Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

1.1. временная и денежная шкалы

Временная шкала. Как уже было отмечено, время — один из важнейших факторов в финансовых операциях и сделках. Для временной локализации денежных сумм необходимо указание временной шкалы, т.е. способа выделения отдельных моментов времени. Под временной шкалой' понимается система временных координат, задание которых сводится к указанию:

начала отсчета, т.е. начального момента времени, по отношению к которому задаются все остальные моменты времени;

единицы измерения, т.е. базового промежутка или единичного периода, служащего для измерения длительности временных промежутков.

В экономике это обычно год, но может быть выбран любой другой промежуток: полугодие, квартал, месяц, неделя, день или даже час.

Выбор начала отсчета и базового (единичного) промежутка временной шкалы определяется, конечно, конкретными условиями, и они

2-5169 і        • -     ас-ї'ілі'а !ЛСТ»ЇТУт

выбираются из соображений удобства, простоты и т.п. В принципе они могут быть произвольными. Временная шкала допускает наглядное представление в виде «линии времени», т.е. прямой линии с отмеченной начальной точкой и отмеченными моментами времени, связанными с базовым промежутком.

-3 -2-10 1

—і       1          1          *          1-

2   3     На временной шкале (рис. 1.1)

Рис. 1.1

, , , точка 0 соответствует начальному моменту времени. Обычно она интерпретируется как текущий (настоящий) момент, т.е. сейчас. Точка с координатой 1 соответствует концу базового промежутка с началом в точке 0. Так, если базовый промежуток — год, то это момент времени год спустя; далее идут: конец второго периода, третьего и т.д., т.е. для годового базового промежутка это конец второго, третьего и т.д. годов. Точки с координатами — 1, —2, -3 и т.д. соответствуют предыдущим, т.е. прошлым (по отношению к началу), моментам времени. Так, точка —2 соответствует началу позапрошлого года.

Шкалу, состоящую из дискретного набора моментов времени, называют дискретной. Выбрав базовый период и начало шкалы, ее можно отождествить с множеством целых чисел Z. Во многих случаях модели финансовых процессов рассматриваются непосредственно в дискретной шкале.

На рис. 1.1 отмечены лишь моменты времени, соответствующие целым кратным базового периода. Можно, конечно, рассматривать и промежуточные моменты времени, например год и 2 недели, для годового базового промежутка. Поскольку время обладает свойством непрерывности, то временная шкала также является непрерывной, т.е. моменты времени, точнее их координаты, могут представляться любыми вещественными (действительными) числами.

Заметим, что хотя в теории финансов обычно используется непрерывная шкала времени, на практике обычно ограничиваются дискретной шкалой, связанной с естественными календарными промежутками (см. § 1.4), например годами, месяцами и т.п.

Временную шкалу обозначим символом Т, а отдельные моменты времени буквой гили буквой с индексами    /2,„. и т.д. (рис. 1.2).

Любые два момента времени t t

            1          —і                   обладают определенным взаимным рас-

f           х          положением. Если момент t{ предше-

рис. 1.2           ствует моменту    то этот факт матема-

тически выражается неравенством г, < tr В противном случае / следует за t2 или совпадает с ним. Это равносильно неравенству t > t.

Любые два различных момента г, t определяют промежуток (отрезок, интервал) времени с концами, соответствующими этим моментам (см. рис. 1.2). Дайна промежутка Г определяется координатами концов: T~ 2 — rj. Здесь — модуль (абсолютная величина) числа а. В случае, когда /j < tv длина Г промежутка с концами в /, и г2 равна Т~ /2 — г,.

В математике рассматривают промежутки различных типов в зависимости оттого, включаются или нет его концы в этот промежуток. Традиционные обозначения [гр /2], (/,,/,), [tp /2), (tp t2] хорошо известны. Первые два промежутка называются соответственно отрезком и интервалом.

В дальнейшем при построении математических моделей финансовых сделок, операций, процессов и т.д. будем фиксировать выбранную временную шкалу. На практике это обычно годовая шкала, конкретная реализация которой зависит от выбранных временных правил (см. § 1.6). Но основные характеристики изучаемых финансовых моделей не будут зависеть от выбора той или иной шкалы. Часто в практических вопросах приходится переходить от одной временной шкалы к другой, например от годовой к месячной, квартальной или наоборот. При этом возникает вопрос о соотношении (связи) временных координат этих шкал.

Пусть, например, Т и Т' две шкалы, временные координаты которых обозначим через і и /'соответственно. Пусть начало отсчета шкалы Т' имеет координату т0 в шкале Т, а длина базового периода шкалы V имеет длину к в единицах шкапы Т. Тогда между координатами f и Ґ этих шкал существует простое соотношение

 

t = T{]+kf. (1)

В частности, если начала отсчетов обеих шкал совпадают, то т = О и, следовательно, получим

ї=кҐ. (2) Например, если / — координата годовой, а Ґ — координата месячной шкалы, то к = 1/12 и, значит, при совпадении начал отсчетов получим хорошо известное равенство

/'

f      _. мес гол - 12 •

Наконец, длины Г и Г'любого промежутка в шкалах Т и ^соответственно связаны как

 

Т = кГ. (3)

Денежная шкала. В .финансовой теории и практике приходится постоянно говорить о различных денежных суммах или о стоимости, цене финансовых активов. Эти величины измеряются в определенных денежных единицах. Задание фиксированной денежной единицы определяет денежную шкалу. Денежная единица — основной элемент национальной денежной системы. Так, можно говорить о таких единицах, как рубль, доллар, немецкая марка и т.п. Конкретное значение денежной суммы, стоимости, цены представляется числом относительно данной денежной единицы. В этом смысле можно говорить о 500 тыс. руб. (500 000) или 1 тыс. долл. ($1000) и т.д.

Значения денежных сумм — также своеобразные «денежные координаты». Однако денежная шкала отличается от временной двумя особенностями. Во-первых, денежная шкала по определению дискретна, поскольку каждая денежная система предполагает минимальную денежную единицу, доли которой не имеют естественного значения; во-вторых, сама по себе денежная шкала предполагает лишь положительные значения. Сумма, выраженная отрицательными числами, не имеет непосредственного значения. Однако в описании различных финансовых сделок денежные суммы играют разную роль по отношению к различным участникам сделки. Так, то, что для одного — доход, для другого — расход; один дает, а другой берет деньги в долг, один покупает, а другой продает и т.д. Для выражения этого обстоятельства на практике используют и отрицательные значения для сумм, стоимостей и т.п. Обычно в ситуациях, рассматриваемых по отношению к одной из сторон, участвующих в сделке, эти отрицательные значения трактуются как расход, долг, уменьшение фондов, покупки и т.п. Конечно, все определяется конкретными условиями и способом описания сделки. Хотя, в принципе, можно было бы обойтись и без отрицательных значений для сумм, их использование существенно упрощает описание финансовых операций. Денежную шкалу будем отмечать символом М.

Замечание. Различие по поводу дискретности денежной и непрерывности временной шкалы не стоит абсолютизировать. С одной стороны, на практике .моменты времени и промежутки измеряются лишь с определенной точностью, скажем, до дня или неясли. Иногда, когда речь идет о таком очень динамичном рынке, как рынок валюты или биржевой рынок акций, могут играть роль и минуты, и даже доли минут. Нов любом случае обычно имеется естественный предел в длительности реально значимых промежутков времени, и меньшие промежутки просто игнорируются, так что в этом смысле временная шкала практически дискретна, и все моменты и промежутки при выборе подходящей единицы времени могут считаться целочисленными (целое число минут, дней и или. С другой стороны, денежную шкалу можно рассматривать практически непрерывной, если в качестве единицы взять «достаточно большую» величину. Так, сумма в М 2,1.356 бессмысленна, однако ее числовое значение становится осмысленным, если в качестве единицы взять 1 млрд руб.

В выборе денежной шкалы учитываются два обстоятельства. При описании финансовых сделок, контрактов и т.п. внутри данной страны, т.е. в рамках национальной денежной системы, произвол сводится к выбору единицы денежной шкалы. При этом переход от одной единицы к другой (например, от рубля к копейкам, от долларов к центам и т.п.) сводится к умножению исходной денежной суммы на некоторую константу. Более того, если е и е' — две базисные денежные единицы денежной шкалы и

е = /е',

то для любой денежной суммы, выражающейся значениями т и /и'в этих базисах соответственно, справедливо соотношение

те = те

или

т'е' = т!е

откуда

т - ml.

Например, при переходе от рублей к копейкам имеем базисное соотношение

м = оо коп.,

и переход от рублей к копейкам означает умножение суммы в рублях на 100.

Другой вид преобразования денежных сумм, связанный с выбором денежной шкалы, имеет место в мультивалютных сделках. Так, в экспортно-импортных операциях постоянно приходится переходить от сумм, выраженных в национальных денежных единицах, к «эквивалентным» суммам, выраженным в иностранной валюте, и обратно. Существенное отличие этого случая от рассмотренного выше заключается в отсутствии фиксированного (т.е. не зависящего от времени) соотношения между единицами различных валют. Это наиболее типичная ситуация. В некоторых случаях такие соотношения (обменные курсы) могут фиксироваться на государственном уровне специальными соглашениями, но даже в таких случаях, как правило, существует свободный рынок этих валют, на котором устанавливаются ихрыноч-ные курсы, причем последние могут существенно отличаться от установленных.

В общем случае задача о переходе от одной денежной шкалы М к другой шкале М' решается в принципе так же, как и выше, различие состоит лишь в том, что коэффициент перехода /в базисном соотношении

 

е = /е'

зависит от времени: / = l(t) = lr т.е.

е = /,е'.

Коэффициент /, представляющий стоимость единицы е шкалы М в единицах е' шкалы М' в момент /, называется (текущим) обменным курсом (exchange rate) валюты е или котировкой валюты е относительно валюты е'. Если е' — единица национальной валюты, а е — единица иностранной валюты, то такая котировка называется прямой, т.е. в этом случае единица иностранной валюты выражается непосредственно в единицах национальной валюты. В противоположном случае, когда стоимость единицы национальной валюты выражается в единицах иностранной валюты, соответствующая котировка называется обратной.

Естественно, что термины «прямая» и «обратная» котировки имеют смысл лишь относительно выбранной национальной валюты. На международных финансовых рынках вместо национальной валюты говорят о выбранной основной, базовой или расчетной валюте. Тогда котировки всех остальных валют относительно базовой называются прямыми котировками этих валют, а котировка базовой относительно данной валюты называется обратной котировкой данной валюты.

Задание обменного курса (котировки) / позволяет преобразовывать значения денежных сумм из различных шкал. Так, сумме S, заданной в единицах е шкалы М, соответствует в шкале М' (в момент ґ) значение

 

Например, если М — долларовая, а М' — рублевая шкалы, и текущий обменный курс

$1 = ^25,

то $50 соответствуют /#1250 по текущему курсу. Естественно, можно находить и обратное соответствие. Так, сумме    500 соответствует $20.

Основные типы финансовых величин. Пожалуй, одним из важнейших обстоятельств, которое часто упускают из вида, является то, что цены, курсы, стоимости, доходы всегда имеют определенную временную привязку. Они относятся либо к моментам времени, например курс ценной бумаги, либо к временным промежуткам, например дивиденды или проценты. В соответствии с этим все величины в финансовой математике (да и вообще в экономике) можно разделить на два класса.

Первый класс составляют величины, относящиеся к моментам времени. Они являются функциями времени, т.е. изменяются с течением времени. Их называют фондовыми величинами (или переменными состояниями). В англоязычной литературе — stock variables, т.е. переменные запаса. Эти величины представляют мгновенное значение различных финансовых характеристик, таких как стоимость, цена, курс. Все балансовые показатели относятся к величинам этого вида.

Второй класс составляют величины (переменные), которые естественным образом связаны с промежутками, периодами времени. Их называют интервальными величинами. В англоязычной литературе — flow variables, т.е. переменные потока. Так, годовой доход, прибыль, доходность, процентная ставка — примеры величин этого класса. В частности, большое семейство величин этого класса составляют характеристики, показывающие изменение фондовых величин (т.е. величин первого класса) за определенный промежуток времени. Приращение стоимости активов какого-либо фонда за год является также примером интервальных величин.

Между величинами указанных классов не всегда удается провести четкую грань. Рассмотрим, например, дивиденды, выплачиваемые по обыкновенным акциям. Конкретно очередная выплата дивидендов осуществляется в определенный момент времени. Для отдельного акционера это может быть моментом перечисления дивидендов на его счет в банке или брокерской конторе. Поэтому на первый взгляд эта сумма относится к моменту времени. Однако экономический смысл дивидендов как доли прибыли, полученной предприятием за определенный промежуток времени, например за год, ясно указывает на то, что эта величина является функцией именно промежутка, а не момента времени. Так, бессмысленно говорить о том, какова величина дивидендов на данную конкретную дату: сегодня, завтра, через год. Однако можно говорить о величине дивидендов за год, два, три и т.д. С другой стороны, не имеет смысла говорить о цене акции за год, два года и т.п. Можно говорить об изменении цены или средней цене за эти промежутки, но это уже интервальные, а не мгновенные характеристики.

Из отмеченного выше различия между мгновенными и интервальными величинами следует различный способ их математического представления. Так как величина первого типа есть функция времени, то

обычно этот факт записывают в виде 5(f) или 5, где 5(f) (или 5г) — значение в момент времени t некоторой величины 5, например стоимости актива. Часто можно рассматривать всевозможные значения 5(f) при различных t из некоторого промежутка. Наглядно эта ситуация изображается графиком 5(f) как функции от t (рис. 1.3).

Здесь горизонтальная ось

S          (ось абсцисс) есть временная

шкала, а вертикальная ось (ось ординат) есть шкала значений величины 5, например денежная шкала.

Величины второго класса являются функциями промежутка, и поэтому для их определения необходимо задавать промежуток времени. Это можно сделать, используя стандартное обозначение для промежутков [f]} t2] или (ft, i2) и т.п. Так, значение величины R второго класса для промежутка (отрезка) [fp t2 можно записать в виде R([tr t2), а для промежутка (fp t2 соответственно R{{tv Л,]). Если тип промежутка несуществен, то можно написать просто R(tr t2).

            ,—

U

■1

Рис. 1.4

м

т ..

(t,m)

Иногда эта величина зависит не от положения концов промежутка, а только от его длины T=t2— tx при f, < tY В этом случае вместо приведенных выше обозначений используют обозначения вида R{ Т) или Rr Наглядно величины обоих классов можно представить с помощью временных диаграмм. Например, конкретное значение 5 в момент времени f, а также R{{tv t2]) можно изобразить, как это сделано на рис. 1.4.

О

Временная Т и денежная М шка-

            1          ► т     лы вместе порождают финансовую

f           систему координат, которую назы-

рис ]5  вают финансовым пространством

 

или плоскостью время—деньги. Формально финансовое пространство есть просто декартово произведение

ТхМ = {(/,/и)|гєТ>єМ},

которое состоит из возможных пар вида (t, т), где г — временная, aw — денежная компоненты (координаты) этой пары (или точки). Наглядно финансовое пространство или плоскость время-деньги имеют вид обычной координатной плоскости, где по оси абсцисс отмечаются моменты времени, а по оси ординат — денежные суммы (рис. 1.5).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |