направлении временнбй шкалы, так и отрицательным (Г<0), действующим в противоположном направлении.

Определение 11.3. Сдвигом финансового потока называется поток, получаемый сдвигом по времени всех платежей исходного потока на один и тот же шаг Т. В операторном виде этот сдвиг записывается как

1г{(г1,С1),...,(/я,Ся)} = {(г1+Г,С1),...,(г|1+Г,Сл)}.

Докажем следующую лемму о сдвиге события.

Лемма 11.1 (о сдвиге события). Пусть (/, С) — некоторое событие. Тогда текущая стоимость сдвинутого события (Г + Т, С) относительно любого момента травна произведению текущей стоимости исходного события на число Я = vT, называемое мультипликатором сдвига, т.е.

PV,{LT{t,Q)=vTPVt(t,C).

Доказательство. В самом деле,

PVr (t + Т,С) = Cv(t+T)~T = CuTv'~T = vTCv'-r = vTPVT (t, C).

Эта лемма в силу линейности текущей стоимости легко переносится на поток событий.

Лемма 11.2 (о сдвиге потока). Пусть CF — дискретный поток платежей. Тогда текущая стоимость сдвинутого на шаг Т потока LT(Cf) относительно момента тесть произведение текущей стоимости PVt (CF) исходного потока и мультипликатора сдвига vT.

Доказательство. Пусть

CT = {(fl>C1),(r2,C2),...,(r„,C„)}.

Тогда

LT (CF) = {(/, + г, с,), (г2 + т, с,),..., (<„ + г, с,)}.

Следовательно,

/»Kr(ir(CF)) = X^r(rt+r>Q) = = ІУ       . Q)=(/„Ct) = Л>ГГ (CF).

 

Пример 11.3. Пусть CF = {(20, 100), (21, 300), 22, 600)}. Найти текущую относительно г = 0 стоимость потока при ставке / - 10\%.

Решение. Можно, конечно, найти текущую стоимость этого потока непосредственно по определению. Однако замечая, что данный поток есть сдвиг на Т= 20 потока

CF' = {(0, 100), (1, 300), (2, 600)}, воспользуемся леммой 1.2. Тогда вычисляя для потока CF' его текущую стоимость

PV0 (CF') = 100 + — +       = 868,60,

К    1   1,1 (U)

получим         1 '

PV, (CF) = u10PVu (CF')= 129,11.

Сдвиг потока не меняет момент приведения, но изменяет взаимное расположение моментов платежей потока и момента приведения. Такого изменения взаимного расположения можно добиться, оставляя неизменным поток, но сдвигая момент приведения т.

Лемма 11.3 (о сдвиге полюса). Пусть (t, С) — событие и г — момент приведения. Тогда для любого Т

PVrtT(t,C) = v-TPV1(t,C).

Доказательство. Это соотношение следует из цепочки равенств

рК+Т   с)=Cvht+t)=Ы'-\%~т = v~TPVT (/, С).

Таким образом, мультипликаторы сдвига события и момента приведения взаимно обратны.

Лемма 11.3 тривиально распространяется на потоки.

Лемма 11.4. Пусть CF~~ дискретный денежный поток; т — момент приведения; Г— параметр сдвига. Тогда

PV„T(CF) = vT PVt(CF).

 

Доказательство. Пусть CF =     С,),(ґ2,С,),...,Ся)}.

Тогда

 

Следствие ILL Для любого дискретного потока платежей СТодновременный сдвиг потока и момента приведения (на один и тот же шаг Т) не меняет текущую стоимость:

PynT{LT(CF)) = PVt(CF).

Доказательство. Утверждение данного следствия немедленно вытекает из лемм П.2 и 11.4.

Лемму о сдвиге момента приведения можно сформулировать несколько иначе, как связь между текущими стоимостями потока относительно двух различных моментов приведения.

Теорема ILL Пусть CF— произвольный дискретный поток. Тогда для любых двух моментов приведения rt и т2 справедливо соотношение

PVTi (CF) = v™PVti (CF).

Доказательство теоремы получаем тривиальным образом из леммы 11.4, полагая г2 = т, + Т.

Теорема 11.1 чрезвычайно полезна в практических вычислениях. Она означает, что для вычисления текущих стоимостей потока в разных точках достаточно вычислить это значение в какой-либо одной точке, тогда значения во всех остальных точках будут получаться простым домножением полученного значения на подходящую степень дисконтного множителя.

Пример 11.4. Рассмотрим поток CFследующего вида:

CF= {(0, 100), (1, -200), (2, 300), (3, 500), (4, -600)}. Для процентной ставки / = 20\% найти текущие стоимости PVQ(CF) и PV4(CF). Р е ш е н и е. Найдем сначала приведенное значение потока в точке і = 4; PVt {CF) = FVt (CF) = 100(1 + 0,2)4 -200(l + 0,2)3 + +300(1 + 0,2)2 + 500(1 + 0,2) - 600 = 293,76.

Согласно теореме 11.1, для нахождения текущей стоимости потока в точке 0 нет Необходимости пересчитывать текущие стоимости платежей потока. Достаточно текущее в точке г = 4 значение умножить на мультипликатор сдвига

 

■4 -()

V =

Г   1 V

U+0,2/

Таким образом (с точностью до двух знаков после запятой),

PV0{CF) - (1,2)-4- 293,76 - 140,00.

Теорема 11.1 имеет одно весьма полезное следствие, которое формулируется в виде отдельной леммы.

Лемма 11.5. Для любого дискретного потока платежей CF и любых моментов приведения г, s справедливо соотношение

PVX(PV,(CF))= PVr{CF). (11.1)

Доказательство. Положим PV{CF) = С. Тогда, с одной стороны, в силу теоремы 1 (при т2 = ти т1 = s) получим

PVX (CF) = хГ PVS (CF) = vs~'Сs.

С другой стороны, для события (5, С) имеем

PK(s,C,) = C,v'-'.

Следовательно,

PVr(PVs(CF)) = PVs(CF)vs~T

 

и, значит,

PVT(PVs(CF)) = PVt(CF).

Свойство (J 1.1) является обобщением на потоки доказанного в § 8.9 свойства поглощения оператора приведения событий.

В заключение приведем еще одно важное свойство текущей стоимости, которое можно назвать ассоциативностью.

Теорема 11.2 (свойство ассоциативности текущей стоимости). Пусть дискретный поток платежей С^разбит на т частей — подпотоков:

т

CF = ^CFk.

k=l

При этом каждая из составных частей CFk приведена к некоторому моменту времени Ту Кроме того, положим

 

Тогда для любого момента т текущие стоимости исходного потока CF и преобразованного потока cr^{(^DMh,D2)^(TniDn)},

составленного из текущих стоимостей частей исходного потока, относительно этого момента совпадают:

PVt(CF) = PVT(Ct).

Доказательство. Так как по условию теоремы поток CFпредставляется в виде суммы из т, то в силу линейности оператора текущей стоимости получаем

т

 

А=1

С другой стороны, в силу леммы 11.5

рк(dk) = pv,[pv\% (cft ))=pvt(cft),

т.е.

m m

pv,{cf)^pv,{cfk)^pv,{dk).

A=l A'=l

В свою очередь, согласно определению текущей стоимости,

т

^РК{оЛ=РК{сґ).

k=

Таким образом, получаем требуемое равенство

PVT(CF) = PVr(CF').

П р и м е р 11.5. Рассмотрим снова поток из примера П.4. Разобьем его на две части, одна из которых состоит из положительных, а другая из отрицательных платежей:

CFl = {(0, 100), (2, 300), (3, 500);

CF2 = {(1,-200), (4, -600)}. Требуется найти текущие стоимости PV0(CF) и PV^CF). используя результаты теоремы 11.2.

Решение. В качестве момента приведения для первого подпотока возьмем г, = 3, а для второго — г, = 0. Наконец, в качестве финального момента приведения возьмем т= 4. Тогда последовательно получим

PVJ.CF) - 100(1,2У + 300(1,2) + 500 = 1032,8; PV0(CF2) = -200(1,2) 1 - 600(1,2) 4 - - 456,019.

И наконец,

РК4({(3; 1032,8), (0, - 456,019)}) = 1032,8 (1,2) - 456,019-(1,2)4 = 293,76, что совпадает с полученным в примере 11.4 значением PVt(CF).

11.2. Эквивалентность потоков платежей

В нашем изложении теории процентной ставки постоянно подчеркивались два взаимосвязанных аспекта. Первый касается всевозможных преобразований событий и составленных из них потоков.

Так, операторы будущей и текущей стоимостей позволяли преобразовывать события (суммы) и потоки событий (платежей). Формально это означает сопоставление некоторому событию, т.е. сумме, относящейся к некоторому моменту времени, некоторого другого события, сумма которого относится к другому моменту времени. Внешне это преобразование выглядит как перенос (сдвиг) события от одного момента времени к другому с изменением, вообще говоря, денежной суммы этого события. При этом преобразованное событие считается эквивалентным в финансово-экономическом смысле исходному событию. Эта эквивалентность понимается как равноценность денежных сумм, участвующих в преобразовании событий, при определенных внешних условиях, в которых главным фактором является фиксированная процентная ставка. Процентная ставка однозначно определяет механизм преобразования событий (сумм) и тем самым их эквивалентность. Таким образом, преобразование событий определяет второй аспект, связанный с понятием эквивалентности событий или (датированных) денежных сумм.

Напомним данное в гл. 8 определение эквивалентности событий в схеме сложных процентов. События считаются эквивалентными (относительно заданной процентной ставки), если одно из них можно преобразовать в другое с помощью операции приведения. Формально это означает следующее.

События (tv Cj) и (t2, С,) называются эквивалентными (в схеме

 

сложных процентов) и обозначаются как   , С7, )~(г2, С2), если

с, = /\%(',. с,)

или в развернутом виде

 

Как было показано в гл. 8, определенное таким образом отношение между событиями действительно является отношением эквивалентности, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Точно так же приведение потока к некоторому моменту т, т.е. вычисление его текущего относительно момента т значения, означает

 

по существу замену потока платежей эквивалентной ему единственной суммой, а точнее, эквивалентным событием. Таким образом, с финансово-экономической точки зрения в рамках заданных условий (известной процентной ставки) поток и его текущая стоимость эквивалентны. Перенесем теперь определение эквивалентности событий, а также потока и его приведенного значения на произвольную пару потоков.

Определение 11.4. Два дискретных финансовых потока cfx и cf2 называются эквивалентными относительно процентной ставки / и момента приведения г, если их текущие стоимости относительно этого момента совпадают, что в формальном виде записывается как

 

cfi ~ cf2 <=> pvt (с/;) = pvx {cf2).

Эквивалентность потоков зависит от выбора момента приведения. Покажем, что на самом деле ее выбор безразличен, т.е. потоки, эквивалентные относительно одной точки, будут эквивалентны относительно любой другой.

Теорема 11.3. Пусть cf и cf2 — потоки платежей, а / — процентная ставка. Тогда для любых г , т2

cf{~cf2<*cf'~cf2>

т.е. эквивалентность потоков относительно одной из точек равносильна их эквивалентности относительно другой.

Доказательство. Пусть при фиксированной процентной ставке /, которую ниже не будем указывать,

cf,~cf2,

тогда

PV,CF,) = PV^CF,).

Применяя к этому равенству оператор приведения к точке т2, получим

PV^PV^CF^PV^PV^CFJ),

что на основании свойства (11.1) дает

PV^CF^PV^CFJ,

а это равносильно эквивалентности относительно точки хг

Таким образом, можно говорить просто об эквивалентности потоков, не упоминая приведения моментов времени. Ранее в гл. 8 этот факт был доказан для событий.

Пример 11.6. Показать, что потоки CF, = {(0, 300), (2, 120)} и CF, = {(1, 260), (3, 288)} эквивалентны относительно ставки / = 20\%.

Решени е. Выберем в качестве момента приведения т- 1. Тогда

PVX(CF) = 300-(1,2) + 120(1,2) 1 - 360 + 100 - 460.

Аналогично PV^{CF7) = 260 + 288-(1,2)"2 = 260 + 200 = 460. Следовательно,

PV{CFX) = PV{(CF2).

Это означает эквивалентность потоков относительно точки т = I. а следовательно, относительно и любой другой точки, т.е. эти потоки эквивалентны.

Отношение эквивалентности потоков обладает рядом очевидных и легко доказываемых свойств.

Во-первых, отметим, что для него выполнены все определяющие свойства:

рефлексивности: t

CF-CF;

симметричности:      , ,

CFrCF2^CF2~CF,

транзитивности:

если CFX~CF2 и CF2-CF^oCF^CF2.

Во-вторых, свойство эквивалентности сохраняется при всех основных операциях над потоками. В частности, эквивалентность потоков устойчи-

 

ва относительно сложения потоков: если CFX~CF{ и CF2-CF[ , то

CF,+CF2~CF;+CF2i а также относительно их умножения на число: если CFX ~CF{', то

XCF^ ~ XCF.

Из перечисленных свойств следует, что если в данном потоке отдельные события потока или его части заменяются на эквивалентные потоки, то поток, полученный таким преобразованием, эквивалентен исходному. Это свойство можно назвать обобщенной ассоциативностью отношения эквивалентности. Формально оно является простым обобщением устойчивости эквивалентности относительно суммирования потоков. Докажем ниже это свойство.

 

Теорема 11.4. Пусть CFk ~CFk' для к - 1, 2,..., п. Тогда

п          і п

2cfk ~±cf;.

 

Доказательство. Выбирая произвольный момент времени приведения ти используя аддитивность текущей стоимости, получим

( п Ли

 

*=1

і

Поскольку CFt ~CFk', то

PV,(CFk) = PVt{CFk')

и, значит,

XрКiPFk)=tpK(с/?)=pyz(tСЪ ■

 

Следовательно,

 

k=i        J        k=l J

 

Пример 11.7. Рассмотрим потоки

С/; = {(0, 100), (2, 300), (3, 500)} и CF, = {(1,-200), (4Л -600)},

являющиеся частями потока CFиз примера 11.4. Пусть т, = 3 ~ момент приведения для первого потока и z2 ~ 0 — второго потока. Используя теорему 11.4, найти поток, эквивалентный потоку Cf.

Решение. В примере 11.5 показано, что

PV^CF) - 1032,8.

Последнее равносильно эквивалентности

CF, ~{(3; 1032,80)}.

Аналогично равенство

PV0{CF,) = -456,019 равносильно эквивалентности ^

CF7 -{(0,-456,019)}.

Поскольку

CF = CF] + CFV то теорема 11.4 дает эквивалентность

CF- {(0,- 456,019), (3; 1032,80)}.

В этом мы убедились в примере 11.5 прямым вычислением текущих стоимостей обеих частей этой эквивалентности.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |