Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

13.4. пенсионные схемы

 

В этом параграфе мы рассмотрим простейший вид пенсионных схем (pension shemes) или, как еще говорят, пенсионных планов (pension plans). Речь пойдет о так называемых чисто финансовых пенсионных схемах. Последние строятся без учета демографических характеристик группы лиц, объединенных данной пенсионной схемой и называемых участниками этой схемы. В этом случае каждый участник схемы имеет свой индивидуальный пенсионный счет, на котором он посредством взносов накапливает пенсионную сумму, необходимую для обеспечения пенсионных выплат с этого счета после выхода участника на пенсию.

Взносы участников пенсионной схемы аккумулируются в пенсионном фонде. Его средства инвестируются в различные активы на финансовом рынке. Инвестиции обеспечивают рост стоимости активов фонда. Характеристикой такого роста служит норма или ставка доходности, которую назовем ставкой накопления фонда. Поскольку пенсионный фонд при таком подходе сводится к совокупности независимых индивидуальных пенсионных счетов его участников, то описание различных пенсионных схем проведем с точки зрения индивидуального участника схемы (фонда).

Формально пенсионная схема как финансовая операция представляется парой денежных потоков: расходным CF~, который на языке пенсионных схем называется потоком пенсионных взносов, и приходным CF+, называемым потоком пенсионных выплат. Как правило, оба эти потока являются рентами, поэтому говорят о ренте взносов и ренте пенсий соответственно. Эти ренты характеризуются своими временными и финансовыми параметрами, которые называются параметрами пенсионной схемы. Как и в случае кредитных сделок, оба потока (ренты) пенсионной схемы должны удовлетворять балансовому соотношению при заданной ставке накопления фонда /.

Обозначим через

 

ренту взносов (поток 2-го рода) с периодами

 

Л = іґ*-р rJ'  k=,2,т,

одинаковой длины h — tk —tk_ {; k = 1, 2,т. Величина, обратная Л, т.е. 1/Л, называется частотой, или кратностью взносов. Так, в годовой

 

шкале ежемесячным взносам соответствует период ренты взносов h = 1/12 и частота /h = 12. Далее, пусть

СЛ = {(/1,Л1),(Л,Л2),...,(/||,Л||)}, Rj>0

— рента пенсионных выплат с периодами /. — т] одинаковой длины / = т — r_j, j = 1, 2, п. Величина, обратная /, т.е. 1//, называется частотой пенсионных выплат. Так, в годовой шкале ежемесячной пенсии соответствует период /= 1/12 и частота выплат, равная 12.

Замечание. Заметим, что здесь символы У и /обозначают временные промежутки, а не суммы процентов, как в предыдущих параграфах. Фактически это единственное место в данной главе, где встречается такое смешение обозначений. Оно потребовалось лишь для того, чтобы подчеркнуть характер денежных потоков пенсионной схемы. Это потоки 2-го рода. Поскольку в данном параграфе нигде не используются символы У и / как обозначение процентных сумм, то использование их в качестве обозначения временных промежутков не приводит к недоразумениям.

Критические моменты этих рент удовлетворяют естественному условию:

'o<'i <...<'„ </><т0<Т!<...<тя, (13.49) где критический момент р, называемый полюсом схемы, совпадает с моментом выхода участника на пенсию.

Период [/0, /J назовем периодом взносов (не путать с периодом ренты взносов, который равен числу h), а период [г0, т] — периодом пенсионных выплат пли просто пенсионным периодом.

Если Tfl < +<=°, то пенсионная рента называется срочной, в противном случае (тп = +°о) говорят (хотя и не совсем точно) о пожизненной пенсии.

Условие (13.39), записанное во временной шкале, имеет смысл для конкретного участника схемы. На практике при описании пенсионных схем используют не временную, а возрастную шкалу. В этом случае моменту /0 вступления участника в схему или моменту открытия пенсионного счета соответствует возраст вступления в схему, полюсу р схемы соответствует пенсионный возраст и т.д. ВозрастиаЯушкала позволяет описывать пенсионную схему унифицированным образом для различных участников независимо от действительных (календарных) событий, связанных с реализацией пенсионной схемы для конкретного участника.

Мы ввели ренты взносов и пенсий как потоки 2-го рода, т.е. как интервальные величины. В реальности они актуализируются как потоки 1-го рода с платежами, например в начале или в конце срока. Тот или иной вид актуализации определяется конкретной схемой, но в принципе он несуществен.

В дальнейшем будем считать обе ренты обыкновенными, т.е. с платежами в конце периодов этих рент. Положение полюса р на разделяющем обе ренты промежутке [1т, т0] также определяется конкретным видом схемы. Ниже будем считать, что tm~ р — т0; это означает, что конец ренты взносов и начало пенсионной ренты совпадают с полюсом, т.е. с моментом выхода на пенсию.

Рента взносов, рассматриваемая с точки зрения участника схемы, есть расходный поток, поэтому, строго говоря, мы должны считать платежи Вк отрицательными. Однако мы будем представлять ренту взносов положительной обыкновенной рентой

СВ = {(г„ВЩВ2),...,(ія,Вт)},

а расходный поток — противоположной по знаку рентой С^- = -СЛ = {(^,-^),(г2,-52),...,(/я,-^)}.

Пенсионная рента с учетом актуализации также представляется положительной обыкновенной рентой

с/г={(т„/г1),(т2,л2),...,(т„,/?„)}.

Разумеется, как в любой финансовой операции, между рентами взносов и пенсий существует определенный баланс. Этот баланс определяется ставкой накопления фонда /'. В простейшем случае постоянства этой ставки втечение всего периода действия схемы, т.е. как на периоде взносов, так и на пенсионном периоде, баланс можно записать в виде равенства

PVp(CB,i) = PVf(CR,i).

Слева в равенстве — выражение для накопленной к моменту р пенсионной суммы S+(p) или даже просто S+, если полюс р задан.

В силу долгосрочности пенсионной схемы предположение о постоянстве ставки накопления в течение всего периода действия схемы обычно некорректно. В этом случае можно, например, рассмотреть две ставки: для периода взносов — ставку взносов /~ и для пенсионного периода — ставку пенсий /+. Тогда уравнение баланса будет иметь вид

PVp{CB,r) = PVp{CRX).

В нестабильной, постоянно меняющейся экономической среде можно работать с переменными ставками или, что по существу то же самое, с переменной интенсивностью 8. Если 8~ — средняя интенсивность накопления пенсионного фонда для периода Jk взносов, а Ь) — средняя интенсивность накопления на периоде I пенсий, то балансовое уравнение запишется как

Х^е^-^-Х^.е"^.

 

Ниже мы ограничимся случаем постоянной нормированной ставки / для всего периода действия схемы или случаем двух постоянных ставок /", /+ для периода взносов и пенсий.

Задание пенсионной схемы состоит в задании временных и финансовых параметров рент, составляющих схему. Уравнения баланса показывают, что параметры схемы вместе со ставкой (или ставками) накопления фонда не являются независимыми в совокупности. Это значит, что уравнение баланса позволяет находить один из этих параметров, если заданы все остальные. Это обстоятельство служит основой для классификации пенсионных схем по типу определяющей (исходной) информации, в соответствии с которой строится схема.

Так, для схем с установленными взносами исходной является информация о ренте взносов, т.е. рента взносов считается полностью определенной. Пенсионная рента при этом определяется частично, недостающие параметры находятся из уравнения баланса. Задав, например, полностью ренту взносов и ставку накопления, можно определить либо размер пенсии при известном пенсионном периоде (сроке) и частоте пенсионных выплат, либо, зная частоту выплат и величину пенсий, найти продолжительность пенсионного периода и т.д.

Наоборот, для пенсионных схем с установленными выплатами полностью определенной считается пенсионная рента, а рента взносов определена частично. По заданной ставке (или ставкам), величине периода взносов и частоте можно найти требуемую величину взносов или же, по известной величине и частоте взносов — необходимую продолжительность периода взносов и т.д.

Безусловно важнейшую роль в эффективности пенсионного фонда играет доступная ему норма инвестиционных доходов, т.е. ставка накопления. При полностью заданных рентах взносов и пенсий возможность выполнения фондом своих обязательств перед участниками состоит в том, чтобы уровень накопления был достаточно высок. Формально это означает выполнение неравенства

PVp(CB,r)>PVp(CR,r (13.50)

которое называется условием финансовой обеспеченности схемы относительно ставок /"- и / + . Если неравенство в (13.50) строгое, то схема называется перефинансированной (или сверхобеспеченной). При выполнении противоположного неравенства

PVf(CB,l-)<PVf{CRX)

схема называется недофинансированной (необеспеченной). В случае равенства в (13.50) схема называется сбалансированной. Сверхобеспеченность схемы означает, что при заданных ставках /~ и / + и ренте взносов можно выплачивать (или назначать) ббльшую пенсию с тем же сроком и частотой или ту же пенсию с той же частотой, но с большим сроком, или же есть возможность назначить пенсию со всеми теми же параметрами, но при этом уменьшить либо размер, либо продолжительность взносов и т.д. Естественно, что необеспеченность (недофинансирован -ность) требует обратных по смыслу действий.

ПримерІЗ.12. Согласно пенсионной схеме участник, вступивший в нее в возрасте 30 лет, в обмен на ежемесячные взносы по Ж100 должен после достижения пенсионного возраста 60 лет получать ежемесячную пожизненную (вечную) пенсию в размере „-#1500. Может ли пенсионный фонд выполнить свои обязательства, если ставка накопления фонда равна для периода взносов 6\% годовых, а для пенсионного периода 12\%, начисляемых ежемесячно? Каков должен быть минимальный уровень ставки накопления для пенсионного периода, чтобы фонд мог выполнить свои обязательства перед участником?

Решение. Участник схемы обязан сделать 12 • 30 = 360 взносов в конце каждого месяца. Поскольку месячная ставка накопления для взносов /мес =. 0,06/12 = 0,005, то накопленная к моменту выхода на пенсию пенсионная сумма составит

^^ = 100.5^^=100451,50(^).

Для того чтобы фонд мог выполнить обязательства перед участником, необходимо, чтобы

S+>PVp(CR,r).

Текущая (к началу пенсионного периода) стоимость всех пенсионных выплат для месячной пенсионной ставки /^=0,12/12 = 0,01 равна текущей стоимости вечной

рєнтьі  pvp (с/г, / ♦) * А = І*» = 150000

'        С o,oi

Таким образом, для пенсионной ставки накопления /^=1\% фонд не может выполнить своих обязательств, поскольку пенсионная сумма 5* = L-ЭУЮО 451,50 меньше требуемой для обеспечения выплат суммы „-#150 000. Иными словами, для заданных ставок схема не обеспечена (недофинансирована). Для ее обеспечения следует увеличить (при постоянстве остальных параметров) ставку накопления для пенсионного периода. Минимальную месячную ставку, требуемую для обеспечения пенсионной схемы, можно найти из уравнения баланса

S+ = PVp(CR,r)

или

Отсюда

что соответствует номинальной годовой ставке

= 12/^ = 0,1792, или 17,92\% годовых, либо эффективной годовой ставке

'■; = (l + C.cf- 1 = 0,1947,

т.е. 19,47\%.

Рассмотрим подробно несколько типичных пенсионных схем и приведем связанные с ними расчеты. Чтобы не загромождать изложение сложными формулами и вычислениями, ограничимся пенсионными схемами с постоянными взносами и выплатами. Более общие случаи рассматриваются аналогично, а различие состоит лишь в требуемом объеме и сложности вычислений.

Далее в качестве временнбй шкалы выбирается годовая шкала. Символом S+(t) обозначим пенсионные накопления к моменту /. Состояние пенсионного счета, понимаемое как состояние счета соответствующей финансовой операции, противоположно по знаку, т.е. S(t) = —S+(t).

Пенсионные схемы с установленными взносами. Рассмотрим пенсионную схему, в которой рента взносов является /и-летней ^-кратной рентой (см. § 12.2) с постоянными по величине платежами. Пусть годовой взнос составляетВ . Следовательно, рента взносов имеет вид

 

Взнос за один период ренты длиной h = jq равен

Общее число взносов: Af = mq.

Пусть/- — эффективная годовая ставка для периода взносов. К концу периода взносов на пенсионном счете участника будет накоплена сумма

S: = S+(tm) = FV!m(CB) = B^r=BsMr_,

(13.51)

где ih — ставка за перид h ренты взносов.

Пенсионная сумма, накопленная к моменту/? выхода на пенсию,

Подпись:

(13.52)

Равенства (13.51), (13.52) полностью определяют величину пенсионных накоплений S+(p). Соответственно к началу периода пенсионных выплат накопленная сумма

г(*.)=*+оо(1+'*Г'-

Учитывая упрощающее соглашение, что tm=p~ г0, получим

S-{t„) = S*{p) = S'(xt).

Теперь для полного определения пенсионной схемы с постоянными пенсионными выплатами необходимо задать два из трех параметров пенсионной ренты и, конечно, ставку накопления /+ за пенсионный период. Недостающий параметр определяется из уравнения баланса.

Рассмотрим два варианта расчета пенсионной схемы с установленными взносами при заданных сроке и частоте выплат.

В первом случае речь идет о срочной пенсии с известным сроком п лет и заданной частотой г = 1// пенсионных выплат. Задача состоит в определении величины пенсионных выплат. Во втором — величина и частота выплат известны и нужно найти продолжительность (срок) пенсионных выплат.

Начнем с первого случая. Пусть пенсионная рента имеет срок п лет и пенсия выплачивается г раз в году. Если годовую пенсию обозначить Rv то пенсионную ренту можно записать в виде

с/>=л,а(;)-

Заметим, что отдельная пенсионная выплата R = R^ /г, а общее число таких выплат N = nr.

Размер пенсионной выплаты можно найти из уравнения баланса

Sp) = PVp(CP) = R,at = R^. (13.53)

где /,+ — ставка за период / пенсионной ренты.

Пример 13.13. Найти ежемесячную пенсию, выплачиваемую в течение 20 лет участнику, вступившему в схему в возрасте 30 лет. Ежеквартальные взносы по .#200 вносятся до наступления пенсионного возраста (60 лет). Ставка накопления для периода взносов 10\% годовых с ежеквартальным начислением, ставка для пенсионного периода — 12\% годовых с ежемесячным начислением.

Решение. Из условия примера определим параметры ренты взносов

т = 30;   <? = 4;   М = mq = 120;   /<4|=0,1;   В = Л200. Пенсионная сумма к моменту выхода участника на пенсию будет

S'=Bs^.. = 200j—,„= 200 ^ + °>025^   "' ^146865,20(.#).

пішяі   0 025

Пусть R — ежемесячная пенсия. По условию срок пенсионной ренты п = 20, следовательно, общее число пенсионных выплат /V = 240. Уравнение баланса имеет вид

5-146865,20 = Д^.и = Л^(Ш.

Отсюда величина ежемесячной пенсии

й= 146865^ 16|7ПИ

 

Остановимся на втором случае схем с установленными взносами, когда известен размер пенсии. Такие схемы иногда называют амортизационными, поскольку пенсия выплачивается до полного исчерпания (амортизации) пенсионной суммы.

Пусть R — известная годовая пенсия; R — отдельная пенсионная выплата. При этом R = RJr. Тогда продолжительность пенсионного периода в годах находится из уравнения (13.53), Число пенсионных выплат N обычно находят из уравнения

 

S+(p)=Ra7,i; = R~{ 1

 

Полагая a^l + if, получаем

 

д-л =i   П±, (13.54)

R

Поскольку if>0 и, следовательно, at > 0, то для разрешимости уравнения (13.54) относительно N (N > 0) необходимо, чтобы его правая часть была положительной, т.е.

 

1          ^->0.

R

Отсюда следует необходимость выполнения неравенства

R>S+(p)i;. (13.55)

Смысл (13.55) достаточно прост. Чтобы пенсионный период имел конечный срок, выплачиваемая пенсия должна превышать начисляемые на пенсионную сумму проценты. Это условие, по существу, идентично условию нормальности схемы погашения (см. § 13.3). Если неравенство (13.55) не выполняется, т.е. если

R<S+(p)i;, (13.56)

то выплата пенсий может осуществляться исключительно за счет накопленных процентов без уменьшения пенсионной суммы. При постоянстве ставки накопления /,+ это означает, что пенсионная рента будет вечной.

Таким образом, для любой ставки накопления /,+ и заданной пенсионной суммы S+(p) участник схемы может получать вечную (пожиз-. ненную) пенсию, если величина R удовлетворяет неравенству (13.56). При этом максимальный размер такой пенсии

 

(13.57)

Предположим, что выполняется условие (13.55), т.е. период пенсионных выплат конечен. Тогда (13.54) имеет единственное решение

Подпись:

 

(13.58)

 

Отметим, что N обозначает число пенсионных выплат, так что по своему смыслу это целое число. Конечно, при заданных параметрах S+(p), R, /* выражение (13.58) не обязательно будет целым числом. Эта проблема обсуждалась в § 12.4. Стандартный подход состоит в том, чтобы в качестве целого N брать целую часть значения, задаваемого выражением (13.58). При этом можно брать как меньшую, так и бблыпую целые части (лучше всего ближайшую) в качестве пенсионной ренты использовать ренту с полученным целым числом платежей и заданной величиной R. Исключение составляет последняя выплата, которая будет чуть больше, если в качестве числа выплат берется меньшая целая часть:

 

или меньше, если в качестве Доберется большая целая часть:

iog(i-5-(P)/;/j?) iog(i+/;)

 

Поправка к пенсионной выплате R определяется из условия баланса (см. § 12.4), Определив число пенсионных выплат, можно найти срок ренты в годах:

N г

где г — частота (кратность) пенсионных выплат в году.

П р и м е р 13.14. Участник пенсионной схемы вносил ежемесячно по .#50 в течение 20 лет до момента выхода на пенсию. Найти: а) накопленную пенсионную сумму, если последний взнос участник сделал в день своего 60-летия и ставка накопления для периода взносов равна 7,8\% годовых, начисляемых ежемесячно; б) максимальный размер ежемесячной пожизненной (вечной) пенсии, выплачиваемой с первого месяца после достижения участником 60-летия. Ставка накопления для пенсионного периода 12\%, начисляемых ежемесячно; в) число ежемесячных пенсионных выплат, если их размер .^400, а ставка накопления та же, что и в п. б).

Р е ш е н и е. а) Пенсионная сумма

^+ = 505Шад;8 =28 729,68(.#);

б)         при ставке /*^12 =0,01 пожизненная (вечная) пенсия, согласно (13.57),

д = 5ч;;12 = 287,зор?).

в)         согласно формуле (13.58), получаем

 

log(l+0,0l)

Таким образом, пенсионный период составляет 127 месяцев. При этом последняя заключительная пенсионная выплата будет больше всех остальных выплат по .#400 на величину, равную поправке

/3 = Г(1+0,01)Ш -400^, =120,42(3?).

 

Следовательно, последняя выплата равна

400 + 120,42 = 520,42(.#).

 

Пенсионные схемы с установленными выплатами. В схемах этого вида полностью определенной считается пенсионная рента, а расчет схемы заключается в определении некоторых характеристик ренты взносов. Одной из наиболее распространенных задач является задача о нахождении величины взносов при известной продолжительности и частоте. Размер взноса определяется из основного балансового уравнения

 

1 ти     1 mi

или, переходя к периодам платежей взносов и пенсий,

 

где М — qm — число взносов; h = /q — период ренты взносов. Следовательно, для величины взносов получаем выражение

Пример 13.15. По пенсионному плану участнику схемы должна выплачиваться ежемесячная пенсия .#500 в течение 20 лет. Каков должен быть ежемесячный взнос, чтобы пенсионных накоплений было достаточно для выплаты такой пенсии? Возраст вступления участника в схему — 25 лет, а пенсионный возраст — 60 лег. Взносы вносятся до наступления пенсионного возраста. Ставка накопления для всего периода действия схемы постоянна и равна 10\% годовых.

Решение. Найдем сначала месячную ставку і эквивалентную заданной годовой ставке / = 0,1:

V12 = (1 + 0,1)^ -1 = 0,007974, или 0,7974\%.

Теперь легко найти пенсионную сумму, требуемую для обеспечения пенсионных выплат:

^ = 50К£, =500^да74 = 53382,33(.*). Тогда ежемесячный взнос можно определить из уравнения баланса

 

Отсюда В = 74,33(.#).

Задача о нахождении продолжительности периода взносов или, что то же, о нахождении числа взносов решается аналогично задаче о нахождении числа пенсионных выплат. Все сводится к определению срока некоторой стандартной (или простой) ренты. Эта задача подробно рассмотрена в гл. 12 и проиллюстрирована выше нахождением числа пенсионных выплат. Поэтому на этом вопросе мы останавливаться не будем.

Мы ограничились анализом простейших видов пенсионных схем, прежде всего схем с постоянными взносами и выплатами. На практике, конечно, как взносы, так и выплаты могут меняться. Так, взносы часто определяются как процент от заработной платы участника, который может меняться со временем. Выплачиваемые пенсии могут индексироваться в соответствии с тем или иным индексом, например индексом розничных цен и т.д. Анализ и расчет таких схем, конечно, технически более сложен, однако общие принципы, используемые при этом, вполне аналогичны тем, что применялись нами в простейшем случае схем с постоянными платежами.

 

Вопросы и упражнения

1. Что такое схема погашения долга? Как определяется баланс (остаток) долга: а) по ретроспективному и б) проспективному методам?

 

Опишите основные виды схем погашения долга: а) облигационную; б) с постоянными платежами;.в) равномерную амортизационную.

Что такое фонд погашения? Как связаны между собой остаток долга и состояние фонда погашения?

Получите выражения для основной и процентной частей накопительного платежа для схемы погашения: а) с постоянными платежами; б) равномерной амортизацией долга.

Выпишите уравнения баланса и состояния счета в непрерывной схеме погашения с постоянными силой процентов и плотностью потока платежей.

Опишите основные виды пенсионных схем. Составьте общее уравнение баланса для пенсионной схемы с заданными потоками взносов и пенсий и фиксированной ставкой накопления /.

Дайте определение различных видов степеней обеспеченности пенсионной схемы: а) недофинансированной; б) перефинансированной; в) сбалансированной.

 

Задачи

Инвестиционный проект требует .#100 ООО начальных затрат. Доходы от реализации проекта составляют следующий поток платежей:

СТ= {(-1, 30 ООО), (2, 70 ООО), (3, 40 000)}.

Если процентная ставка составляет 5\% годовых, то имеет ли смысл вкладывать деньги в этот проект?

Должник погашает долг ежемесячными платежами. Сумма долга .^8000, процентная ставка по кредиту составляет 40\% годовых. В конце 1-го месяца инвестор выплатил .-^1000, в конце второго — .#2000. Сколько из второй выплаты ушло на проценты? Каков невыплаченный остаток долга?

Кредит в ,#100 000 выдан на 5 лет и оплачивается ежегодными платежами. Выплаты за первые три года составили: J?3000, .#4000 и .#2000. Если процентная ставка по кредиту составит 10\% годовых, то какая часть из третьей выплаты приходится на погашение основного долга?

Пенсионный фонд предлагает схему со следующими условиями. Накопительный период составляет 4 года с полугодовыми взносами по .#2000 в начале каждого полугодия. С конца 4-го года вкладчику выплачивается пенсия в течение 10 лет ежемесячно. Доходность для периода накопления равна 20\% годовых номинально, а для пенсионного периода — 10\% эффективно. Каковы годовые пенсионные выплаты?

Пенсионный фонд обещает выплачивать ежегодную пенсию в .#2000 в течение 10 лет с 60-летнего возраста в обмен на единовременный взнос .#5000 в возрасте 40 лет. Если ставка накопления на активы фонда не превышает 10\% годовых, может ли фонд выполнить свои обещания?

Вкладчик вносит в фонд .#5000 в виде единовременного взноса. По выбранной пенсионной схеме он будет получать .#500 ежемесячно (в конце каждого месяца) после достижения 60 лет. Сколько выплат пенсий получит вкладчик и какова общая сумма пенсионных выплат, если при вступлении в фонд возраст вкладчика 55 лет, а номинальная процентная ставка, обеспечиваемая фондом по вкладам, составляет 24\% в год?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |