Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

14.1. доходность в простейшем случае

 

Доходность сделки за период. Пусть в некоторый начальный момент времени /0 инвестор располагает суммой SQi которая представляет собой его начальный инвестиционный капитал. Разместив тем или иным образом этот капитал на некоторое время или инвестиционный период, он к концу этого периода /, будет обладать суммой Sr представляющей общий результат инвестиционной операции за указанный период. В благоприятном случае, т.е. при Si > SQ, говорят, что инвестор получает инвестиционный доход (или инвестиционную прибыль)

 

f=SrS0;

в противном случае, т.е. при Sx < S0, имеет место убыток.

Важно отметить, что суммы S0 и 5Р представляющие начальную и конечную величины инвестиционного капитала, связаны с определенными моментами времени, тогда как величина инвестиционного дохода / связана с временным промежутком, в данном случае с инвестиционным периодом, который можно представить отрезком [t(), іл длины T=tx — t0.

Строго говоря, приведенное вполне элементарное описание простейшей инвестиционной операции связано не с простотой самой сделки, ас ее простейшей моделью. Простота модели заключается втом, что она оперирует с минимальным набором характеристик — параметров сделки: указаны начало и конец инвестиционного периода — ro, г и две суммы S(j, Sr соответствующие этим моментам времени. В таком описании мы полностью отвлекаемся от того, каким образом был достигнут результат, т.е. сумма S{, в какие активы размещал инвестор свои средства, как он управлял ими в течение всего периода и т.п. В дальнейшем нам придется более внимательно присмотреться к тому, «что происходит» в течение инвестиционного периода, но из анализа даже такого весьма обобщенного описания инвестиционного процесса можно извлечь много полезного.

Следует заметить, что ряд реальных финансовых операций полностью укладывается в приведенную схему. К ним, например, относится простая кредитная сделка (см. гл. 2). Кредитные сделки, например открытие депозита в банке, покупка депозитных и сберегательных сертификатов и т.п., составляют значительную часть финансовых сделок.

Описав простейшую финансовую сделку (или ее модель), мы неизбежно придем к вопросу о том, как охарактеризовать ее «эффективность». Под эффективностью понимается инвестиционная эффективность, т.е. насколько успешно инвестор или лицо, управляющее капиталом, распорядилось имеющимися средствами. Желая найти адекватную меру или показатель эффективности, следует помнить, что необходимость такой меры связана прежде всего не с описанием конкретной операции. С индивидуальной точки зрения приведенные выше параметры (в рамках простейшей модели) полностью ее описывают. Проблема возникает, когда мы хотим сравнить две операции, два инвестиционных процесса и т.п. Так, нас может интересовать вопрос, какая из схем погашения долга выгоднее для должника, какая из пенсионных схем выгоднее для участника схемы, какой из двух инвестиционных или пенсионных фондов (работающие, например, с одними и теми же классами активов) управляется лучше. Интерес может представлять также сравнение деятельности одного и того же фонда в разные периоды времени.

Интуитивно ясно, что хотя величина начального капитала может играть      -^?Ю0 .#1100

важную роль в инвестиционном про-        1          1         

цессе, сама по себе она не является         0          а 1

характеристикой эффективности инве-

стиций. Можно хорошо управлять ма-     „.#10000 .*?11000

лым капиталом и плохо большим. Точ-     t           ,

но так же инвестиционный доход /,           Q ^

представляющий абсолютный, т.е. вы- 6

раженный в денежных единицах, ре-        Рис. 14.1

зультат инвестиций, не может служить

адекватной мерой эффективности. На рис. 14.1 изображены диаграммы двух сделок с одним и тем же инвестиционным доходом /= I ООО за один и тот же период.

Совершенно ясно, что доход в :>? 1 ООО для начального капитала в 100 выглядит намного значительней, чем для капитала в М 3000. Это замечание приводит к необходимости использовать не абсолютные, а относительные характеристики инвестиционного дохода. В финансовой теории и практике наиболее часто используют две такие характеристики: коэффициент роста капитала за период

а = ^- (14.1)

^0

и коэффициент прироста капитала за период

 

35-5169

 

 

 

r = ^ = i- (14.2)

 

Вторая величина используется значительно чаще, и она получила название доходности за период.

Подчеркнем, что так же, как и инвестиционный доход, обе эти характеристики относятся к инвестиционному периоду, т.е. непосредственно связаны с ним. В гл. 1 мы указывали на важность временной привязки финансовых величин. Поэтому, строго говоря, следовало бы писать S(tQ), Sit) и I([tQ, f,]), a( 0, t)), r( 0, tj). Чтобы не загромождать изложение, будем обозначать период времени символом Т, как и длину этого периода, в тех случаях,' когда это не будет приводить к недоразумениям. При этом будем использовать также индексные обозначения. Тогда приведенные выше обозначения перепишутся в виде; St ,S, и L, ат, гт.

Говоря о доходности, мы не употребили никакого дополнения. Доходность чего имеется в виду? Это весьма тонкий вопрос, и много недоразумений возникает на практике из-за недостаточной определенности того, к чему относится вычисляемая тем или иным способом доходность. В рамках нашей простейшей модели ответ естественен: имеется в виду доходность инвестиционной сделки, операции и т.п. Часто говорят также о доходности инвестиций, доходности портфеля и т.п. Эти понятия действительно имеют смысл, но к ним надо подходить с известной осторожностью и четко понимать, что же на самом деле имеется в виду. Ниже мы подробно обсудим эти понятия, а пока подчеркнем, так сказать, активный характер интерпретации доходности как характеристики некоторых действий, операций, процессов и т.д.

Приведенные выражения (14.1) и (14.2) чрезвычайно просты и, как легко заметить, между величинами аТт гтимеется простая связь:

 

или

ат~ 1 + гГ

Пример 14.1. Найти доходности сделок, диаграммы которых изображены на рис. 14.1.

Решение. Для случая а) доходность составит г =      = 10,

^     юоо   П1 100

для б) г =        = 0,1,

10000

что подтверждает вывод о большей эффективности операции а).

і

 

В приведенном примере доходности выражены в долях единицы, на практике часто используют процентное представление. Так, для случая а) доходность составит 1000\%, а для случая б) — 10\%. Хотя в конкретных примерах используются процентные обозначения, в формулах, если не оговорено противное, доходность (и коэффициент роста) всегда будет выражаться в «единицах».

Нормированная доходность. Говоря о целях нахождения показателя эффективности инвестиционных операций, была особо подчеркнута его роль как средства сравнения. Перейдя от абсолютной характеристики инвестиционного дохода / к относительной г, мы «избавились» от привязки к величине начального капитала. Однако определение доходности осталось «неразрывно связано» с заданным инвестиционным периодом. Поэтому, хотя теперь можно сравнивать две операции с разным начальным капиталом, для корректности такого сравнения необходимо, чтобы их инвестиционные периоды совпадали. Таким образом, с помощью введенных величин нельзя непосредственно сравнивать инвестиции с разными периодами (сроками). Один из способов обойти эту трудность состоит в приведении доходности (или коэффициента роста) к некоторому базовому промежутку, на практике это обычно год, но может быть и любой другой промежуток (месяц, полугодие, квартал).

Простейший способ приведения состоит в делении доходности сделки за период на длину периода, выраженную в базовых единицах:

 

Ут=у (14.3)

Важно понимать, что для приведения доходности к заданному базовому промежутку инвестиционный период Г должен быть выражен в единицах, соответствующих этому промежутку, т.е. базовый промежуток должен быть единицей временной шкалы. Так, если доходность приводится к годовому промежутку, то длина инвестиционного периода (срок) должен быть выражен в годах.

Пример 14.2. Пустьдля сделок из примера 14.1 срок Г= 2 года. Найти годовую доходность для обеих сделок.

Решение. Если период приведения — год, то годовая доходность для случая

 

а) у2 =-у = 5, или 500\% годовых, а для случая б) у2 =~ = 0,05, или 5\% годовых.

Операцию приведения доходности к базовому промежутку называют часто нормированием или нормировкой, а приведенную таким образом доходность — нормированной.

Формула (14.3) дает лишь один из многих способов приведения. Чтобы отличить его от других, назовем приведенную этим способом доходность сделки простой нормированной доходностью. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть тот факт, что речь идет о простой

нормированной доходности, будем писать j/rnp Именно этот вид

нормированной доходности использован в анализе сделок с долговыми обязательствами в гл. 2. Можно сказать, что простая нормированная доходность получена приведением доходности сделки к базовому периоду временной шкалы в схеме простых процентов.

Другой распространенный способ нормирования доходности сделки, основанный на использовании, схемы сложных процентов, задается формулой

Уг=(i+<vf-i.

Вычисляемая по этой формуле нормированная доходность сделки называется ее эффективной доходностью. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть тот факт, что речь идет об эффективной нормированной доходности, будем писать у^К Если период сделки совпадает с

единичным периодом временной шкалы (Т ~ 1), то все три вида доходности совпадают:

(пр) (эф)

 

ПрИ ЭТОМ ИНДеКС «1» ОПуСКаЮТ И ПИШУТ Г, y(aPyW>.

Простая и эффективная доходности сделки связаны между собой соотношением

Это соотношение идентично соотношению между номинальной и эффективной процентными ставками (см. гл. 8), что вполне естественно, поскольку процентные ставки представляют собой меры доходностей специальных классов финансовых сделок, а именно кредитных сделок. Поэтому по аналогии с номинальными ставками простую нормированную доходность называют также номинальной доходностью.

Пример 14.3. Для сделок из примера 14.1 найти эффективные годовые доходности.

Решение. Эффективная годовая доходность сделки для случая

а) Уг=у/ + -1 = 2,3167, или 231,67\%, и для б) уг ^jT+oJ-I =0,0489, или 4,89\%.

Заметим, что расхождение в величинах простой и эффективной нормированных доходностей в примерах 14.2 и 14.3 в случае а) существеннее, чем в б).

Вообще, чем меньше доходность за период, тем меньше различие в значениях нормированных доходностей. Данное утверждение основывается на приближенном равенстве

 

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше гт.

Формально приведение к «одному и тому же» базовому промежутку позволяет сравнивать доходность операций с разными периодами (сроками). Содержательно можно сказать, что доходность за период представляет собой доход, который получит инвестор с каждой единицы инвестиционного капитала (т.е. с каждого рубля, доллара и т.п.) за этот период. Продолжая эту аналогию, можно было бы сказать, то нормированная доходность представляет доход, который инвестор получает с каждой единицы капитала в единицу времени (т.е. за каждый базовый промежуток).

Такая интерпретация близка к понятию средней скорости в кинематике. Так, об автомобиле, который находился в пути 10 мин и проделал при этом путь 16 км, можно сказать, что он двигался со средней скоростью 96 км/ч. Если другой автомобиль находился в пути 3 ч и проехал 240 км, то можно сказать, что первый двигался быстрее, поскольку скорость второго автомобиля, равная 80 км/ч, меньше скорости первого.

Сравнение инвестиций по их нормированным доходностям с формальной точки зрения аналогично сравнению движений на промежутках разной длительности по их скорости. Однако саму возможность такого сравнения, а тем более его кинематическую интерпретацию не стоит переоценивать, и вообще к этой процедуре следует подходить с осторожностью. Именно поэтому выше мы взяли в кавычки упоминание о приведении к «одному и тому же промежутку» времени. На самом деле, конечно, речь идет просто о переходе к одной и той же единице времени, т.е. длине базового промежутка, точно так же, как в случае со скоростями. Этим мы не «оторвались» от самих инвестиционных периодов. Нормированная доходность, как и просто доходность за период, относится к заданному инвестиционному периоду, и обе эти величины представляют лишь два эквивалентных способа описания эффективности одной и той же сделки. Таким образом, нормированная доходность, по существу, соотносится с двумя промежутками, первый из которых — инвестиционный, а второй — базовый (промежуток приведения). И лишь выбор общего (по длине!) базового промежутка позволяет сопоставить сделки с разными инвестиционными периодами. В дальнейшем мы будем опускать символ периода сделки Г в обозначении нормированной доходности. Однако следует всегда помнить о неявной, но подразумевающей ее привязке к этому периоду.

Как отмечено в начале обсуждения понятия доходности, выбранная модель операции ничего не говорит о ее «внутренней структуре», т.е. о том, в какие активы вкладывает свои средства инвестор. Реальный процесс инвестирования всегда связан с покупкой и продажей различных акций, облигаций и т.д. Инвестор может составлять из них порт-фель, структура которого может со временем меняться, иными словами, он может управлять портфелем. Стратегия управления состоит в том, какие активы и когда следует покупать и продавать. Но результат инвестиционной деятельности инвестора определяется не только его действиями, но и тем, с чем он работает, или, более точно, характеристиками самих активов. Оказывается, сами активы можно охарактеризовать с точки зрения инвестиционной эффективности. Это приводит к понятию доходности актива и портфеля активов. К обсуждению этих понятий мы и перейдем.

Доходность активов. Рассмотрим какой-нибудь финансовый актив, т.е. ценную бумагу, например акцию или облигацию. Важнейшей характеристикой актива является его цена. Обычно инвестор покупает актив в надежде нарост его цены. Продавая актив по цене выше той, по которой он приобретался, инвестор получает доход, называемый капитальным, т.е. доход от прироста капитала (capital gain). Кроме того, многие активы приносят текущий доход (current income), например по акциям выплачиваются дивиденды, а по облигациям проценты. Сумма этих доходов составляет полный доход (total income) за некоторый период.

Покупка, получение текущего дохода в течение некоторого периода и продажа актива в конце периода представляют собой типичную инвестиционную операцию. Легко найти ее доходность. Пусть актив приобретается по цене PQ в момент t, а продается по цене Р в момент /. Текущий доход за период T=ti — tQ составляет величину DT. Капитальный доход от покупки по цене PQ и продаже по цене Р составит, очевидно,

АР = Р ~ Р

так что полный инвестиционный доход будет равен

 

IT=DT + APT.

Тогда полная доходность описанной сделки за период Т

/т _DT + P1-Pft

гт=^=  1    1    °. (14.4) Р Р

Эта формула полностью аналогична равенству (14.2), поскольку начальный капитал SQ в данном случае совпадает со стоимостью приобретения актива Р0, а конечный капитал S{ складывается из выручки при продаже Рх и полученного текущего дохода, т.е.

 

Эти равенства преобразуют равенство (14.4) в равенство (14.2).

Отметим, что второе равенство подразумевает отнесение текущего дохода к концу периода!

В англоязычной литературе эта доходность называется буквально «доходностью за период владения» (holding period return — HPR).

Заметим, что также как полный инвестиционный доход разлагается в сумму текущего и капитального доходов, так и полная доходность есть сумма

/у" —■ I

текущей

тек _ L'T Г    ~ Р

и капитальной

Р-Р

кап _ 11 J0 Т     ' Р

доходиостей.

Текущий доход — величина неотрицательная, «капитальный доход» АРТможет в реальности быть убытком, если АРТ < 0, т.е. Р{ < Р(у В том случае, когда убыток от падения цены не покрывается текущим доходом, т.е. когда полный доход сделки отрицателен:

IT = DT+ АРТ < О,

доходность за период будет также отрицательной величиной.

Замечание. Говоря о конкретном активе, мы всегда имеем в виду вполне определенную его количественную меру, например одну акцию, десять облигаций и т.д. Поэтому под стоимостью и текущим доходом подразумеваются соответствующие этому количеству значения.

Приведенное выше определение доходности (14.4) основывается на ряде неявно подразумеваемых условий. Главное из них состоит в том, что текущий доход, полученный от актива, не инвестируется внутри периода в тот же или в другие активы, а учитывается в виде наличной денежной суммы, которая относится к концу периода, т.е. кмоменту / Напомним, что текущий доход DT— интервальная величина (см. гл. 1), и ее отнесение к концу периода (т.е. актуализация в смысле гл. 1) есть просто принятое данным определением соглашение. Наконец, предполагая, что инвестор продает актив в конце периода, все суммы в равенстве (14.4) можно рассматривать как наличные.

Пример 14.4. Пусть инвестор купил в начале года 100 акций компании А по пене :??100 каждая. В течение года он получил .#30 дивидендов на каждую акцию. Найти текущий, капитальный и полный доходы и соответствующие годовые доходности, если к концу года цена за акцию выросла до .-.# 150.

Решение. Инвестор вложил в акции в начале года капитал в размере

50= 5? 100- 100 = .#10 000.

Текущий доход, полученный от 100 акций, составит

DT= J?30- 100 = .#3000.

Если к тому же в конце года цена на акции компании А поднялась до .#150, то, продав все акции, в конце года он выручит сумму

Р} = .#150- 100 = ;#15 000,

и его прибыль от прироста пены (капитальный доход) составит

АРТ = .#5000.

Тогда полный годовой инвестиционный доход

IT=Dr+ АРТ = .#3000 + .#5000 = .#8000.

Таким образом, за год полная доходность г = 8000/10 000 = 0,8, или 80\%. Эта доходность есть сумма текущей гтск = 3000/10 000 - 0,3 и капитальной гкя" = 5000/10 000 = = 0,5 годовых доходностей.

Подсчитанная в этом примере доходность называется реализованной, поскольку инвестор действительно получил дивиденды и реализовал, т.е. продал, все акции на рынке, получив доход и от роста цены. На практике, говоря о доходности, не всегда имеют в виду покупку актива с его последующей реализацией. Когда активы, которыми владеет инвестор, не реализуются к концу рассматриваемого периода, а лишь оцениваются по их рыночной стоимости, соответствующие прибыли (убытки) и доходности называют «книжными» (бухгалтерскими, бумажными). Тем не менее даже в этом случае говорят о достигнутой или фактической доходности (хотя и нереализованной), поскольку инвестор или управляющий инвестициями мог реализовать ее, если бы захотел.

Подчеркнем еще раз, так сказать, пассивность описанной выше операции, состоящей в покупке, хранении и, возможно, продаже актива в конце периода. Поскольку инвестор не принимает решений о реинвестировании текущего дохода, то весь инвестиционный доход «обеспечивает» непосредственно лишь сам актив. Именно в этом смысле о доходности такой сделки говорят как о доходности актива за данный период. Таким образом, вообще говоря, под доходностью актива за период понимают доходность соответствующим образом определенной сделки с этим активом. Сделку с активом, удовлетворяющим перечисленным условиям, назовем простой, или стандартной. Напомним, что именно в гл. 2 была определена доходность депозитных сертификатов и векселей.

Замечание. Выше в определении доходностей активов и портфелей, а также при проведении соответствующих вычислений мы неявно исходили из допущения о том, что известны начальные и конечные стоимости, текущий доход и т.д. Это соответствует принятой в данной книге гипотезе полной определенности, касающейся финансовых событий и потоков платежей, связанных с анализируемой финансовой операцией. Конечно, на практике инвестор редко сталкивается с такой ситуацией. Обычно более или менее точно известны лишь текущие цены активов. Ни будущие доходы, ни будущие цены инвестор знать не может. Поэтому, приступая к планированию инвестиций, он вынужден делать прогноз или оценку этих величин и связанных с ними доходностей.

Фактическую, т.е. достигнутую или реализованную, доходность инвестор может определить лишь в конце выбранного инвестиционного периода, и она, конечно, может отличаться, иногда и весьма значительно, от оценочной. Цены и доходности, на которые инвестор ориентируется, называются в этом случае ожидаемыми. Ожидаемые цены и доходности и есть те величины, которые инвестор получает исходя из своего прогноза. Этот прогноз может быть чисто субъективным либо основываться на некотором предварительном анализе, статистической обработке данных и т.п.

В любом случае инвестор должен отдавать себе отчет в том, что ожидание и действительность могут не совпадать. Это несовпадение говорит о толі, что процесс инвестирования сопряжен с риском. Однако ясно, что мера расхождения предполагаемых или ожидаемых значений с действительными в разных ситуациях для различных активов, портфелей и т.д. может быть совершенно различной и инвестору необходимо иметь какую-нибудь количественную оценку такого риска, с тем чтобы он мог им управлять, т.е. выбирать такие активы и портфели, которые наилучшим образом соответствовали бы его инвестиционным целям.

Это приводит нас к задаче построения количественных моделей для оценки ожидаемых значений доходности и риска в инвестиционных задачах, осуществляемых ъ условиях неопределенности. Однако эта тема выходит за рамки настоящей книги.

Формула (14.4) принимает особенно простой вид, если в течение периода Т текущий доход отсутствует, т.е. DT = 0. Тогда доходность актива оценивается лишь начальной Р и конечной Р стоимостями актива:

Р - Р P

р р

Именно этот случай имеет место для государственных краткосрочных облигаций (ГКО), которые являются бескупонными, т.е. по ним не выплачиваются проценты в течение всего срока до погашения.

Таким образом, любая сделка с облигациями этого вида связана с двумя суммами: стоимостью покупки и суммой, вырученной при продаже или при погашении. В реальном случае, конечно, необходим учет комиссионных затрат, которые здесь для упрощения изложения игнорируются.

Пример 14.5. Пусть инвестор приобрел 1 ноября 1995 г. облигацию 50-го выпуска со сроком погашения 98 дней по цене 78,60\% от номинала. Найти доходность сделки за период до погашения и соответствующие простую и эффективную годовые доходности, используя правило АСТ/365.

Решение. Доходность сделки за период до погашения

100-78,60 _„__

_ _       >— -0,2723, или 27,23\%.

г 78,60

Срок сделки в годах по правилу АСТ/365 составит

98

Г= — = 0,2685 (год). 365

Простая годовая доходность сделки

у«р) ^^££££ = 1014? или 101,4\% годовых; 0,2685

эффективная годовая доходность

У3*' =(1+0,2723)^ -1 = 1,4519, или 145,19\% годовых.

 

Вернемся к случаю наличия текущего дохода. Если актив, приобретенный инвестором, не продается в конце рассматриваемого периода, который в таком случае правильнее было бы называть не инвестиционным, а периодом оценки инвестиций, то в конце этого периода у инвестора будут наличные деньги, составляющие текущий доход, и некоторое «количество единиц» актива. Иными словами, даже в этом простейшем случае инвестор, по существу, имеет дело не с одним активом, а с портфелем активов, в данном случае двух, один из которых исходный актив, а другой — наличные деньги.

Выше говорилось, что актив обладает ценой и, возможно, приносит текущий доход. Если деньги рассматривать как актив непосредственно, то их цена будет просто совпадать с номиналом (т.е. денежной еди-

 

ницей), а текущий доход наличные деньги не дают. Это не противоречит тому, что, например, по банковскому депозиту, который открывается вложением наличной суммы в банк, выплачиваются проценты. Банковский депозит представляет собой актив, отличный от вложенных денег, а вложенная сумма — лишь стоимость приобретения этого актива.

Если при анализе доходности одного актива можно обойтись без понятия портфеля, учитывая, что текущий доход не инвестируется, то при его инвестировании, особенно в активы, отличные от исходного, без понятия портфеля уже не обойтись и от понятия доходности актива приходится переходить к понятию доходности портфеля.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |