Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

12.1. стандартные ренты

 

Изучение рент начнем с немедленных рент, имеющих в выбранной временной шкале единичный период   /ї=1, конечный срок и постоянные платежи. Иными словами, базовый период временнбй шкалы (например, год) совпадает с периодом ренты. Более того, для простоты выберем начало ренты /0 равным началу временной шкалы, т.е. считаем t0 — 0. Тогда в выбранной шкале критические моменты ренты будут иметь вид

 

Такие ренты назовем стандартными.

Срочные ренты. Рассмотрим сначала обыкновенную срочную ренту с единичными выплатами, т.е. для которой

Ck=l, &=1,2,...,л. Данную ренту обозначим А (рис. 12.1).

 

 

1 1 ... 1 1

_і         1          1          1_

Пусть / — процентная ставка за период ренты:

Подпись: 0        1	2     .   .   . п-1 п
Рис. 12.1

т.е. і — нормированная процентная ставка; при этом период начисления ставки, являющийся базовым (единичным) периодом временной шкалы, совпадает с периодом ренты.

Замечание. В отечественной литературе ренты, у которых период начисления совпадает с периодом ренты, называют простыми. Мы, однако, рассматриваем ренты как потоки платежей безотносительно к процентным или учетным ставкам. Поэтому «простота*, с нашей точки зрения, есть не свойство ренты, а свойство финансовой схемы (модели), в рамках которой ведется изучение рент.

Простую, в вышеуказанном смысле, ренту всегда можно сделать стандартной, выбрав в качестве единичного периода шкалы период самой ренты. В этом случае ставка начисления автоматически становится нормированной. В дальнейшем так и будем поступать, так что в нашем изложении термины «стандартная» и «простая» ренты будут, по существу, синонимами.

Наряду с процентной ставкой / при анализе рент мы будем использовать также эквивалентную ей учетную ставку

 

l + i

Обе ставки однозначно задают нормированные коэффициенты роста

 

,   . 1

a~l + i~           

~d

и дисконтирования

v = — = l-d. + i

Будущая стоимость ренты. Будущая (накопленная, итоговая) стоимость такой единичной стандартной ренты в момент п обозначается ^,и, согласно определению будущей стоимости потока, она равна сумме будущих стоимостей всех платежей ренты:

*,,= FK (А„ ) = 1 •(! +<)"'' +1 -(1 +'г2 + •••+1 •

Эта сумма есть сумма п членов геометрической прогрессии со знаменателем

 

и начальным членом, равным 1. Поэтому при іф О

5-.. = mi

а-    (! + /)-!

т.е.

5П'

Jl+/)"-l^^-l

І і Если / = 0, то, очевидно,

п

 

Если величина платежа за период равна С, то очевидно, что будущая стоимость такой ренты С ■ Art составляет

FK„(CA„) = U,,,

т.е. в С раз больше, чем стоимость единичной ренты. Поэтому величину ^, называют также (стандартным, нормированным) множителем наращения (роста) обыкновенной немедленной ренты.

Рассмотрим теперь единичную авансированную ренту. Обозначим     1       1       1   ... 1

ее Ап; соответствующая схема пла- —і     1          1          t           1—

тежей изображена на рис. 12.2.       о      1       2   .   .   . л-1 п

Заметим, что поскольку в аван-      Рис j 2 2

сированной ренте все платежи

осуществляются в начале периода, то момент последнего платежа есть

т = п — 1.

п

Будущая стоимость такой ренты в момент п обозначается ^,:

=(! + *)"+(1+/Г+ ...+(1 + 0

ИЛИ

 

5-,. =    р          *          '           =          ,

 

где г/ — учетная ставка за период ренты. Из этого равенства следует, что

jf-,. =(l + /)j-7 .

nil              ' rid

Последнее равенство имеет простое «словесное» доказательство. Перенесем каждый платеж авансированной ренты на один период вперед. Перенос означает замену каждого платежа эквивалентной относительно ставки / суммой на один период позднее. Это означает, что

{k,)~(k + ,+i),

111 1

Ч          1          1          ь-

О         1          2     .   .   . п-1

1+/        1+/      1+J 1+І

—I       1          1          і—

т.е. сумма 1 в момент к эквивалентна сумме 1 + / в момент к + I. Поэтому единичная авансированная рента превратится в обыкновенную ренту с платежом 1 + / за период и тем же сроком. Диаграмма преобразования рент изоб-

0          1          2          л-1 л

ражена на рис. 12.3.

Рис-123           Если СА~Ап  — исходная

авансированная; СА'= (1 + 0АП — преобразованная эквивалентная ей обыкновенная рента, то согласно свойствам эквивалентности потоков, доказанных в предыдущей главе, получим

FVn(CA) = FVn(CA')

или, что то же самое

j-..=(l + /)5-,..

ті      V        / fill

Если периодический платеж по ренте равен С, то будущее (наращенное) значение такой ренты СА„ :

^,(СА„) = С\%,

Величина называется также множителем наращения авансированной немедленной ренты.

П р и м е р 12.1. Пусть инвестор ежегодно вносит в банк на пополняемый счет .#300. Банк платит 10 \% годовых. Какова будет сумма вклада через 5 лет, если инвестор вносит очередной вклад: а) в конце и б) в начале каждого года?

Решение.

а)         Взносы образуют обыкновенную ренту СА, и, следовательно,

55 = FVi(СА) = 300 ^+<^ "1 = 1831,53(>,>).

б)         Взносы составляют авансированную ренту ОТ, и накопленная сумма вклада будет

в 1 + / раз больше, т.е.

S, = FV, (СА')=(1 + /") FV, (СА) = 1,1-1831,53 = 2014,68(.#).

Здесь и в других примерах этой главы результаты производимых расчетов для денежных сумм округляются до сотых долей и используется знак точного равенства.

Пример 12.2. Если инвестор из предыдущего примера желает накопить с помощью ежегодных платежей за 5 лет сумму ^10000, то какой взнос он должен делать: а) в конце и б) в начале каждого года?

Реше н и е. Пусть величина ежегодного взноса составляет С.

Тогда в случае:

a)C = gJ00QQ.0,l=1637i98^;

(ur-i

 

б) Л' = —= 1489,10(;^). 1 + /

Текущая стоимость ренты. Перейдем к текущим стоимостям стандартных рент. Будем относить их к начальному моменту / — 0.

Текущая стоимость единичной обыкновенной ренты обозначается Яд. и согласно определению равна сумме текущих стоимостей отдельных платежей ренты. Таким образом,

Q         1          -+...

П1

1        1 1

1+< (1+/)"

Эта сумма есть сумма л членов геометрической профессии со знаменателем и--—-- и начальным членом 1/(1 + /'). Следовательно, при / ^0

 

1-У"       1 1-У

 

 

ИЛИ

а-л.=и

1-у   1-й 1-1/(1+/)

^А1-"*)!'1- (12.1)

 

Если / = 0, то, очевидно, а^,=п- Ясно также, что для ренты с платежами, равными С, имеем

 

28-5169

Текущая стоимость авансированной ренты обозначается #ц.:

,    1 1

а  =1+_ + ... + —

2t     1 + / 0+0 откуда получаем (при / ф 0)

(12.2)

где, как и раньше, d — нормированная учетная ставка, соответствующая процентной ставке /.

Таким образом, как и в случае накопленных значений, текущие значения обоих типов рент связаны соотношением

^=^/(l+0-

Это равенство можно доказать и на основании принципа эквивалентной замены аналогично тому, как это было сделано для накопленного значения.

Величины Яд,, и &ц. называют (стандартными, нормированными) дисконтирующими множителями соответственно обыкновенной и авансированной рент.

Финансовый смысл текущей стоимости ренты вполне очевиден. Это та сумма, которая должна быть инвестирована по ставке /, чтобы обеспечить выплату всех платежей ренты. Таким образом, если эта сумма вносится на накопительный счет с переменным капиталом (в схеме сложных процентов), то, трактуя периодические выплаты по ренте как снятия соответствующих сумм со счета, получим, что сальдо счета после последней выплаты становится равным нулю. Таким образом, текущая стоимость ренты — минимально необходимая сумма для обеспечения всех выплат по ренте.

Пример 12.3. Пенсионный фонд предлагает участникам пенсионную ренту, предоставляющую регулярные выплаты фиксированной суммы в конце каждого месяца, начиная с месяца подписания контракта на покупку ренты. Месячная ставка накопления фонда 5\%. Какой единовременный взнос должен сделать участник фонда в начале месяца подписания контракта, чтобы получать ежемесячную пенсию в J?Q0 в течение 5 лет?

Решение. Рассматривается пенсионная обыкновенная рента с периодом в один месяц, постоянным платежом J?100 в месяц и сроком 5 лет, или 60 мес. Следовательно, стоимость такой ренты есть

100оп =

-60

1-(1,05)-

0,05

= 1892,93(:J/?).

 

Таким образом, участник должен внести ГМ 1892,93. Заметим, что если бы фонд не имел возможности инвестировать, т.е. выполнял бы функции лишь простого хранения без инвестиционного роста, то, очевидно, что минимальная сумма, необходимая для обеспечения пенсионных выплат в этом случае, была бы равна

100-60 = 6000 (#). Это соответствует текущему значению при / = 0. Сравнивая формулы накопленных

а -1      а. — 1

 

и текущих

-vn    ..     1-и"    J 1

 

стоимостей единичных обыкновенной и авансированной рент, легко заметить сходство в их структуре. В каждом случае числители соответствующих выражений стоимости рент совпадают, тогда как знаменатели различаются. Причем для обыкновенной ренты (платежи в конце периода) знаменатель равен процентной, а для авансированной (платежи в начале периода) — учетной ставке.

Выше мы двояко обосновали связь между характеристиками обыкновенных и авансированных рент:

 

с одной стороны, аналитически исходя непосредственно из определения, с другой — с помощью эквивалентного преобразования одного типа ренты в другой. Имеется еще один способ, в некотором смысле более общий, с помощью которого можно получить другие важные свойства рент. Этот способ состоит в сдвиге точки приведения. В самом деле, рассмотрим обыкновенную единичную ренту Ал сроком п. Ее текущая стоимость вычисляется относительно момента / = 0,

T.e.e,,=w.(A.).

Если сдвинуть точку приведения вперед на один период, т.е. к моменту t = 1, то текущее значение этой ренты относительно этого момента совпадет с текущим значением авансированной ренты с началом в t = I. Таким образом,

В силу леммы о сдвиге точки приведения (см. гл. 11) имеем

/>К(А») = у-,/,^(А„) = с--'^, где v — дисконтный множитель. Отсюда следует, что

/>К(А.) = (1 + /)вд

или

 

Точно так же, перемещая точку приведения с момента t~ п в определении будущей стоимости ренты кп к моменту t = п + 1, получим аналогичные равенства:

 

*j( = f^(A.),

откуда снова, согласно лемме о сдвиге,

 

Мы воспользовались леммой о сдвиге точки приведения. Но точно

так же можно было воспользоваться леммой о сдвиге потоков. В самом

деле, стандартная с началом в / = 0 единичная обыкновенная рента Ап

является сдвигом на один шаг вперед стандартной авансированной

ренты А „:      ,.. .

А„=£,(А„),

где L] — оператор сдвига потока на один период вперед. Отсюда для любого момента приведения г

PVT{An) = vPVr(An).

Полагая т= 0, получим

1 ..

 

а для r= n

 

лі/      1 -f- /"   ^'"

Пример 12.4. Какую сумму накопил бы участник пенсионного фонда из предыдущего примера, если бы полагающиеся пенсионные выплаты он оставлял бы в фонде?

Ре ш е н и е. Эта сумма равна, с одной стороны, накопленной стоимости пенсионной ренты, т.е. 100.?--, . С другой стороны, поскольку выплат пенсий не осушествля-лось, то эта сумма равна накопленной стоимости начального взноса, т.е.

10Ог-^_ =(l00fl5j(iJ(l + 0105)fiO = 1892.93(1,05)"° = 35358,37 (.*).

Замечание. Выше накопленную стоимость стандартной (простой) единичной обыкновенной ренты мы обозначили а стандартной (простой) авансированной ренты s2j- Соответственно для текущих стоимостей этих рент использовались обозначения а2і ^а2ґ Это так называемые актуарные обозначения стоимостей рент, используемые преимущественно в актуарной математике. Актуарная математика представляет собой раздел финансовой математики, связанный с различными расчетами в страховании. к ним относятся так называемые тарифные расчеты или расчеты премий (взносов) по страховым и пенсионным контрактам. Математика рент (аннуитетов) является основой таких расчетов.

В чисто финансовой литературе для стоимостей рент используются более громоздкие обозначения — идентификаторы, образованные начальными буквами полных названий этих стоимостей. Так, множитель роста обыкновенной единичной ренты s^ обозначается FVlFA("-') (сокращение от future value interest factor for annuity). Аналогично дисконтный множитель единичной обыкновенной ренты а2; обозначается как PVIFA1" (сокращение от present value interest factor for annuity). Мы в дальнейшем будем использовать преимущественно актуарные обозначения.

Техника эквивалентных преобразований в теории рент. Применение алгебры финансовых потоков, т.е. правил преобразования и эквивалентности потоков платежей, позволило вывести соотношения между будущими и текущими*етоимостями обыкновенных и авансированных рент. Формулы для приведенных стоимостей рент были получены исходя непосредственно из определения.

Покажем, что, используя более тонким образом алгебру потоков, можно легко вывести и сами формулы для стоимостей рент.

Приводимая ниже техника позволяет легко доказывать многочисленные часто весьма нетривиальные соотношения между характеристиками различных рент. Кроме того, она часто проясняет лежащий в основе этих соотношений финансово-экономический смысл. Так, докажем заново формулу

 

Для этого рассмотрим финансовое событие (0, 1), представляющее единичный платеж в момент t = 0. Это финансовое событие эквивалентно относительно ставки / событию (1, I + /"). Применим правило преобразования

кк :(*,1)->(Л+1, 1+/). Событие (1, 1 + /) представим как сумму основной и процентной частей:

<1,1+0 = (U) + (U).

Применяя теперь упомянутое правило пк при к — 1 к основной части (1, 1), получим

(1,1)^(2,1+1).

Событие (2,1 + /) снова представим в виде суммы основной и процентной частей:

(2, 1+/) = (2, 1) + (2, /).

Тем самым исходное событие (0, I) преобразуем в эквивалентный поток

{(1,0,(2,0,(2,1)}. Применяя многократно правило

кк:{К !)->(*+1,1+0 и выделяя в преобразованном событии основную и процентную части:

(к+ 1, 1 + /) = (*+ 1, 1) + (Л+ 1,0,

за л шагов преобразуем исходный единичный платеж (0, 1) в поток, изображенный нарис. 12.4.

Этот поток есть сумма обык-/       /       /.../      ui   новенной л-срочной ренты с

]           ,           !           ,           ,           ,_    платежами, равными /, и еди-

о       і       2    ...   /7—1     п    ничным платежом в момент/— п.

Рис. 12.4

Иными словами, получили эквивалентность вида

{(0,1)}~(А,+{(«,1)}. (12.3)

Содержательный смысл этой эквивалентности весьма прост. Вложив в банк единичную сумму на срок п лет, можно получать ежегодно (в конце года) проценты величины /ив конце п-го года получить обратно вложенный единичный капитал. Формула (12.3) есть математическое выражение этого утверждения.

Рассмотрим теперь приведенные к моменту t~ п значения потоков из эквивалентности (12.3). Для левой части

 

 

для правой

л;({(о,і)})=і.(і+і)" =(і+/)

 

FV„(i„) = iFV„(,) = ^,

и

Приравнивая полученные значения, получим

 

(12.4)

или

(l + /)rt-l а"-

 

Аналогично, вычисляя приведенные к / = О значения потоков из эквивалентности (12.3), получим равенство

1 = /^+^ (12.5)

поскольку

РК0({(0,1)}) = 1, /\%({(и, 1)}) = 1 ■»"=»"

и

W„(/A„)=//'K0(A„) = ^,.. Из равенства (12.5) следует, что

1-і/"

а          _

лі/ i

Метод эквивалентных преобразований чрезвычайно полезен. С его помощью можно получать и доказывать важные и интересные свойства рент. Так, легко доказать следующие свойства:

 

^,=1+(1+')^=1+^; (12.7)

 

0Л,=ад,+^'=^; (12.9)

 

3»=1+D^; «зло)

 

(12.11)

S-i. От.

mi nli

Заметим, что речь идет не об аналитических прямых доказательствах этих равенств, получаемых подстановкой в (12.6) - (12.11) выражений

для ^і'^і и Т-Д- и последующей проверкой совпадения левой и правой частей. Каждому из этих равенств соответствует некоторая эквивалентность между специально выбранными потоками платежей (рентами).

Так, равенство (12.6) — частный случай правила переноса точки приведения

PVr+T(CF) = v~TPVr(CF), (12.12)

 

доказанного в предыдущей главе. В самом деле, положив

 

CF= А ;   г=0; Т=-п,

л'         ' '

согласно (12.12), получим

PV„(K)=fPK{K)

или

s~,-.=v "а-, ,

ли        л!( '

что дает (12.6), поскольку

и   = (1 + i)

Выпишем теперь эквивалентности, на основе которых легко доказываются соотношения (12.7) - (12.10).

Равенства (12.7) получаются из разложения

Ав+1 = А„ + {{и +1,1)} = АІ1' +{(л + 1а1)}, (12.13)

где А(^ — «-срочная авансированная рента с началом в t ~ 1, приведением его членов к точке t=n+ 1.

Равенство (12.8) получается с помощью приведения к/ = п разложения

А„,={(1,1-)} + А«. (12.14)

где А^ — /ї-срочная обыкновенная рента с началом в / = 1. Равенства (12.9), (12.10) получаются приведением (12.13) и (12.14) к/ = 0.

Наконец, последнее равенство (12.11) можно получить из пары эквивалентностей: уже упоминавшейся эквивалентности (12.3)

 

{(0,1)}~/А„+{(*,!)}

и эквивалентности

{(0,1)}:*А„,

где х = Уа^г Эти эквивалентности дают по свойству транзитивности эквивалентность

 

*А„~/А„ + {(«,!)}.

Находя приведенные к t ~ п значения этих потоков, получим

xsn, =isn +1,

ли п1

а деление на     обеих частей дает

. 1 х = м—

 

Поскольку х = уfljj]., то получаем требуемое равенство

1    . 1

— = /+—

а1. s1.

mi nti

Это равенство можно получить также, если разделить тождество (12.4) на      что дает

0+0" • і

п і       п і

Левая часть этого равенства, согласно (12.6), есть 1/., что снова дает требуемое соотношение.

На этом закончим обзор срочных и перейдем к анализу бессрочных рент.

Бессрочные ренты. Бессрочная обыкновенная стандартная единичная рента, которую мы будем обозначать через Ат, имеет моменты выплат вида

tk = k,  & є N

и постоянные платежи

 

Понятно, что о накопленной (будущей) стоимости такой ренты говорить нельзя. Однако вполне корректен вопрос о ее текущей стоимости

 

относительно нормированной ставки /.

Проще всего найти эту величину предельным переходом в формуле (12.1):

а , = Ііггш і - hm         = -,

 

поскольку

limy" = О,

 

так как при / > О 0<—<1.

Итак,

<bi = ^Aj=y. (12.15)

Символ ставки иногда опускают и пишут просто Если величина платежа бессрочной обыкновенной стандартной ренты равна С, то, очевидно, что текущая стоимость такой ренты

PV„{CA„) = CPVe{A_) = ^, (12.16)

т. е. в С раз больше.

Пример 12.5. Какую сумму должен внести вкладчик в банк, чтобы получать пожизненно ежегодно (в конце каждого года) M5Q0 при ставке банка 20\% годовых?

Решение, Поскольку речь идет о пожизненной ренте, то ее удобно считать практически бессрочной рентой. Тогда, согласно {12.15), величина взноса Sn будет равна текущей стоимости ренты:

*-||-2j00(9f).

-20

I-I i 71

ST = 500-

Заметим, что если оставшееся время жизни вкладчика принять, например, 20 годам, то реальная полученная им 20-летняя рента будет иметь текущую стоимость

.HL2L

0,2 '

которая отличается от модельной стоимости SQ на величину

 

^-^ = ^(1,2)-* = 2500(1,2)^=65^).

Таким образом, относительная погрешность замены S'6 на S0: S°~S» =(1,2)~™ = 0,026, т.е. примерно 2,6\%.

 

В общем случае замена п-срочной ренты на бессрочную дает относительную погрешность

с          °°lf       ml п

а-л

т. е. величину порядка v

Столь же прост и анализ бессрочной авансированной стандартной ренты. Обозначим А„ бессрочную авансированную единичную стандартную ренту. Тогда ее текущая стоимость

^, = ^.(A.) = PK0(A.,/)

на основании формулы (12.2)

 

й-,.=1іт^. = 1іт-          ^          U —= ±. (12.17)

 

Для авансированной бессрочной ренты с платежами, равными С, получим соответственно

PK0(CAJ = CPK0(AJ = C^.

 

Здесь наблюдается подмеченная выше закономерность:

а^. =(+i)a~[..

сої/      V         / oot(

Мы получили это соотношение непосредственно из сравнения формул (12.15) и (12.17). Но для его вывода можно было использовать уже упоминавшиеся правила преобразования и эквивалентности потоков платежей. Так, тіеренос точки приведения на шаг вперед для единичной обыкновенной ренты дает текущее значение уже авансированной ренты: ,

 

и поскольку

^(а.) = (1+»)^.(а.),

получаем требуемое соотношение.

Заметим, что указанные правила позволяют легко получить формулы текущей стоимости ренты без предельного перехода. В самом деле, бессрочную обыкновенную единичную ренту с началом в t = 0 можно представить в виде

а_={(1,1)}+а<?,

где A(f — единичная обыкновенная бессрочная рента с началом в t = 1. Напомним, что элемент (1,1) в фигурных скобках есть событие, означающее, что первый платеж С — 1 исходной ренты осуществлен в момент / = 1. Тогда, вычисляя приведенные стоимости обеих частей данного равенства относительно точки t= 1, получим

/»к(а!?)=і+/^(а!?),

и поскольку, с одной стороны,

^(aL01)=(i+/)/'k0(a1»')=(i+<K.,

а с другой — то получим уравнение для ^(.: решая которое, найдем

I

 

Процентные и учетные ставки в выражениях стоимости рент. Хотя выше мы и приводили формулы для стоимостей рент, выраженные с помощью учетной ставки, в основном все же работали с процентной ставкой. Однако формулы для стоимостей авансированных рент получаются более простыми, если использовать именно учетную, а не процентную ставку

Рассмотрим вопрос более подробно. Выразим сначала все основные формулы для рент в терминах учетной ставки. Напомним, что процентная и учетная ставки за единичный период связаны соотношением

 

(1 +/)(1 - d)=.

Поскольку

d

-d'

то, подставляя это выражение для /' в формулы для стоимостей рент, получим

 

mi        A        J'nli      j »

 

-d   .. 1 =l,    d      =l, d

 

Примері 2.6. Пусть*/— нормированная учетная ставка, равная 20\% годовых. Найти:

а)         накопленную и текущую стоимости пятилетней авансированной ренты с годовы-

ми платежами по .#200;

б)         текущую стоимость бессрочной авансированной ренты с платежами по ;^?500 ежегодно.

Решение.

а) Поскольку в этом случае п = 5, d — 0,2, С - .^?200, то

 

о-1-0,2 = 0,8, а = - = —= 1,25

v 0,8

и, следовательно, накопленная стоимость ренты

 

а текущая стоимость

б) Текущая стоимость вечной ренты

= 672,32(>)-

Сравнивая формулы стоимостей рент, выраженные через процентную и учетную ставки соответственно, можно сделать вывод, что если в формулах стоимостей, выраженных через процентную ставку, проще выглядели формулы для обыкновенных рент, то для формул, выраженных через учетную ставку, проще выглядят формулы для авансированных рент. 4

Как объяснялось в гл. 2, учетная ставка связана с авансированием процентов, т.е. их отнесением на начало периода начисления, тогда как процентная ставка связана с финализацией процентов, т.е. отнесением их наконец периода. Именно поэтому для обыкновенных рент, в которых рентные платежи относятся на концы рентных периодов, более естественно использование процентной ставки, тогда как для авансированных рент с платежами в начале рентных периодов более естественно использование учетной ставки.

Стандартные ренты с произвольными ставками. Выше, в анализе стандартных рент, т.е. рент с единичными (в заданной временной шкале) периодами между платежами, при выводе формул для стоимостей рент использовались нормированные ставки за период ренты и соответствующие им коэффициенты роста и дисконтирования. Таким образом, периоды ставок (процентной или учетной) также являлись единичными и, следовательно, совпадали с периодом самих рент. (Как уже говорилось, ренты с таким свойством принято называть простыми.) Укажем теперь, как можно получить выражения для стоимостей рент в случае задания произвольной ставки, т.е. ставки с любым периодом начисления или кратностью.

Принцип вывода формул для стоимостей рент прост. Необходимо сначала выразить через заданную ставку эквивалентную ей нормированную эффективную ставку, а затем подставить в соответствующую формулу стоимости стандартной ренты вместо нормированной ставки полученное выражение для эффективной ставки. Мы не будем выписывать всевозможные формулы, которые могут быть получены таким образом, их много, а самое главное, в этом нет никакой необходимости, если ясен принцип (алгоритм) их получения. Проиллюстрируем его в некоторых наиболее типичных случаях.

Пусть ih — ставка начисления с периодом п. Тогда соответствующая эффективная нормированная ставка

Подпись:
Подставляя это выражение, например, в формулу для ^. получим

Замечание, В полученной формуле есть некоторая несогласованность обозначений. Так, будущая стоимость ренты обозначена     но в ее выражении справа параметра

/' нет, а есть другие параметры — И и /А. Конечно, можно было бы, как это делается в некоторых книгах, вместо ^. писать •їд^- С теоретической точки зрения это можно

было бы считать корректным обозначением, поскольку и срок я, и период А, и ставка ik заданы в выбраннбй временной шкале, в которой представлена рента. Напомним, что речь идет о стандартных рентах, в которых период ренты совпадает с единичным периодом временнбй шкалы. Однако такая корректная символьная запись становится двусмысленной при подстановке конкретных числовых значений. В самом деле, что обозначает для годовой шкалы запись      : стоимость 10-летней единичной ренты для

эффективной годовой ставки 10\% или же стоимость 10-летней единичной ренты для месячной ставки начисления 10\%. Наконец, в самом обозначении нет упоминания о конкретной шкале (годовая, месячная и т.д.), так что эту же запись можно было бы использовать и для 10-месячной единичной ренты и месячной ставки 10\%.

Для разрешения этой коллизии можно было бы вводить дополнительные метки в обозначение ренты. Однако это привело бы к излишнему усложнению записи. Поэтому ниже полное обозначение стоимости ренты, т.е. одновременное указание и срока, и ставки, будем использовать только для простых рент, когда период ренты и период начисления ставки совпадают.

В общем же случае, чтобы не загромождать запись дополнительными индексами и метками, будем использовать сокращенное обозначение для стоимости, указывая только срок для выбранной шкапы, в которой представлена рента, т.е. будем писать

5й1'0л1 итп' подразумевая остальные параметры. При этом из конкретного вида выражения будет очевиден смысл и способ привязки к выбранной шкале этих параметров. В частности, из этого соглашения следует, что полную запись      мы уже должны

трактовать не так, как было сказано раньше, т.е. не как стоимость ренты сроком п (в заданной шкале) со ставкой начисления ih с периодом начисления Л, заданным в этой шкале, а как стоимость простой ренты, в которой срок п указан в периодах начисления А,

Пример 12.7. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с годовыми платежами по 1>?300. Найти накопленную и текущую стоимости этой ренты для квартальной ставки 10\%.

Решение. В годовой шкале, согласно условиям примера, имеем

„ = 5; h=~; /А=0,1; С = :Ю00.

 

Для вычисления накопленной стоимости Jrj| можно применить приведенную выше формулу. Однако проще сразу найти соответствующую годовую эффективную ставку и работать непосредственно с ней. Очевидно, что

/ = (1 +0,1)4- 1 = (1,1)4- 1 =0,4641, и, следовательно, накопленная стоимость

300

300^=

"(l,464l)5-l]_

0,4641

 

3702,33{.#),

а текущая стоимость

 

300^=-

300

1 -(1,4641)"

0,4641

J = 550,33(#).

Если задана номинальная ставка /(т) с кратностью начисления т, то поскольку соответствующая эффективная ставка

V

 

/ =

( ^ 1+—

т )

 

-1,

то, например, формула для     преобразуется следующим образом;

 

а

1-

_ v

1 +

 

т )

 

1+—

1

V    т J

Пример 12.8. Пусть для ренты из предыдущего примера задана ставка /(2) = 40\% годовых, начисляемых по полугодиям. Найти будущую (накопленную) и текущую стоимости ренты.

Решение. Поскольку i{2) = 0,4, то соответствующая годовая эффективная ставка

(    0 4Y /= 1 +       -1=1,44 = 0,44.

V     2 J

Следовательно, накопленная стоимость ренты

 

300^ = ■

300

[Mf-l]

0,44

 

= 3539,82 Ш),

 

а текущая стоимость

 

3(ХЦ=

300

1-0,44)"

0,44

 

= 571,70(#).

Для непрерывно начисляемой (бесконечнократной) ставки /' соответствующая эффективная ставка равна

Следовательно, формула текущей стоимости, например, для единичной вечной ренты будет иметь вид

1

«і

еу-1

Напомним, что непрерывно начисляемая ставка j совпадает с интенсивностью процентного роста (силой процентов) S, о которой говорилось в гл. 9.

П р и м е р 12.9. Найти текущую стоимость обыкновенной вечной ренты с ежегодными платежами по >?200 при непрерывно начисляемой годовой ставке^' = 20\%. Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка

;^ej_ [ =e(U- 1 -0,2214,

= 903,33(.#).

и, следовательно, текущая стоимость ренты

200

200а-, =

3 0,2214

d = -

Точно так же поступаем и в случае задания учетной, а не процентной ставки. Так, для /м-кратно учитываемой ставки Фт) имеем

 

1-—

т J

и, следовательно, формула для текущей стоимости авансированной ренты будет иметь вид

 

т J

 

т )

Пример 12.10. Рассмотрим 5-летнюю ренту с ежегодными платежами по .-#300 в начале каждого года. Найти накопленную и текущую стоимости ренты, если задана учетная ставка d- = 40\% годовых, учитываемая дважды в году.

Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка

d = - 1-

t[1)

= 1-(0,8)2=0,36.

 

Следовательно, накопленная стоимость ренты

            ^ = 6927,69И),

0,36

а текущая стоимость

300li^^lL = 743 85(.\%).

0,36     1 ;

Если 5— номинальная непрерывно учитываемая учетная ставка, то

d= 1-е-*

и, в частности, формула для текущей стоимости вечной авансированной ренты будет иметь вид

1

1-е"

 

' Пример 12.11. Найти текущую стоимость бессрочной авансированной ренты, выплачивающей по .'#200 ежегодно при непрерывно учитываемой номинальной ставке 8 = 20\% годовых.

Решение. Эффективная годовая учетная ставка

d= 1 „е-*= 1 _ е-°2 -0,1813, и, следовательно, текущая стоимость составит

_М- = поз,ззИ).

0,1813 v 1

Вернемся (в силу важности вопроса) к замечанию, сделанному по поводу обозначений стоимости рент. Мы подчеркнули, что полные обозначения стоимости рент (с одновременным указанием срока и ставки) будем использовать только для простых рент. Под ними, как уже говорили, в большинстве руководств по финансовой математике понимают ренты, в которых периоды ренты и начисления совпадают и, как правило, являются единичными, т.е. совпадающими с базовым периодом временной шкалы. Второе условие менее существенно, тогда как первое безусловно упрощает получение формул для стоимостей рент.

Так, выбрав период ренты в качестве единичного, мы сразу превращаем такую ренту в стандартную и, кроме того, соответствующая ставка становится нормированной. В этом случае можно применять все формулы для стандартных рент, полученные в данном параграфе.

Строго говоря, для непосредственного использования формул стоимостей стандартных рент выбор периода ренты в качестве единичного не обязателен. Однако в этом случае следует отчетливо понимать, какой смысл вкладывается в обозначения параметров ренты. Для стандартной ренты срок п является числом единичных периодов, например число лет для годовой шкалы, а/ — соответствующая нормированная, например годовая ставка. Таким образом, эти параметры согласованы.

Если период ренты совпадает с периодом начисления h заданной процентной ставки / то срок ренты п должен выражать целое число ее

 

29-5169

периодов. Во временнбй шкале срок ренты будет, естественно, равен nh. Так, для квартальной ренты сроком п — 20 кварталам срок в годовой шкале составит 5 лет, поскольку h — 1/4 года. В этом случае также можно считать эти параметры согласованными и пользоваться формулами для стандартных рент и писать

 

где ah — 1 + ih и vh = i/ah — коэффициенты роста и дисконтирования для периода И.

Подчеркнем отличие последних формул от аналогичных формул для стандартных рент с заданной ненормированной ставкой ih. Так, мы получили для накопленной стоимости формулу

 

Различие состоит прежде всего в том, что в обозначениях параметры п и ih согласованы, поскольку л — срок ренты в ее периодах,

равных h; ставка ih имеет также период п. В последней формуле для ^

срок п задан в единицах временнбй шкалы, а ставка ih относится к периоду начисления Нф I. Таким образом, п и ih в этом случае не согласованы. Именно поэтому мы не стали указывать ставку ih в выражении

> так как запись без пояснений двусмысленна, хотя ею можно пользоваться, если четко указан смысл употребляемых параметров.

С другой стороны, для стандартных рент вполне корректны обозначения s^mt или Ог^р поскольку i{m] и j(j — /(о°)) — номинальные

нормированные ставки. Они относятся к единичному промежутку временнбй шкалы. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 12.12. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с ежемесячными платежами по .??100. Пусть задана месячная ставка, равная 10\%. Найти накопленную стоимость ренты. Чему будет равна стоимость ренты, если вместо месячных платежей в конце года выплачивается годовая сумма всех ежемесячных выплат при той же ставке?

Решение, В первом случае, считая базовым периодом месяц, для месячной шкалы получим

if = 5-12 = 60;   /=(А = 0,1;   С- #100. Следовательно, накопленная стоимость ренты

100^, = 100^ +      ~1 = 30348

 

Во втором случае имеем обыкновенную стандартную относительно годовой шкалы 5-летнюю ренту (и = 5) с ежегодными платежами

С = 12-100= 1200

и месячной ставкой ih = 0,1, h =    Соответствующая эффективная годовая ставка

/, = (1 +0,1)12-1 =2,1384

и, следовательно, накопленная стоимость

(1 + /')5-1

1200-Ї U.        =170303,95(^f)

 

Как видно из примера, в случае согласованности, т.е. совпадения периодов ренты и ставки начисления, можно непосредственно пользоваться формулами для стандартных рент (считая единичным периодом временнбй шкалы период ренты), в случае же их несогласованности необходима предварительная процедура их согласования. Одна из них, изложенная в этом параграфе, состоит в приведении ставки к периоду ренты, т.е. нахождении эквивалентной для исходной ставки с периодом начисления, совпадающим с периодом ренты. Для стандартных рент с нормированным рентным периодом эта процедура заключается в нахождении эффективной ставки, соответствующей исходной ставке.

Наше изучение стандартных рент закончим анализом отложенных (отсроченных) рент.

Отложенные ренты. Отложенная рента отличается от немедленной тем, что первый платеж относится к более позднему, чем первый, периоду времени. Будем считать, что отложенная рента имеет т + п периодов, причем платежи осуществляются в п последних периодах. Таким образом, поток платежей второго рода, представляющий отложенную ренту, имеет вид, изображенный на рис. 12.5.

Заметим, что началом отложенной ренты считается момент /0, а не tm_v являющийся началом периода, к которому относится первый

С

            1          1          j           1          1          1          1          1          1         

 

0      1      2 ■   •   -т    т+1  т+2 ■  - • т+л-1 т+п

Рис. 12.5 платеж ренты. Как и в случае немедленных рент, в обыкновенной (постнумерандо) отложенной ренте платежи приходятся на концы, а для авансированной (пренумерандо) — на начала платежных периодов. Полный срок отложенной ренты равен w+ п периодов или (т + ri)h — в выбранной шкале. Продолжительность платежного срока равна п периодов или nh по временнбй шкале.

Таким образом, отложенная обыкновенная рента характеризуется следующими параметрами:

tQ — начало ренты;

h — период ренты;

т0 = tm_x — tQ + (т - )h — начало первого платежного периода; тх = tQ + mh — момент первого платежа;

tn = т0 + nh = /0 + (m + n)h — момент последнего платежа и конец ренты;

п — число платежей ренты;

С = Ch — величина платежа за период ренты.

Аналогичным образом авансированная (пренумерандо) отложенная рента имеет следующие параметры: tQ — начало ренты; h — период ренты;

т0 = tQ + (m — )h — начало первого платежного периода и момент первого платежа;

'„-і ~ т0 + (m + п — 1 )Л — дата последнего платежа; С — величина платежа за период ренты; п — число платежей ренты.

Для простоты ниже рассмотрим лишь такие стандартные (h = 1) ренты, начало которых совпадает с началом временнбй шкалы, т.е. tQ = 0.

Обозначим единичную (С = 1) отложенную на т периодов обыкновенную ренту с п платежами через т|А„ (рис. 12.6 а), а единичную отложенную на т периодов авансированную с п платежами ренту через т|А„ (рис. 12.6 6).

Пусть по-прежнему Ап — стандартная немедленная обыкновенная; Ап — авансированная ренты. Тогда очевидны следующие соотноше-

ния:

111 111

4   ■ -—Н       1          —I      1          1          Ь—:—Н          Ь

т    т+1  т+п-1 т+п      0      1       т    т+1  я?+п-1 т+п

а 6 Рис. 12.6

т Ап — Lm (Ап);

 

где Lm — оператор сдвига на т шагов (в данном случае периодов ренты). Если / — ставка за (единичный) период, то из этих соотношений следуют равенства

>Л = ^МЛА„.) = и"ЯК0(А„Н"^; (12.18)

 

j^( = w.(.|a.) = o"/>K,(a.) = o-^„ (12.19)

 

где та^ и та^. — текущие стоимости отложенной обыкновенной

и авансированной рент соответственно.

Если под накопленными (будущими) стоимостями отложенных рент понимать их значения, относящиеся к концу ренты, т.е. к моменту /   , то очевидно, что 1

к = ^-(-|аЯ()=л'.(а.)=^;

\%, = ^».(-|aa()=fV,(a,) = ^.

Между стоимостями отложенных рент имеют место те же соотношения, что и между стоимостями немедленных рент. В частности,

„ ап. = ( + i)ma-,..

Полученные соотношения относятся к единичным рентам, т.е. рентам с единичными (в некоторой денежной шкале) платежами. Если фактические платежи составляли С денежных единиц (рублей, долларов и т.д.), то стоимость такой ренты точно в С раз больше, чем стоимость соответствующей единичной ренты. Так, для отложенной на т периодов обыкновенной ренты с п платежами, равными С за период, ее текущая (относительно начала) стоимость будет равна С-т

Пример 12.13. Вкладчик заключает с банком контракт, согласно которому в обмен на немедленный в t= 0 взнос, банк обязуется выплачивать вкладчику ежегодно в течение 10 лет ;#10 ООО, начиная с 5-го года после заключения контракта. Найти величину взноса, если ставка банка по депозитам равна 20\% годовых.

Решение. В этом примере рента, выплачиваемая банком, представляет собой отложенную авансированную ренту с параметрами т = 5, п - 10 и С = Л'10 ООО. Взнос будет равен текущей стоимости такой ренты относительно ставки / = 20\% годовых. Следовательно, согласно формуле (12.19) получаем, что вклад

=Ю000-5|ЙШ()2 =10000(1 +0,2)-5 яШ()2 =10000(1,2)"'"^ =20218,33(.^)-

Отметим еще один способ вычисления стоимостей отложенных рент. Он основан на представлении отложенных рент в виде разности двух немедленных. В самом деле, для единичных рент очевидно

 

А =А -А

т     п   m-гл т

И

А = А    - А

В силу линейности оператора текущей стоимости получаем, например, или

й дс    _0 (12.20)

Аналогично

J^l=ifel-^1- (12-21) Здесь и ниже, как мы уже условились, используются сокращенные

(без указания ставки /) обозначения стоимостей рент.

Непосредственное доказательство равенств (12.20) и (12.21) также

вполне очевидно. Так, преобразуя правую часть равенства (12.20),

получим

l~vm+n   l-vm     ml-v" т

а—і -а-^          -и         -V яп.

т+т      т          j           •           • и|

 

Последнее выражение в этой цепочке равенств совпадает с ранее полученной формулой (12.18) для выражения текущей стоимости отложенной обыкновенной единичной ренты.

 

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты

Выше мы рассмотрели лишь стандартные ренты, у которых период ренты совпадал с базовым промежутком временной шкалы, так что каждому единичному временному промежутку соответствовал единственный платеж ренты. При этом в выражениях для стоимостей рент (см. § 12.1) процентная ставка / была согласована с периодом ренты. Эта ставка являлась фактической (эффективной) ставкой за период ренты. Перейдем теперь к изучению рент, в которых период между отдельными платежами может не совпадать ни с базовым промежутком вре-меннбй шкалы, ни с периодом начисления процентов. Ренты такого вида в учебниках по финансовой математике иногда называют общими рентами. В этом параграфе рассмотрим лишь постоянные ренты такого вида, т.е. нестандартные ренты с одинаковыми периодическими платежами. Хотя получающиеся в этом случае формулы для стоимостей рент имеют более громоздкий вид, схема их вывода чрезвычайно проста и сводится, по существу, к эквивалентному преобразованию исходной ренты к некоторой (простой) стандартной ренте.

Основное отличие нестандартных рент от стандартных заключается в том, что период между платежами ренты может быть меньше или больше базового периода временной шкалы. Так, за один базовый период могут осуществлятьсяр платежей ренты (р-кратные ренты, если р > 1). Двойственным является случай, когда период между платежами больше базового периода. Платежи по ренте могут осуществляться один раз за несколько лет. С формальной точки зрения нет никакой разницы между анализом этих случаев.

Проводимый ниже анализ будет интерпретироваться в основном для случая кратной реУітьі (р>1), но получаемые формулы будут справедливы во всех случаях.

Дополнительное различие между проведенным выше анализом стандартных рент и общим случаем заключается в произвольном способе задания процентной ставки, которая, как это принято, непосредственно привязывается к базовому периоду временной шкалы, т.е. это нормированная (например, годовая) номинальная либо эффективная ставка. Естественно, период начисления, связанный с номинальной ставкой, может быть никак не связан с периодом платежей ренты. Заметим, что, как это принято в финансовой литературе, к единичному периоду привязывается и величина выплат по ренте.

Итак, /7-кратная (немедленная) рента для выбранной временной (например, годовой) шкалы задается следующими параметрами:

/г-период ренты или кратностьр (т.е. число платежей за единичный период, например за год), причем очевидно, чтор -

/0 = г0 — начало ренты;

tn — конец ренты;

п — срок ренты в единицах временной шкалы (например, в годах);

С — общая сумма платежей за единичный период.

Таким образом, все параметры ренты выражаются в терминах временной шкалы. Так, если шкала — годовая, то указывается период ренты в годах или число платежей ренты за год, срок в годах и общая сумма выплат за год. Ниже будем считать параметры р, п целыми числами, а начало ренты выберем нулевым: / = 0.

 

 

 

Если не учитывать микроструктуру ренты, а лишь суммарные платежи С за единичный промежуток, то поток платежей по такой ренте представляет собой поток 2-го рода. Но поскольку за каждый единичный промежуток в случаер-кратной ренты осуществляетсяр платежей, то каждый макропериод Jk имеет микроструктуру, представленную микрорентой. Эта микрорента является обыкновенной либо авансированной рентой с периодом /р, платежом С/р и сроком р. Так, микроструктура платежей Jk за к-й период времени для ренты имеет вид, изображенный на рис. 12.7.

 

с/р     ар с/р

            (           1          1          L_J      ,           ,          

к-     к-ПМр к-]+2/р  /г-1+(р-1)/р к

 

Рис. 12.7

 

Можно считать, чтор-кратная (р > 1) рента получается операцией р-кратного дробления (см. § 1.2) стандартной ренты. В частности, для единичных стандартных рент Ап и Ая соответствующие единичные р-

кратные ренты Ajf^ и А^ имеют вид

 

а« = Д">а,; Aip) = />WA„.

Читателю следует обратиться к § 1.2, где подробно описана операция дробления рент и приведены соответствующие примеры.

Обыкновенную единичную микроренту за k-Pi единичный временной период обозначим через Ак Соответствующую этому периоду авансированную единичную ренту обозначим через Ак . Таким образом, полная единичная/j-кратная рента представится суммой

Alr)=l(Alfi(+A2i, + ...+AlfiJ() (12.22) в случае ее интерпретации как обыкновенной ренты либо суммой

 

для авансированной ренты.

Важно понимать, что в соответствии с нашим описанием единичной /j-кратной рентой является рента, у которой С= 1, т.е. единице равна полная сумма выплат за единичный период, а не величина каждой отдельной выплаты. В случае годовой шкалы единичная 2-кратная обыкновенная

і

 

рента предусматривает выплату единичной суммы за год, что подразумевает выплату 1/2 денежной единицы в конце каждого полугодия.

Нарис. 12.8а изображена/?-кратная обыкновенная, а на рис. 12.8 б — авансированная единичные ренты.

Определив понятие (немедленной) /7-кратной ренты относительно

 

1/р  1/р    1/р 1/р    1/р  1/р   J/p  1/р  1/р    1/р  1/р 1/р

-*—і—і; ; ; і—і. ; j      1— ■+—і—г ; ; і        1; ; . і—i—

0    1/p   2/p      1   1+1/p л-1/р   n       0    Up   Zip      1        n-Up n

а б Рис. 12.8

 

выбранной временной шкалы, можно перейти к нахождению их эквивалентных значений или накопленной и текущей стоимостей. Для того чтобы сделать это, необходимо задать процентную ставку. Как известно, ставку можно задавать тремя способами в виде:

нормированной (эффективной) ставки / за единичный период;

номинальной ставки i(r}, начисляемой г раз за базовый период временной шкалы;

номинальной непрерывно начисляемой ставки (интенсивности или силы процентов) 6,

Эти ставки связаны соотношениями

( i{r) У

 

В предыдущем параграфе получены выражения для стоимостей стандартных рент при условии, что период начисления процентов со ставкой / совпадает с периодом ренты. Общую ренту можно всегда рассматривать как стандартную, в которой единичный период временной шкалы будет совпадать с периодом ренты. В этой новой шкале срок ренты (с периодом 1//7 в старой шкале) будет равен N = np,a платеж за период — С/р, если С — платеж исходной ренты. Таким образом, все, что осталось — это найти ставку за период Л = 1 /р ренты, эквивалентную исходной нормированной ставке. Если исходная ставка была нормированная ставка /, то эквивалентной ставкой за период ренты будет ставка

=(1 + 0* -1=/„ = 0+ /)""-!.

Если же задаваемой ставкой была номинальная ставка ііг) с г-кратным начислением, то эквивалентная ставка за период h (с учетом предыдущего равенства) имеет вид

(       ,<г)

1+

rh

 

-1 =

1 +

-i.

Г J

V

г )

Наконец, для интенсивности роста S

ih = e*k- = eefp-. Соответственно коэффициент роста за период h

ЛІР

fl*=i+'*=(1+/) =0+0

Подпись: 1 +
Подпись: ( /И ЛІР і+—
V    г )
в первом,

 

во втором и

rh

Г )

 

ah=z5h=e5lp

в третьем случаях.

Выразив ставку ih за период ренты А. через исходную заданную ставку, получим, по существу, простую ренту, период которой совпадает с периодом ставки ік. Для таких рент можно непосредственно использовать формулы стоимостей стандартных рент, если пользоваться шкалой, в которой базовым является период самой ренты.

Стоимости/>-кратных рент (метод преобразования ставки). Получим теперь формулы для текущих стоимостей единичных /?-кратных рент.

Так, обозначая через накопленную стоимость обыкновенной единичной р-кратной ренты, запишем следующее равенство:

1

1

J»__5 =_s ^    р р

 

(12.23)

где h =1/р — период ренты. Раскрывая правую часть этого равенства, в случае эффективной (нормированной) ставки / получим

ЛІГ

(,)_1(1нг-1   1(1 + /)'-! р     /„        p(l + ifp-

 

(12.24)

 

в случае номинальной ставки і(г)

 

1

(     -И у!р

1

(г) V*'

г )

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |