Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

14.4. временная декомпозиция финансовых сделок и усреднение доходности

В предыдущем параграфе мы рассмотрели соотношение между доходностью портфеля и доходностями составляющих этот портфель

 

активов. Тем самым была осуществлена структурная декомпозиция (разложение) доходности портфельной сделки на отдельные компоненты, связанные с доходностями отдельных активов портфеля и степенью их влияния на доходность всего портфеля.

Заметим, что доходности активов являются внешними по отношению к инвестору или управляющему портфелем характеристиками сделки, поскольку не зависят от действий инвестора или управляющего. В самом деле, доходность, например, конкретного вида акций зависит от изменений цены на эти акции и выплачиваемых по этим ценам дивидендов, которые определяются прежде всего степенью успешности деятельности эмитента, т.е. корпорации (фирмы), выпустившей эти акции.

Конечно, имеются и другие факторы, например общеэкономические (экономическая конъюнктура, инфляция), рыночные, связанные со спросом и предложением этих акций, и др. Но в обычной ситуации лицо, осуществляющее сделку (инвестор, управляющий портфелем, и т.п.), не может влиять на доходность актива. Говоря об обычной ситуации, исключаем ситуации, допускающие возможность такого влияния. Оно возможно, если в качестве лица, осуществляющего сделку, выступает сам эмитент или тесно связанные с ним лица (например, менеджеры компании, выпустившей акции).

Возможность влиять на цены акций имеется и у крупных институционных инвесторов при покупке или продаже крупных пакетов акций, например скупке акций с целью поглощения компании. Однако в типичных, наиболее распространенных случаях такой возможности у лица, осуществляющего сделку, нет и он принимает цены, дивиденды, а следовательно, и определяемые ими доходности как заданные.

С другой стороны, инвестор может полностью распоряжаться собственным капиталом, в частности решать, сколько, когда и во что инвестировать. В меньшей степени это касается наемных управляющих капиталами, поскольку последние, не будучи владельцами инвестируемого капитала, не полностью свободны в выборе инвестиционного решения. Они управляют капиталом прежде всего в интересах собственников этого капитала. Конечно, управление предусматривает определенную свободу выбора, но она ограничена требованиями, предписываемыми собственниками капитала. Наконец, многие институциональные инвесторы (банки, страховые компании, фонды) ограничены в своих действиях и рамками законодательства, а также требованиями, предписываемыми различными надзорными и регулирующими органами.

Структурная декомпозиция доходности связана с анализом влияния на эффективность финансовой операции того, во что инвестирован капитал и сколько вложено средств. В § 14.2 отмечена важность учета тех моментов времени, когда осуществлялись различные действия, связанные с реализацией финансовой сделки, в частности вложения/изъятия капитала и реинвестиции. Этот учитываемый фактор связан с временнбй стоимостью денег — центральной темой данной книги.

В рамках простейшей модели финансовой сделки, оперирующей лишь с двумя суммами, относящимися к начальному и конечному моменту сделки, оценка эффективности более сложной сделки по формулам (14.5), (14.5') невозможна. Для этого необходима соответственно и более полная детализация сделки во времени, связанная с более полным и более точным временном учетом денежных сумм, участвующих в сделке. Такую операцию назовем временной декомпозицией сделки. Степень детализации, связанной с этой декомпозицией, определяется конкретными условиями сделки. Если сделка стандартна, т.е. портфель формируется один раз в начале периода, весь текущий доход хранится в начальной форме до конца периода и никаких вложений, изъятий, реинвестиций и перестройки портфеля в течение периода не делается, иными словами, сделка абсолютно пассивна, то формулы (14.5), (14.5') и их нормированные варианты (т.е. соответствующие простая и эффективная доходности) являются адекватными характеристиками сделки. Кроме того, в этом случае в полной мере выполняется соотношение (4.9), т.е. доходность сделки (портфеля) полностью определяется доходностями активов, участвующих в сделке.

В более общем случае, т.е. при наличии различных «внутренних» по отношению к периоду оценки операций, необходим их учет. Назовем моменты, соответствующие этим операциям, критическими моментами сделки. К ним отнесем также начальный и конечный моменты.

Временная декомпозиция сделки. Критические моменты разбивают сделки на подпериоды, которые также назовем критическими. В пределах каждого подпериода сделку можно считать стандартной (пассивной), поскольку внутри подпериодов нет никаких «внутренних» операций. Для любого момента из этих подпериодов (отличного от концов!) определена структура портфеля активов, участвующих в сделке. При этом в абсолютном смысле эта структура остается неизменной внутри критического периода, В концах подпериодов, т.е. в критические моменты, структура портфеля, строго говоря, не определена, поскольку в эти моменты возможна перестройка портфеля активов сделки, дополнительные инвестиции или изъятия. Но в то же время непосредственно перед и сразу после критического момента структура портфеля и его стоимость являются полностью определенными.

Таким образом, для каждого критического момента tk можно определить два портфеля ^" = я(/;)и\%+ = я(^) и соответствующие им стоимости v~ ~v[nl) и vk* = v[tz£}. Соответствующая временная диаграмма изображена нарис. 14.2.

В этом разделе мы несколько _

изменили обозначение «завер-        Vh = V(n„)   vk = V(K?)

шенного состояния» (см. ГЛ. 1), —і                       '   і '      1—

так как, согласно последнему,     (  t f

следовало бы, например, писать     ы         * *f1

Рис. 14.2

просто vk вместо vk+ и т.д. Эти

изменения внесены сознательно, чтобы подчеркнуть, каков был итог непосредственно перед критическим моментом tk и сразу после этого момента.

Поскольку в пределах критического подпериода исходная сделка является пассивной, то с этим периодом можно связать простую стандартную сделку, описываемую лишь двумя финансовыми характеристиками (состояниями) сделки в начале и конце периода. Более точно, для к-то критического периода [tkl, tk] определим стандартную финансовую частичную сделку, заключающуюся в формировании портфеля п+кЛ из активовAv А2,...,Ап по ценам Px(tk_l), P2(tk_ P„(tk_x) общей стоимостью sk~_x:

с-  _ г/+

°к- - Yk-V

В течение критического периода по портфелю получен текущий доход от всех активов, который, согласно принятому принципу актуализации, независимо от того, хранится ли он в действительности в наличной форме до конца tk периода или распределяется внутри периода, в модели будет отнесен к моменту tk (т.е. актуализирован в этот момент). В конце периода портфель имеет стоимость vk , а учитывая и текущий доход dk, отнесенный к концу периода, общий результат sk стандартной сделки можно описать как сумму

Заметим, что знак «минус» в обозначении Sk_} указывает на инвестиции (расход), тогда как «плюс» в обозначении Sk+ — на приход (доход) по отношению к описываемой финансовой сделке.

Из введенных обозначений ясно, что моменту / приписаны две

величины — Sk и Sk, причем S~    и ^=5(/Л, т.е. Sk «учиты-

вается» сразу после момента tk — это инвестиции в начале периода

[tk, tk+l], a Sk непосредственно перед tfc — это полный капитал, полученный к концу периода [tk_v tk. Считая, что сделка начинается в момент /0 и завершается (реально или теоретически) в момент tn, можем также полагать, что

            1          .і         

 

т.е. в начальный момент нет на-

копления (дохода), а в конечный

момент нет инвестиций. Диаг-

рамма такой сделки представле-

на на рис. 14.3.

Рис. 14.3         Этой сделке соответствует до-

ходность

r{k) = Sk~Sk- = У !

 

за период Tk = tk-tk_r

Таким образом, временная декомпозиция исходной сделки порождает семейство доходностей г(!), /*(2),...> г(я) и соответствующие им нормированные простые и эффективные доходности.

Для того чтобы охарактеризовать исходную сделку в целом, на практике используют различные методы получения интегральной характеристики эффективности по указанным наборам доходностей. Наиболее распространены так называемые методы усреднения, которые в качестве доходности сделки в целом дают взвешенные средние от доходностей частичных сделок.

Среднеарифметическая доходность. Простейший метод усреднения состоит в арифметическом усреднении, при котором простая нормированная доходность сделки определяется как

„(1)  , „(2) .       , „(л) _{пр) _г    +г    + .-.+Г

У         ~~        гр '

 

где Т= Т{ + Т2 + ... + Тп — период всей сделки.

Используя простые нормированные доходности частичных сделок, это выражение можно переписать в виде

?М =      +Уау- +У(Х ,Т[/1 +ьут + ^ту„; (]4Л2)

 

где

(14.13)

 

— временной вес /с-й частичной сделки. Чаще всего эту формулу применяют к разбиению периода оценки доходности на промежутки одинаковой длины. Тогда, если

Т = Т= ... = т

12        л,

то,очевидно,

1' k      у   к   1,2,..., п, п

и, следовательно, получаем

,,(1)  > ,,(2) ,       , !>)

_м = у + у       + У   ^ (]4М)

 

т.е. простая нормированная доходность сделки за весь период равна средней арифметической простых нормированных доходностей соответствующих частичных сделок.

Пример 14.10. Рассматривается двухпериодная сделка (считая период равным единице временной шкалы) с начальным капиталом .#100 ООО. Весь капитал инвестирован в портфель (неденежных) активов. К. концу первого периода стоимость портфеля возрастает до .Ж 20 ООО и остается неизменной до конца 2-го периода. Текущий доход за первый период составляет :9?20 ООО, а за второй — .#30 000. Этот доход не реинвестируется, а распределяется. Найти частичные доходности и доходность сделки в целом.

Решение. Рассмотрим первый период. Доходность сделки за этот период

о»   20+20  л . .л„

г("     = о,4, или 40\%.

100

Для второго периода доходность составляет

г'м=^І5 = 0,25, или 25Ж. 120

Таким образом, средняя арифметическая (нормированная) доходность сделки

_м = 0,4 + 0,25 = Q ^

Заметим, что поскольку ни реинвестирования, ни дополнительных вложений и изъятий в этой сделке нет, то, отнеся весь текущий доход и накопленную стоимость портфеля к концу, а начальные инвестиции к началу всего периода сделки, в соответствии с формулой (14.5'), получим доходность сделки 20 + 50 Л7

г-         — = 0,7,

100

или 70\%, а соответствующая простая нормированная доходность сделки

уМ=И = 0,35, У 2

или 35\%, что не совпадает со средней арифметической доходностью У'1р) = 32,5\%. Обсудим причины этого ниже.

Среднегеометрическая доходность. Другим способом усреднения является геометрическое или эффективное усреднение. Для этого сначала находят общий коэффициент роста за весь период сделки как произведение частичных коэффициентов:

 

*г=в('У2,,...,ды, (14.5)

где

fl№)=l + r(* А; = 1,2,..., л.

Этому коэффициенту роста соответствует нормированная эффективная доходность

 

Отсюда с учетом (14.15) получаем явное выражение для эффективной нормированной доходности

 

которая называется среднегеометрической доходностью.

Используя эффективные доходности у\^ ,у^\>..*у^ (частичных сделок), последнее равенство можно переписать в виде

^і=[(і+у"Г(і+/,Г- (і+у-'Г'Г-1

или

 

где тк — временной вес k-ft частичной сделки, определяемый формулой (14.13).

Для разбиения с одинаковыми по длине подпериодами имеем, что rk — /п, и формула (14.16) примет следующий вид:

З?(зф)=^(і + У1,)(і + У2))...(і + У,,,)-1. (14-17)

Правая ее часть есть не что иное, как обычное среднегеометрическое эффективных доходностей, соответствующих частичным сделкам. Этим, собственно, и вызвано название доходности, определяемой формулой (14.16), как среднегеометрической доходности.

Обсуждение арифметической и геометрической доходностей. Рассмотрим более подробно два способа усреднения доходности «сложной» сделки с периодом оценки, разбитым на подпериоды. Результаты этих усреднений, осуществляемых с весами tv tт определяются формулами (14.12), (14.16) и характеризуют соответственно среднеарифметическую и среднегеометрическую доходности. В случае разбиения периода сделки на одинаковые подпериоды с одинаковыми весами, равными 1/п, результаты соответствующих усреднений задаются формулами (14.14) и (14.17).

Наконец, следует отметить, что при арифметическом усреднении по нормированным доходностям берутся простые, а при геометрическом усреднении — эффективные доходности.

В дальнейшем среднеарифметическую доходность сделки будем

обозначать простор, а среднегеометрическую—у^}, так что у(а) - у^

—(эф)

 

Пример 14.11. Найти для сделки из предыдущего примера среднегеометрическую

доходность.

Решение. Поскольку в этой сделке подпериоды единичные, то

yUw=r(i)=0i4; уШ = г® =Qi25

и, следовательно,

yg = V(l + r"!)(l + fi) =    + 0,4)(1 + 0,25)-1 = 0,3229, или 32,29\%. Если период сделки разбит на единичные подпериоды, то

Jk) __    (пр) _ (эф) '      _ У k     ~ У к

11        r(»+r(2)+... + rw

Уь>=  

у  =^/(i + r(,))(l + /-(2))...(l+/fl))-l

и в силу неравенства Коши — Буняковского

 

т.е. среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая. Примеры 14.10 и 14.11 подтверждают этот факт.

Остановимся на некоторых аспектах практического использования средних доходностей. Рассмотрим случай, когда на каждом подперио-де реализуется стандартная сделка с одним и тем же инвестируемым капиталом.

Используя введенные выше обозначения, это условие можно записать в виде

К0=50- = £Г = ... = £;. (14.18)

Это означает, что в каждом периоде весь положительный доход Мк = Sk-Sk\{ >0), т.е. как текущий Dk, так и ценовой AVk = Vk - Vk_x, распределяется и, значит, не реинвестируется. В случае же отрицательного дохода (S^-S^ <0) требуется дополнительное вложение на эту сумму для восстановления фиксированной величины инвестируемого капитала.

Предполагая, что денежная часть относится к концу tn сделки (т.е. актуализируется в этот момент), в силу условия (14.18) получаем, что среднеарифметическая доходность, равная

 

 

фактически совпадает с доходностью «полной» сделки за период [t(V fj без разбиения его на подпериоды, определяемой формулой (14.5').

Так, для сделки из примеров 14.10 и 14.11 арифметическая средняя доходность не совпадает с нормированной доходностью, вычисленной по базовой формуле (14.5*). Если же эту сделку скорректировать в соответствии с условием (14.18), то эти доходности совпадут. В самом деле, инвестировав в начале VQ = SQ = :J/?100 тыс., инвестор в конце первого периода получит текущий доход D{ = .#20 тыс. и портфель стоимостью V = .#120 тыс. Реализовав часть активов портфеля на сумму ;#20 тыс., иными словами, 1/6 часть портфеля и распределив ее вместе с текущим доходом, что дает общую сумму Мх = #40 тыс., инвестор останется с портфелем стоимостью в .#100 тыс., так что капитал, инвестируемый на второй период, остается тем же самым. В конце второго периода стоимость портфеля по условию не меняется, а текущий доход от оставшейся части (пропорционально уменьшенный на 1/6) составит

 

2    2 6

Таким образом, полный доход от такой сделки составит

/ = Л/, + Л/, = 40 + 25 = .'#65 тыс.

и, значит, доходность сделки за два периода будет

Подпись:
или 65\%, а нормированная простая доходность

У""» =1 = 0,325, у 2

или 32,5\%, что совпадает со среднеарифметической доходностью.

Среднеарифметическая доходность чаще всего используется для статистической оценки доходности отдельных активов и их портфелей по прошлым (историческим) данным. Так, имея данные о ценах и текущих доходах активов за прошлые периоды, можно найти соответствующие доходности для каждого такого периода, а затем вычислить среднеарифметическое значение. Обычно эта операция осуществляется для оценки ожидаемой доходности актива (или портфеля) для будущего периода по данным о доходностях за последовательность прошлых периодов такой же длины. Например, для оценки ожидаемой месячной доходности некоторой акции можно взять ее среднеарифметическую месячную доходность за последние 5 лет. В этом случае оценкой будет среднее по выборке объемом в 60 выборочных значений доходности.

Перейдем теперь к обсуждению среднегеометрической доходности. Центральным моментом в ее определении является вычисление итогового коэффициента роста капитала в сделке по формуле (14.15). Поскольку

 

то

Подпись:
и, следовательно, полный коэффициент роста

Подпись:  к = 1,2,..., п.

 

(14.19)

 

37-5169

Напомним, что Sk есть полная накопленная стоимость капитала за к-и период, т.е. включающая как текущий доход Dk за этот период, так и прирост стоимости активов портфеля

 

к     rk      г *Ч>

а 5~ — капитал, инвестируемый в начале к-го периода. Если Sk+^Sk~_it то это значит, что накопленный капитал к концу к-то периода не совпадает с инвестируемым в начале (к + 1)-го периода капиталом. Иными словами, либо полученный доход не реинвестируется, либо в критический момент tk осуществляется изъятие или же, наоборот, дополнительное инвестирование капитала. В противном случае, т.е. если нет ни изъятий, ни вложения капитала, а весь текущий доход полностью реинвестируется, то выполняется равенство

 

$к ~       = ^к '

и формула (14.19) перепишется в виде

 

$0  ~t      -*я-1 $0

Следовательно,

 

1.

 

Но при описанных условиях применение базовой формулы (14.5) ко всей сделке за период Г дает доходность

 

Т

а соответствующая эффективная нормированная доходность

У-'=(1+ггГ-1 =

 

V^O J

■1,

так что в этом случае У3** = у т.е. полная эффективная доходность сделки совпадает со среднегеометрической доходностью частичных сделок.

Пример 14.12. Инвестор купил в начале 1-го года акцию компании А за .#50, а в конце года ее стоимость возросла до .#100. В течение 2-го года цена акции упала до начальной цены в .#50. Инвестор продал акцию по этой цене. Найти доходность сделки за два года, а также среднегодовые доходности (арифметическую и геометрическую), считая, что по акциям в течение указанного периода дивиденды не выплачивались.

Решение. Доходность акции за 1-й год составляет

 

50

или 100\%, за 2-й год:

г(2)=50-100 100

или — 50\%. Среднеарифметическая годовая доходность сделки составит

_^_1±Ш-025

 

или 25\%. Среднегеометрическая годовая доходность

>U)=V(l+r(u)(l + /a)-l-V2:0^-l=0. Доходность акции за 2-летний период

50-50 п

г-         = 0.

50

Следовательно, будут равны и соответствующие годовые простая и эффективная доходности:

 

В этом примере двухлетняя доходность г, ее нормированные представления у(эф) иу{пр а также геометрическая средняя годовая доходность совпадают. Среднеарифметическая доходность существенно завышает фактическую доходность сделки — факт, с которым мы уже сталкивались. Причина снова заключается в том, что инвестиции во втором периоде (3? 100) не совпадают с инвестициями в первом периоде (J?50).

Мы рассмотрели два вида доходностей, получающихся в результате операций усреднения семейства доходностей, относящихся к последовательным подпериодам, составляющим инвестиционный период или период оценивания. В арифметическом и геометрическом методах усреднения в качестве весов (см. (14.12), (14.13) и (14.16)) используются временные характеристики промежутков разбиения (подпериодов). Поэтому оба вида доходностей можно было бы назвать взвешенными по времени. Однако на практике этот термин используется лишь по отношению к геометрической доходности. Именно ее принято называть взвешенной по времени (или временно-взвешенной) доходностью. Обычно этот термин используется, если хотят отличить эту доходность от так называемой денежно-временнбй доходности. За последним термином скрывается уже упоминавшаяся внутренняя доходность. Она является одной из наиболее используемых характеристик финансовых операций. В силу важности (как теоретической, так и практической) этого понятия мы посвятим ему отдельный параграф.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |