Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

13.1. погашение долга

Пусть единовременно выданный в момент t0 кредит на сумму Р погашается серией погасительных платежей С,, С2, Сп в моменты времени t{, t2,..., гн соответственно. Временная диаграмма такой кредитной сделки изображена на рис. 13.2. Представляющий эту сделку поток есть, очевидно, сумма исходного (кредитного) потока

 

-Р     с}    с2 сп

CF- = {(t0,-P)},

«о       U       h '„

і           і           ,           ,_   сводящегося к единственному со-

бытию — выдаче в момент t0 креди-

та в размере Р, и заключительного

Рис 11 потока

CF+ = {(tx,Cx),(t2,C2),..., (*п,С,)},

представляющего собой поток погасительных платежей (коротко, погасительный поток или поток погашения).

В нашем описании обобщенной кредитной сделки все погасительные платежи считаются заданными. Это безусловно так в момент завершения сделки t или после него. Однако в более ранние моменты времени, например в начальный момент, эти платежи могут не быть непосредственно заданы. Тем не менее они полностью определяются условиями кредитного договора, в котором задаются базовые временные, финансовые и другие параметры контракта, такие, как срок сделки, схема погашения, стоимость кредита (процентная или учетная ставки) и т.д. Эти параметры позволяют сформулировать основное балансовое соотношение между кредитным CF~ и погасительным CF+ потоками сделки. Ключевой в этом соотношении является кредитная ставка, выражающая цену предоставляемого кредита.

В этом параграфе в качестве кредитной используем нормированную (эффективную) процентную ставку /. Тогда основное балансовое соотношение для обобщенной кредитной сделки относительно момента р можно выразить в виде уравнения

PV(CF,i) = Qt (13.1)

где р — произвольно выбранный момент приведения (полюс, фокальная дата, момент валоризации). В схеме сложных процентов выполнение этого соотношения для некоторого полюса влечет за собой его выполнение для любых других полюсов. Поэтому этот момент может выбираться произвольно. Чаще всего в качестве полюса берется либо момент последнего погасительного платежа tn — тогда соотношение (13.1) примет вид

PVt (CF, і) = FVXn (CF, і) = О, (13.1) либо момент выдачи кредита — тогда

PVtii(CF,i)^0. (13.1") Равенство (13. Г) равносильно

PV^CF')-РУ,ш(Р) = Ь

или

РК,(Р)= PK,{CF+).

Здесь и далее индекс /, обозначающий процентную ставку, как обычно, будем опускать.

Первое равенство означает, что разность накопленных к моменту погашения tn стоимостей погасительных платежей и основного долга равна нулю, а второе констатирует равенство (баланс) стоимостей. Оба эти соотношения означают, что к моменту t последнего платежа погасительные платежи полностью и точно погашают долг. Именно в этом и состоит финансовый смысл балансового соотношения.

Балансовые соотношения играют важнейшую роль в анализе обобщенных кредитных сделок. С одной стороны, при известных потоках CF~, CF+ и ставке / они позволяют ответить на вопрос: является ли погасительный поток CF+ достаточным для погашения выданного кредита, т.е. полностью ли он погашает долг. С другой стороны, соотношения позволяют находить неизвестные, но неявно заданные параметры обобщенной сделки по известным параметрам. Так, при условии, что погасительный поток полностью погашает кредит, на балансовое равенство можно смотреть как на уравнение для кредитной ставки. В этом случае определяемая заданными потоками CF~ и CF+ ставка / называется внутренней кредитной ставкой сделки.

Последняя представляет собой важнейшую характеристику эффективности сделки с точки зрения кредитора. Она также называется внутренней доходностью сделки. Обсуждению вопросов, связанных с эффективностью финансовых операций, в частности с их доходностью, посвящена следующая глава.

Задание ставки / кредитного потока и так называемой схемы погашения позволяет находить элементы погасительного потока. Поскольку именно эта задача чаще всего решается на практике, в этом параграфе уделим ей наибольшее внимание.

Таким образом, в дальнейшем, если не оговорено противное, при анализе обобщенных кредитных сделок считаем заданными (в качестве исходных данных) кредитный поток CF", процентную нормированную ставку / и схему погашения долга, которая описывает некоторые (но не все) существенные характеристики погасительного потока. В общем случае задание схемы погашения сводится к заданию минимального числа независимых параметров погасительного потока, позволяющих полностью определить (восстановить) этот поток, т.е. как моменты, так и суммы погасительных платежей. В наиболее часто встречающихся на практике случаях предполагается, например, что погасительный поток представляет собой ренту, следовательно, как моменты, так и суммы платежей обладают определенной регулярностью.

К типичным схемам погашения долга относится, например, схема, погасительный поток которой представляет собой постоянную ренту, т.е. ренту с постоянными по величине платежами. Имеются также схемы, в которых явным образом разделены процентные и основные погасительные платежи. Имеются и другие схемы, которые более подробно будут рассмотрены ниже. Во всех случаях цель анализа обобщенных кредитных сделок будет состоять, во-первых, в определении всех неизвестных (не заданных схемой погашения) элементов погасительного потока, во-вторых, в определении правила, позволяющего для любого момента времени вычислить состояние сделки (невыплаченный остаток или сальдо кредитного счета), и, в-третьих, в определении правила, позволяющего, если это необходимо, разложить погасительные платежи на процентную и основную части. Приведем решение этих задач для основных типов схем погашения, встречающихся на практике.

Определение невыплаченного (остатка) долга. Во всех случаях в качестве базовой модели, используемой при анализе обобщенных кредитных сделок, выберем модель счета с переменным капиталом (см. гл. 10). В этом случае реализация обобщенной кредитной сделки описывается в терминах ссудного (кредитного) счета, открываемого в момент tQ на сумму —Р. Отрицательность начальной суммы означает, что рассматривается именно ссудный (с точки зрения кредитора), а не накопительный счет. Погасительные платежи трактуются как вложения, изменяющие состояния ссудного счета. При этом состояние ссудного счета в любой момент времени и будет представлять собой соответствующее состояние самой кредитной сделки. Финансовый смысл состояния заключается в том, что он указывает на величину невыплаченного долга, т.е. остаток или сальдо долга на данный момент.

В соответствии с результатами состояние в момент / ссудного счета, порожденного потоком CF, т.е. представляющим потоком сделки (см. формулу (10.11)),

S(t) = FV,(CF-)4

где CF  — начальный отрезок потока или его сужение

С/'|; = {(/0,-А»),(гІ,СІ),...,(/„С,)|ґ^г}

на отрезок [г0, /]. Таким образом, начальный отрезок CF~ включает выдачу кредита и погасительные платежи Ск, предшествующие моменту t (включая сам этот момент).

Мы используем обозначение CF t для начального отрезка потока вместо использовавшегося ранее обозначения CF (без минуса наверху), так как в этой главе придется иметь дело с конечным отрезком (остатком) потока после момента /, который обозначим CF+ (с плюсом наверху). Следует быть внимательным и не путать минус и плюс в обозначениях кредитного CF~ и погасительного CF+ потоков с минусом и плюсом (после вертикальной черты) в обозначениях начального CF и конечного CF+; отрезков полного потока CF~ CF~ + CF+.

При заданной кредитной нормированной ставке / формулу для состояния счета в развернутом виде можно записать как

S(t)=FV,(cf\;)= X Q(1+/'p-P(.+i)

(13.2)

k:r,<r

 

Таким образом, состояние сделки или сальдо (остаток) ссудного счета в момент t есть разность накопленных к моменту t стоимостей погасительных платежей и долга. Такой метод определения состояния называется ретроспективным, поскольку в нем учитываются только платежи, предшествующие моменту t. Если известно также, что погасительный поток CF+ полностью и точно погашает долг, т.е. выполняется балансовое равенство (13.1), то, отделяя в этом равенстве события, предшествующие моменту г, от событий, следующих за ним, получим равенство

Q = PVr (CF) = PVt {CF~ + CF\]) = PVt [CF~) + PV, [CF

откуда

 

 

где

 

k:tt>r

S(t)= PVtCF~j = ~PVtCF PK{cF\:)=^Ck(l + iP=^Ckv'-'

k:rk>:

(13.3)

 

(13.4)

— текущая (приведенная к моменту t) стоимость платежей, следующих за моментом

Таким образом, согласно (13.3), состояние сделки (сальдо счета) в момент t есть взятая с обратным знаком текущая (в этот момент) стоимость всех оставшихся погасительных платежей. Действительно, если имеется общий баланс между выданным кредитом и всеми погасительными платежами, то не выплаченный к моменту t остаток долга полностью погашается оставшимися погасительными платежами. Следовательно, равенство (13.3) имеет тот же смысл, что и равенство (13.1). Различие состоит в том, что роль выданного кредита из равенства (13.1) играет невыплаченный остаток долга.

Равенство (13.3) описывает так называемый проспективный метод определения остатка долга, поскольку в нем используются лишь будущие по отношению к моменту t погасительные платежи.

Еще раз подчеркнем, что равенство (13.2) (ретроспективный метод) дает значение остатка долга для любого погасительного потока, тогда как (13.3) (проспективный метод) — лишь для погасительного потока, сбалансированного с кредитным потоком, иными словами, когда выполняется основное балансовое соотношение (13.1).

Эти методы различаются также той информацией, которая необходима для вычисления остатка долга. В проспективном методе следует знать только конечный отрезок (после момента t) погасительного потока, в частности должна быть известна дата погашения, а в ретроспективном — только часть информации, относящаяся к периоду до момента оценки состояния счета; например, нет необходимости знать даже срок сделки.

Структура погасительных платежей: основная и процентная части. Как отмечалось в гл. 10, для анализа динамики накопительного счета с переменным капиталом нет необходимости в разложении состояния счета на основную и процентную составляющие, поскольку текущее полное состояние вместе с внешним потоком однозначно определяет все последующие (полные состояния). Так, для двух смежных критических моментов t    t справедливо рекуррентное уравнение

) = ■*('.-,)('+ ')''(13.5)

где hk = tk ~tki — длина k-то погасительного периода.

Тем не менее одна из задач анализа обобщенных кредитных операций будет состоять в разложении погасительных платежей на процентную, идущую на выплату текущих процентов, и на основную, идущую на погашение основного долга, части.

Напомним, что для заданного состояния S(t) счета в момент t и процентной ставки /' проценты, накопленные за любой период [г, t + Т) в схеме сложных процентов, определяются равенством

IT^I(tJ + T) = S(t + T)-S(t) - S(t)[( +i)T -1

 

32-5169

при условии, что в период [t, t + Т] не было (внешних) довложений и изъятий капитала.

Это равенство можно переписать в виде

 

IT=S(t)iT, (13.6)

где

iT=(+i)T-l

процентная ставка за период Т, эквивалентная заданной кредитной ставке /.

В силу принятой интерпретации ссудного счета для кредитной сделки состояние счета S(t) в момент времени t < tn отрицательно, т.е. S(t) < О, что означает наличие невыплаченного остатка долга. Соответственно проценты lk = I(tk v tk), начисленные за период hk на остаток S(tk ) счета в момент tk , также отрицательны, т.е.

/*=\%-,)<*, <0. (П.7)

В соответствии с заданной схемой погашения погасительный платеж Ск (который считается положительным) разлагается на два слагаемых:

Ck = Jk + Pk, (13.8)

где

процентная часть погасительного платежа, представляющая выплачиваемые за период hk проценты, а

основная часть погасительного платежа, идущая на погашение долга. В так назывемых нормальных схемах погашения предполагается, во-первых, что начисленные и выплачиваемые проценты совпадают по абсолютной величине, точнее,

 

и, во-вторых,

С >/

к к

или, что то же самое, Рк > 0. Тогда с учетом (13.6) и (13.7) равенство (13.5) можно переписать в виде

sk = st_, (і+ihk )+ck = sk_, -Jk+ck= Sk^ + Pt

или

ASk=Sk-S^=Pk. (13.9)

Таким образом, в нормальных схемах основная часть погасительного платежа за некоторый период в точности равна изменению остатка счета за этот период. Учитывая отрицательность Sk и положительность Рк, получаем, что Рк есть сумма, на которую уменьшается по абсолютной величине остаток долга за k-ft период после выплаты погасительного платежа.

Суммируя равенства (13.9) для Л = 1, 2,ли учитывая, что S0 ~ ~Р и 5д ~ 0, получим

£і=£&-$»-.Н.-$>=л

k = l к=

Следовательно, в нормальных схемах погашения

 

к=

Если не оговорено противное, будем рассматривать лишь нормальные схемы погашения.

Перейдем к анализу конкретных видов схем погашения, используемых в обобщенных кредитных сделках. Некоторые из этих схем изучались (см. гл. 4) в рамках теории простых процентов. Здесь же анализ схем погашения основан на теории сложных процентов, точнее, на моделях с переменным капиталом (см. гл. 10).

Анализ схем погашения для обобщенных кредитных сделок начнем с простейшей схемы единовременного погашения основного долга в конце срока. Последняя является непосредственным обобщением простой кредитной сделки с выплатой процентов в конце срока.

Единовременное погашение основного долга в конце срока с периодической выплатой процентов. В общем виде эта схема погашения описывается следующим образом.

Кредитный поток задается единственным событием

сг ={(/.,-/•)}.

Погасительный поток CF* представляет собой сумму процентной ренты

с/={(/1,/1).('2.Л).-(^^)}>

где tk = tk j + h, к = 1, 2,..., n; h — период ренты; Jk = Jk(tk_{, tk) — выплачиваемые проценты за k~\ период [tk_ v tk]; і — нормированная процентная ставка, и заключительного погасительного платежа

СМ= {(/„, Р)}. Таким образом, погасительный поток CF+ имеет вид

 

Для заданной нормированной ставки / определенный выше погасительный поток полностью и точно погашает долг. В самом деле, для последовательных критических моментов /0, fp..., tn легко находятся состояния Sk = S(tk) счета. Так, для t0, t{ имеем

SQ = -P;   Sl = -P(+i)l> + Jy Проценты, которые будут выплачены за 1-й период, равны

у, =Р

и, следовательно, S = —Р.

Еще раз напомним, что начисленные на остаток долга проценты будут иметь отрицательный знак, поскольку ненулевой долг в анализируемой схеме описывается отрицательным числом. Наоборот, выплачиваемые проценты совпадают с начисленными по абсолютной величине, но имеют противоположный знак, т.е. положительны.

Совершенно аналогично

S2 = 53 = ... = 5и_( = ~Р. Наконец, для момента погашения tn имеем

S. =     (1+/)' + /, + Р=-Р{ + if + р[{1 + / )* -1 ] + Р = 0.

Таким образом, в момент / долг полностью (и точно) погашается.

Напомним, что выражение (1 + i)h -1 есть не что иное, как процентная ставка /я за период h, эквивалентная исходной (нормированной) ставке /. Следовательно,

 

Jk — Pih = J — const для всех к = 1, 2,..., п.

Особенно простой вид эта схема погашения принимает в случае, когда период процентных платежей совпадает с единичным периодом временнбй шкалы. Тогдаh = 1 и/Л = Л"для всех&= 1,2,..., п; Sk~ —Рдля всех к = 1, 2,..., п - I kS =0.

Пример 13.1. Рассмотрим трехлетний кредит на сумму . # 100 000. Долг погашается единовременным платежом в конце 3-го года. Проценты по кредиту выплачиваются в конце каждого полугодия. Найти величину погасительных выплат, если: а) нормированная ставка по кредиту составляет 21\% годовых; б) номинальная годовая ставка по кредиту — 21\%, начисляемых по полугодиям.

Решение. Выбирая в качестве базовой годовую шкалу с /() = 0, имеем согласно условию

=    00000; /1 = 3-2 = 6; А = -.

2

а)         Ставка /   за полугодие, эквивалентная / = 21\% годовых,

/^ = (1 + 0^-1-0,1. Следовательно, соответствующие моментам tk = к/2, к - 1, 2,6, процентные выплаты

Jk =Pi/2 - 10 000(Ж),   к = I, 2, 6.

Соответственно

Ck = Jk = 10 000(.#),   £=1,2, 5,

и

С6 = /6 + /> = 110 000( .>?).

б)         Ставка за полугодие

 

2 2 Поэтому

Jk=Pi]/2= 10 500(.*?),     = 1,2,..., 6.

Соответственно

Ck = Jk= Ю500(.*>),   А = 1,2,..., 5,

И         C6 = P + J6 = ПО 500(J?).

Описанная схема погашения фактически совпадает с так называемой облигационной схемой погашения, когда кредит оформляется в виде эмиссии должником облигаций — долговых ценных бумаг специального вида. Каждая облигация имеет фиксированные реквизиты: номинал F (основная сумма долга), срок обращения в годах т (срок кредитной сделки) и так называемую купонную ставку с (процентная ставка за кредит). Кроме этого, обычно указывается кратность (частота) купонных, или процентных, выплат. Эти выплаты обычно осуществляются один раз в год (типично для европейского рынка) или два раза в год (типично для рынка США). Владелец облигации (кредитор) в течение срока обращения получает купонные (процентные) платежи, а в конце срока (в дату погашения) кроме купонного платежа еще выплату основного долга — номинала. Выдача кредита реализуется покупкой облигации. При этом в момент эмиссии цена облигации практически равна номиналу. Наконец, купонная ставка с определяет величину купонных годовых выплат по формуле

J= Fc,

а для полугодовых выплат

Fc J=— 2 ■

Таким образом, купонная ставка есть просто номинальная процентная ставка с кратностью начисления, совпадающей с частотой купонных выплат.

Пример 13.2. Рассмотрим двухгодичную облигацию с номиналом F= :^?500, купонной ставкой с = 8\% годовых и с полугодовыми купонными выплатами. Найти поток платежей, связанных с этой облигацией.

Решение. По облигации будет сделано четыре платежа, три из которых только купонные, а последний кроме купонного платежа включает выплату номинала. Величина купонного платежа

/=^ = 500^ = 20И. 2        ,2        { '

Таким образом, полагая (в годовой шкале) tk = к/2, получим

/t = 20(^),   *= 1,2, 3,4, и, следовательно, поток платежей, связанных с этой облигацией,

Ck = Jk= 20{Я),   к =1,2,3,

И         С4-/,+ /4 = 500 + 20 = 520(;^).

 

Равномерная схема с постоянными погасительными платежами. Эта схема наиболее распространена при кредитовании покупки недвижимости. Она подразумевает погашение единовременно выданной суммы кредита регулярными и постоянными по величине погасительными платежами.

Таким образом, погасительный потокCF+ представляет собой обыкновенную срочную ренту с постоянными платежами:

CF+={(tk,C) k=tQ+kh, к = ,2,...,п].

Здесь 1к — моменты погасительных платежей; h — период ренты; С — величина погасительных платежей.

Для упрощения изложения выберем единичный период временнбй шкалы совпадающим с периодом ренты. Тогда погасительный поток превратится в стандартную ренту с единичным периодом (р=)и сроком п.

В этом случае tk ~ к, к = 0, 1, п. Тогда, если / — нормированная ставка, то для данной схемы уравнение баланса

FVK{P)=FV„(CF*)

будет иметь вид

p«'=c\%t> (13-Ю)

где о=1+/— нормированный коэффициент роста;

ап-

5-.. =   

nil ;

 

(13.11)

 

 

так что равенство (13.12) можно переписать в виде

/$-,.+1     (     і "n с=р—— = р /+—

 

(13.13)

1)

Сальдо (остаток) счета в момент tk определится, согласно равенству (13.2) (по ретроспективному методу), соотношением

Sk=S{tk) = -Pak + Cs^=-P(is^+) + P

. 1

!+        

 

 

= р

 

(

 

V5^ J

S1 - 5-і

ПІ ПІ

 

пі

Таким образом, состояние Sk, определенное по ретроспективному методу, имеет вид

ПІ

S„=-P^            *l = -P-

(13.14)

ПІ

Из этого соотношения легко получить разложение

а -а

 

к-го погасительного платежа на основную рк и процентную Jk части. Согласно (13.7) - (13.9) и (13.14), имеем

Pk = ASk=Sk-Sk_l=P

к        Аг — 1

(13.15)

и

Jk=Sk_J = Pi

(13.16)

 

Равенства (13.12) — (13,16) полностью описывают равномерную схему погашения с постоянными погасительными платежами. С их помощью по заданным величинам кредита, срока и процентной ставки можно составить так называемый график погашения долга, который для каждого критического момента t — к указывает величину погасительного платежа, его разложение на основную и процентную части, а также остаток долга после осуществления погасительного платежа. Графики погашения долга подробно рассмотрены в гл. 4. На практике они оформляются в виде таблиц, столбцы которых соответствуют вычисляемым величинам графика.

Мы получили формулы (13.12), (13.14) для сальдо счета и разложения погасительных платежей исходя из ретроспективного метода при условии выполнения уравнения баланса (13.10).

Для проспективного метода в момент /- к, согласно (13.3) и (13.4), остаток счета

St=-rVt(cFl) = -Ca^. (13.17)

В частности, полагая к = 0, получим еще один вид балансового равенства

50=-JP = -Ccr-1.

и л!

Отсюда следует, что р

С = -- (13.18)

л!

Используя (13.18), формулу (13.17) для остатка счета можно переписать как

71

а-

St=-P^- (,3.19)

и!

Разложение

 

в этом случае примет вид

а—п -а-

Pt-St-S„~F        ^ |     (13 20)

и

J*=StJ = Pt^- (13.21)

 

Особенно простой вид эти формулы примут, если

Тогда все погасительные платежи — единичные, т.е.

 

С. - С =... - С = I

1          2 п

и погасительная рента — стандартная единичная рента CF+ — Ая. Для этого случая в момент і = к сальдо счета определяется как

v"~k -1

s*=- а^=-—-.  (13-22>

 

где v = а~х. При этом процентная часть к-то погасительного платежа равна

Jk=-SkJ = l-v"-k*       (13.23)

а основная

p. =-J k=v*-k+          (13.24)

График такой схемы погашения долга (табл. 13.1) вполне универсален. Если рассматривается схема, в которой погасительные платежи С ф 1, то для того, чтобы получить соответствующий график погашения, достаточно все столбцы, кроме первого, умножить на С. Само значение С определяется по формуле (13.12) или (13.18), исходя из заданной величины кредита Р, ставки / и срока п.

Мы рассмотрели равномерные схемы лишь в стандартном случае, когда период погасительной ренты совпадает с единичным периодом временной шкалы. В общем случае для применения полученных формул необходимо сначала найти значение ставки /д за период ренты, эквивалентной заданной кредитной ставке (любого вида), а затем во всех формулах считать срок в периодах, а вместо / использовать /д.

Пример 13.3. Пусть кредит в 1 ООО сроком на 3 года погашается одинаковыми ежеквартальными платежами в конце каждого квартала. Составить график погашения долга, если эффективная нормированная ставка по кредиту составляет 36\% годовых.

Решение. Найдем сначала эквивалентную квартальную ставку:

/„=/^ = (1 + 0,36)^-1 = 0,0799, или 7,99\%.

Выберем в качестве базового промежутка квартал. В этом случае погасительная рента станет стандартной рентой сроком п = 12. При нормированной ставке / = iw - 7,99\% размер погасительного платежа

 

°г30.О79Ч

Теперь по формулам (13.19) - (13.21) легко найти как отдельные компоненты погасительных платежей, так и соответствующие остатки долга на моменты платежей. В частности, поскольку

S0 = -1000< .<*>),

то

^ = -Sj = 1000-0,0799 = 79,90 („#); />t = С - /, = 132,63 - 79,90 = 52,73( J?);

St - £0 + Рх = -1000 + 52,73 - - 947,27(.#). Для второго периода получим

У, = -S,i = 947,27-0,0799 = 75,69 (:#); />2 = С - У2 = 132,63 - 75,69 - 56,94 (.#);

S2 = S} + Рг = -947,27 + 56,44 = -890,33(,#). Аналогично можно вычислить значения всех остальных элементов погашения (табл. 13.2).

Табл и ца 13.2

 

 

 

Период к

Часть платежа

Остаток долга Sk

процентная часть Jk

основная часть Р.

0

 

1000

1

79,90

52,73

947,27

2

75,69

56,94

840,33

3

71,14

61,49

828,85

4

66,22

66,40

762,44

5

60,92

71,71

690,74

6

55,19

77,44

613,30

7

49,00

83,62

529,68

8

42,32

90,31

439,37

9

35,11

97,52

341,85

10

27,31

105,31

236,54

11

18,90

113,73

122,81

12

9,81

122,81

0

Формулы (13.22) - (13.24) позволяют также определить, как перераспределяются со временем основная и процентная части погасительного платежа и в общем случае, когда С Ф 1. В самом деле, если С — величина погасительного платежа в равномерной схеме погашения с величиной долга Р, то согласно этим формулам

Jk=(i-vn'k+l)C,

а

 

Pk=C-Jk=Cvnk+l.

Таким образом, с увеличением к основная часть Р растет, а процентная убывает по показательному закону. В частности, для к — I

 

0+<Г

JY=C(~vn).

При больших п множитель v" будет мал, особенно для больших ставок/. Таким образом, начальные погасительные платежи идут исключительно на выплату процентов и лишь небольшая часть на погашение основного долга. Это, в свою очередь, ведет к медленному уменьшению основной суммы долга, а следовательно, к поддержанию больших процентных выплат. И лишь спустя большое число периодов снижение основного долга приведет к уменьшению процентных выплат и к повышению доли, идущей на погашение долга, который начинает погашаться все более быстрым темпом.

В описанной схеме предполагается, что погасительная рента немедленная, т.е. выплаты начинаются уже в конце первого периода. На практике возможны различного вида отсрочки погашения. В таких случаях погасительная рента является отложенной. Период между выдачей кредита и началом первого платежного периода называется льготным периодом. Расчет погасительного платежа в этом случ'ае осуществляется методом, вполне аналогичным описанному выше, за исключением того, что в приведенных формулах вместо основной суммы долга Р следует использовать ее наращенное к концу льготного периода (т.е. началу платежного периода) значение

 

где т — число периодов отсрочки.

Общая амортизационная схема. Рекуррентное уравнение (13.5) динамики счета

Sk=SkA(l + if+Ct

дает разложение

ck = Jk + Pt

для погасительного платежа, где

Л = -'('*-,.'*)

процентная, и

P=AS=S-St ,

к          к        к к-

основная части погасительного платежа за к-й период.

При этом

£/}=Л (13.25)

Последнее равенство вполне естественно, поскольку оно просто означает, что основные части погасительных платежей в сумме полностью погашают долг.

В схеме погашения с постоянными погасительными платежами величина основной части определялась неявно условием постоянства погасительных платежей. Наоборот, в первой рассмотренной (облигационной) схеме погашения явно задавались именно основные части погасительных платежей условиями

 

Рк = 0  *=1,2,...,л-1; Р-Л

а процентная часть вычислялась по остатку долга. Схемы погашения, в которых явным образом указывается структура основных частей погасительных платежей, а процентная часть и сами погасительные платежи вычисляются по этим данным, называются амортизационными. Таким образом, общая амортизационная схема задается произвольной последовательностью событий (потоком)

CP = {(/,, і?), (»2, р.)}

с положительными (Рк > 0) платежами, удовлетворяющими уравнению баланса

р^р,

Этот поток называется амортизационным.

Для амортизационной схемы остаток долга в конце к-го периода *J (после к-го платежа) равен

Начисленные проценты за этот период составят

/* = /(^і^*)=^-і[0+',Г-і]=5*Лї

где /А = (1 + /)** -1 — ставка за период hk — tk —tk_v Соответственно, выплаченные проценты

Л = -4

а погасительные платежи Ск = /Л + Рк.

Выплачиваемые проценты образуют процентный поток

СУ = {(/„У1)>('2,Л),-.(СЛ)},

который в сумме с амортизационным потоком CP дает погасительный поток

CF+ =CP + CJ. *

В типичных случаях амортизационный поток (основных платежей) представляет собой ренту. Один из самых распространенных видов амортизационного потока — рента с постоянными платежами (равномерная амортизация). В этом случае

 

1          2 /г

откуда согласно (13.25) следует, что

 

Рк = Р/п,  к= 1,2,...,/*. (13.26)

В частности, для стандартной амортизационной ренты (hk = I) с постоянными основными платежами и нормированной ставкой / все элементы погасительных платежей легко найти в явном виде. В самом деле, остаток долга в конце к-го периода будет

к          ( к

Sk=~P-P = -P\~- ,

п          у    п J

процентный платеж за к-п период

( к-\ Jk=P 1-— /, V      п )

и к-й погасительный платеж

 

п

V

п

п

Пример 13.4. Кредит в ^?10 ООО сроком на 10 лет погашается постоянными ежегодными основными платежами вместе с соответствующими процентами. Найти величину погасительных платежей, если ставка по кредиту составляет 20\% годовых.

Решение. Согласно условию, схема погашения — равномерная амортизация. Поскольку Р = .Ж0 ООО и п = 10 лет, то

/-•^ = ,000(.»вп,д).

к     10 К '

Остаток долга в конце к-то периода

Sk = -(10000 - 1000*) = -1000(10 - к).

Проценты за к-й период

Jk = 1000(11 -*)0,2 = 200(11 -Jfc). Следовательно, погасительные платежи

Ск = 1000 + 200(11 - jfc) = 3200 - 200*,   Л = 1, 2,..., 10. График погашения долга приведен в табл. 13.3.

Заметим, что стандартные амортизационные схемы для сложных процентов полностью идентичны аналогичным схемам погашения в актуарной модели (см. гл. 4). Это следует из совпадения рекуррентных уравнений динамики счета для актуарной модели и стандартной накопительной модели (с периодом начисления h = 1). Сказанное обосновывает приводившееся выше утверждение, что актуарная модель, по существу, относится к схеме сложных процентов, хотя излагалась в схеме простых процентов. В частности, отсюда следует справедливость балансового уравнения (4.11) и (4.13) для актуарной модели погашения долга.

На практике используют не только равномерную, но и так называемую ускоренную амортизацию. В этом случае основные платежи по долгу Р убывают. Обычно это убывание описывается либо линейным законом, и тогда поток

C? = {(»„7f),(/I,PJ), ....(/„ Я,)}

представляет собой арифметическую убывающую ренту

 

Pk+l = Pk-D,  *=l,2,...f л -I,

где D > О — разность прогрессии, либо показательным законом, и тогда поток CP представляет собой геометрическую убывающую ренту

 

Л+і = Л*

где q (0 < q < 1) — знаменатель прогрессии.

В § 5.3 описан один метод ускоренной амортизации процентов, так называемый метод 78-х для схемы потребительского кредита. Там речь шла об ускоренной амортизации именно процентов, а основная часть погасительного платежа предполагалась постоянной. Однако практически те же формулы мы получим, если применим этот метод к амортизации основного долга. Полагая, как и в § 5.3

Pk=wkP; 0<wk<l; D = uP; 0<м<1, где wk — вес k-й основной части погасительного платежа, получим

 

w ~ w — и wk + l    wk "

или

wk = Wj - (k - )u,  k~,2,...,n. (13.27) Кроме того, из условия баланса

 

к=

с учетом (13.27)

Из трех параметров wv wn, и {при заданном п) один можно выбирать произвольно при условии, что остальные два, определяемые уравнениями (13.27), (13.28), удовлетворяют условиям:

0< w <w, < 1, 0<и<1. Полагая параметр п - 12 и u-±wx, из (13.27), (13.28) получим (см. §5.3)

1          12 1

78     '   78     12 78

Это и есть метод 78-х, при котором долг Р погашается 12-ю (например, ежемесячными) убывающими по величине платежами:

Pt = wtP=l-^P, к = 1,2,.., 12.

Остаток долга для к-шага

 

Отсюда легко получить процентную часть погасительных платежей

(14-*)(13-*)

J"'S^1- Г56      Л'

где / — ставка за период ренты. Соответственно за период к полный погасительный платеж

13-*

78

Л 14-* Л

1+        /

V 2

Пример 13.5. Построить график погашения кредита на сумму Р = .#7800 ежемесячными платежами по методу 78-х при месячной ставке /жс = 10\%. Решение. График погашения приведен в табл. 13.4.

Аналогично можно рассматривать геометрическую амортизацию, в которой основные платежи убывают по показательному закону:

0<д<, * = 1,2,...,я-1.

Полагая          „ п

Pk=wkP- 0<w,<l,

получим рекуррентное уравнение

 

wt+1 = wft* (13.29)

или

иъ = иу7*-', * = 1Д...,*, (13.30) и, как следствие уравнения баланса, равенство

і           — а"

Xwk=wi~        = J- (13.31)

 

Выбирая при фиксированном п один из параметров wx или q и определяя второй из уравнений (13.29) — (13.31) таким образом, чтобы выполнялось условие

0<wvq< 1,

мы полностью определим основные части погасительных платежей, а задание процентной ставки позволит определить процентные части и сами погасительные платежи.

Пример 13.6. Кредит на сумму Р = J?3000 погашается четырьмя платежами в конце каждого квартала по «геометрической» амортизационной схеме, в которой основные платежи уменьшаются последовательно в 2 раза. Построить график погашения долга для квартальной ставки 20\%.

Решение. В данном случае п = 4, q = 1/2. Таким образом, уравнение (13.31) принимает вид .

 

2

откуда с учетом (13.29) последовательно получаем

33-5169

13.2. Фонды погашения

Выше обобщенные кредитные сделки описывались с точки зрения кредитора. В частности, поток погасительных платежей состоял из платежей подолгу, получаемых непосредственно кредитором.

Мы отмечали также, что описание сделки с точки зрения должника зеркально симметрично описанию с точки зрения кредитора, т.е. представляющие сделку потоки просто противоположны по знаку. Это действительно так, если речь идет об описании непосредственно схемы погашения долга. Кредитор всегда получит выплаты по долгу в соответствии с заданной кредитным контрактом схемой погашения. А вот реальные выплаты должника могут отличаться от погасительных платежей, предписываемых схемой.

Рассмотрим, например, погашение долга единовременным платежом в конце срока, но с периодической выплатой процентов. Это облигационная схема погашения, с которой началось описание схем погашения. В случае значительной суммы кредита, а так это и бывает при облигационных займах, должнику без предварительного накопления трудно погасить большой основной долг, поскольку это часто требовало бы мобилизации и/или изъятия крупных денежных сумм. Выходом в таких случаях является создание специального фонда погашения, в котором должник аккумулирует средства, необходимые для погашения основного долга.

 

Фонд погашения (sinking fund) формируется периодическими постоянными или переменными взносами. При этом на накопленный капитал фонда начисляются и выплачиваются проценты по ставке, в общем случае отличающейся от ставки по кредиту. Таким образом, фонд погашения (погасительный фонд, фонд накопления) — это накопительный счет с переменным капиталом, порожденный потоком платежей должника.

Важно понимать существенное различие между погасительными платежами и взносами в фонд погашения. Так, в облигационной схеме погашения никаких выплат по долгу, кроме процентных платежей, по контракту не предусматривается. Более того, во многих случаях досрочное погашение, т.е. погашение вне заданного графика, может вообще запрещаться контрактом. Иными словами, кредитор, даже получив погасительный платеж, превышающий текущие проценты, не обязан уменьшать сумму основного долга. Кредитор далеко не всегда стремится получить долг обратно как можно скорее. Так, если кредитная ставка в момент выдачи долга была высока, но со временем снизилась, то кредитор не заинтересован в досрочном погашении долга, поскольку возвращенные суммы ему придется размещать уже по более низкой ставке, что ведет к снижению его дохода от кредитной сделки. Напротив, должник заинтересован в таких случаях в досрочном погашении долга, поскольку, погасив долг, он может тут же взять его уже по меньшей стоимости. Такая операция, называемая рефинансированием, во многих случаях действительно допускается, например в ипотечных кредитах (при покупке недвижимости), в ряде облигационных кредитов и др. С финансовой точки зрения фонд погашения выгоден для должника, если ставка накопления фонда превышает ставку по кредиту. Если обе ставки равны, то расходы по обслуживанию долга должником, которые включают как взносы в фонд, так и выплату процентов, составляют поток платежей, эквивалентный потоку погасительных платежей.

Фонды погашения используются прежде всего в тех случаях, когда схема (график) погашения долга жестко фиксируется контрактом. Не следует думать, что создание фонда погашения зависит лишь от желания должника. Как правило, создание такого фонда оговаривается в кредитном контракте и служит одним из условий обеспечения возврата кредита. Поэтому кредитный контракт не только полностью определяет схему погашения долга, но и некоторые условия, касающиеся фонда погашения. Так же как и в расчетах погасительных платежей рассмотренных выше схем погашения долга, в задачах планирования фонда погашения необходимо определить величину взносов в фонд погашения. Следует помнить, что взносы в фонд погашения идут на погашение основного долга; по своему смыслу они аналогичны основной части погасительных платежей в схеме погашения долга. Кроме взносов в фонд погашения должник выплачивает текущие проценты по долгу.

Обычно проценты выплачиваются должником из текущего дохода, а не из фонда погашения. Тем не менее на практике иногда взносы в фонд предназначаются как для выплаты основного долга, так и для выплаты процентов. Это наблюдается в тех случаях, когда взносы в фонд делаются чаще, чем предписываемые схемой погашения процентные платежи.

Сумма взноса в фонд погашения и текущих процентов по долгу называется срочным платежом. Взносы в фонд вместе с начисленным процентным доходом составляют накопленную сумму погашения, представляющую собой состояние фонда погашения. Для того чтобы долг был погашен полностью, эта сумма должна в конце срока кредита совпасть с основной суммой долга.

Таким образом, состояние фонда погашения равно текущей (накопленной) сумме погашения и по своему смыслу противоположно (двойственно) состоянию ссудного счета — остатка долга для схемы погашения. Следовательно, при анализе схем погашения, предусматривающих создание фонда накопления, необходимо различать состояние ссудного счета (счета кредитора) и состояние погасительного счета (фонда погашения). Состояние в момент / ссудного счета обозначим, как и выше, S(t), а погасительного — S+(t). Для критических моментов tk эти состояния обозначаются коротко Sk и S+k соответственно.

Напомним, что S(t) представляет собой (по абсолютной величине) невыплаченный остаток долга, тогда как S+(t) — накопленную сумму погашения.

Отметим, что хотя заданная схема погашения накладывает определенные ограничения на структуру потока взносов в фонд погашения, тем не менее не существует какого-либо явного соответствия между состояниями ссудного и погасительного счетов.

Облигационная схема с фондом погашения с постоянными взносами. Анализ кредитных сделок, использующих фонды погашения, начнем с простейшего случая облигационной схемы, предусматривающей единовременную вы плату основного долга в конце срока и периодическую выплату процентов. В этом случае все погасительные платежи, кроме последнего, совпадают с процентными.

Предположим, что период взносов в фонд погашения совпадает с периодом процентных выплат. Выберем этот период в качестве единичного. Нормированную процентную ставку по кредиту обозначим /, нормированную ставку накопления для погасительного фонда — у, основную сумму долга — Р, к-й срочный платеж —- Dk. Наша цель определить величину Dk.

Пусть CJ — процентная рента с платежами

 

где

 

а СВ — рента взносов в фонд погашения с платежами Вг В2, Вп. Основное балансовое соотношение для фонда накопления имеет вид

FV.(CB,j) = P.

В частности, если все взносы постоянны по величине, т.е.

В, = В- — ... — В — В, то из (13.32) получаем равенство

 

из которого находим собственно размер платежа

B=p/w

Срочные платежи будут также постоянными, т.е.

(13.32)

 

(13.33)

 

Я=D=J+B

+ Pi = P

і +

 

 

Интересно отметить, что если кредитная / и накопительная j ставки

совпадают, то срочный платеж

Подпись: аЯ = />

= Р— =с,

 

(13.34)

 

совпадает с погасительным платежом С в равномерной схеме погашения с постоянными выплатами (см. формулы (13.12) и (13.13)).

Однако, хотя срочный и погасительный платежи этих схем совпадают по величине, их интерпретация существенным образом различается. В облигационной схеме с фондом погашения кредитор получает только проценты, величина основного долга постоянна и равна Р.

В равномерной схеме основной долг постоянно уменьшается. При этом постоянно меняется структура основной и процентной частей погасительного платежа. Но если рассуждения вести с точки зрения должника, то он мог бы интерпретировать свои срочные платежи как погасительные. С учетом того, что эти платежи постоянны по величине, при заданных сроке п и ставке по кредиту (равной ставке накопления фонда) величина этих выплат определяется в соответствии с (13.34), т.е. как вел

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |