Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

14.5. внутренняя доходность финансовых операций

 

Дискретный поток. Рассмотрим разбиение периода сделки (или периода оценивания) на критические подпериоды (см. рис. 14.2). Пусть, как и выше, К0 — начальная, К — конечная стоимости портфеля активов, участвующих в сделке, а Мк — распределяемая (денежная) часть текущего дохода за подпериод [fkV /J. С критическим моментом tk мы связали две стоимостные характеристики портфеля: V~ = V(tk) — стоимость непосредственно перед моментом tk и Ук - V(tk) — стоимость непосредственно после этого момента. Рассмотрим разность этих величин

avk=av{tk) = v;-v;.

Если AVk > 0, то она представляет собой величину дополнительных инвестиций в портфель активов в момент tk, если AVk < 0, то она равна величине изъятия капитала в момент tk. Таким образом, Д Vk описывает эффект внешней операции вложения/изъятия капитала. Заметим, что результат реинвестирования нераспределенной части текущего дохода учитывается в стоимости У~, относящейся к концу к- го периода.

Нетто-баланс от операции распределения части текущего дохода Мк и внешней операции вложения/изъятия АУк обозначим Ск

ct=mt-avk=mk+v--v; (14.20)

и отнесем к моменту tk.

Заметим, что в общей схеме финансовой операции текущий доход относится к доходной части денежного, связанного с этой операцией, потока, т.е. Мк > 0, тогда как дополнительные вложения (Л^ > 0) относятся к расходной части потока. Наоборот, изъятие {AV < 0, т.е. продажа части активов) капитала в такой схеме означает (капитальный) доход и, следовательно, относится к доходной части денежного потока, связанного с операцией.

Если Ск > 0, то нетто-баланс будет представлять результирующий доход Ск=Ск, относящийся к к-му периоду с актуализацией его в конце этого периода. В противном случае нетто-баланс будет представлять чистый убыток Ск = С~ и относиться к расходной части результирующего потока операции. К расходной части результирующего потока будет, естественно, относиться и начальный инвестируемый капитал

 

С ~C~-~V

 

тогда как конечная (реализованная или учетная) стоимость портфеля

Кп = К(/~) относится к доходной части потока и, значит, с учетом распределенного дохода имеем

ch = s; = v„ + mh.

п          ft         п п

Если использовать введенные величины то равенство (14.20) можно записать в виде

ASk = s;-s;=AVk-мк =-с,, к=о,і,..., л.

Напомним, что Sk~ относится к tk, т.е. учитывается сразу после момента ^, a Sk — к tk, т.е. учитывается непосредственно перед моментом tk. При этом

С0 - -AS0 =S0 ~Sq = -5*0 = -VQ,

так как     = 0 и

c. = -as,=s;-s; = s: = v, + m„

так как S~ - 0. Использование одной величины Sk часто удобнее вместо двух Ук и Мк.

Таким образом, временная декомпозиция сделки позволяет построить ее результирующий денежный поток. Как отмечалось в гл. 1, описание сделки в рамках некоторой финансовой схемы и означает задание представляющего (порождающего) эту сделку денежного потока.

Задание представляющего потока

Cf = {(/„C0).(/1,CI)    (/„С.)}

сделки позволяет определить понятие ее внутренней доходности как нормированной ставки в схеме сложных процентов, балансирующей потокС/7:

pyp(CFty) = 0

в некоторой (а тогда и любой) точке р. Обычно в качестве полюса берется начальный tQ или конечный г моменты сделки. Этим моментам соответствуют уравнения баланса

И

 

к=0

с учетом разделения потока СТна расходную CF~ и доходную CF+ части.

Пример 14.13. Найти внутреннюю доходность двухлетней сделки из примера 14.10. Решение, Согласно условиям примера 14.10

К0=.т00тыс; М, =/), = .#20тыс.; Vx~ =V^ =5?120тыс.; Мг = \%30 тыс.; V2 - V; =   120 тыс.

Таким образом, результирующий денежный поток сделки имеет вид С0 = - #100 тыс.;  С, =.J?20 тыс.;   С2 = #150 тыс. Уравнение для внутренней доходности (с полюсом в точке р = 2) следующее:

100(1 + у)2-20(1 +у)~ 150 = 0. Полагая х = 1 +у, получим квадратное уравнение

ЮОх2 - 20* ~ 150 = 0

или

10jcz- 2х- 15 = 0.

Отсюда .— .—

_1-Vl51. 1+y/lSl

Х}~    10    ' *2 = 10

Отбрасывая отрицательный корень (поскольку по своему смыслу х есть коэффициент

роста и не может быть отрицательным), получим

х= 1+у = 1,3288

или

У = 0,3288,

т.е. внутренняя доходность сделки составляет 32,88\%, что отличается от среднегеометрической доходности сделки 32,29\%.

В наиболее типичных финансовых сделках, например кредитных, расходная часть сводится к инвестированию начального капитала V0, а доходная часть — к серии текущих платежей С,, С2,..., С (процентов или дивидендов) и к конечной стоимости капитала К (возврату основной суммы долга, реализованной или учетной стоимости активов и т.д.). Структура денежного потока сделки в этом случае

 

cr={(tl,q),(t2,c2),...,(tn,cn+vn)}.

Следовательно, балансовое уравнение для внутренней процентной ставки будет иметь вид (с полюсом р = /0) j г

 

Таким образом, это уравнение действительно представляет баланс (эквивалентность) между потоками расходов (инвестициями) и доходов (от них). В тех случаях, когда текущий доход отсутствует, т.е.

С=С =... =С = 0, то уравнение (14.21) сводится к уравнению

к v-

о

 

Учитывая, что tn - tQ=T— срок сделки, получим

У =

- 1.

 

Тогда внутренняя доходность является просто нормированной эффективной доходностью соответствующей доходности сделки за период

г = -^-1, V

вычисляемой по базовой формуле (14.2). Иными словами,

y=( + rfT- і.

В более общем случае равенство нулю промежуточных (внутренних) сумм Ск означает: 1) отсутствие или полное реинвестирование (всего) текущего дохода; 2) отсутствие изъятия или дополнительного (внешнего) вложения капитала. В самом деле, равенство

Ск=Мк-АУк=0

означает, что

AK = r;-vk- = Mk,

т.е. весь полученный к концу k-го периода текущий доход полностью реинвестируется в портфель активов в момент t и, в частности, нет никаких внешних вложений.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, в этом случае адекватной оценкой доходности сделки является среднегеометрическая доходность

y(f,=[(l + r"')(l+rw)...(l + rw)],/r-l.

Однако отсутствие внешних изъятий и вложений, а также полное реинвестирование дохода означает, что имеет место равенство

 

1 + г

где

V

г = —-1

Т V

— базовая доходность за период сделки. Следовательно, и в этом случае внутренняя доходность у будет совпадать с эффективной доходностью уаф) соответствующей базовой доходности за период. Более того, она будет совпадать и со среднегеометрической доходностью y{s).

Таким образом, именно наличие (внешних) изъятий/вложений капитала в финансовой сделке приводит к различию в значениях внутренней (денежно-взвешенной) доходности от среднегеометрической (временно-взвешенной) доходности. Этот факт иллюстрируется примером 14.13.

Хотя мы и подчеркивали, что адекватная интерпретация среднегеометрической доходности требует выполнения перечисленных выше условий (т.е. отсутствие изъятий/вложений капитала и полное реинвестирование текущего дохода), тем не менее на практике среднегеометрическая (взвешенная по времени) доходность используется наравне с внутренней (денежно-взвешенной). Строго говоря, оба вида доход-ностей оцениваютpa3jiu4Hbie аспекты эффективности сделки. Принято считать, что внутренняя доходность оценивает общий финансовый результат сделки с учетом всех ее компонент, в том числе и внешних вложений (изъятий), тогда как среднегеометрическая доходность оценивает эффективность управления активами, участвующими в сделке. Чтобы прояснить различие в этих аспектах оценки, рассмотрим следующий пример.

Пусть два управляющих активами двух пенсионных фондов имеют в начале двухмесячного периода портфели активов на сумму Р/?60 млн. Предположим также, что управляющие сформировали одинаковые по структуре портфели. Допустим, что никаких дополнительных вложений или изъятий капитала за два месяца не было, как и не было распределения текущего дохода (т.е. он полностью реинвестировался). Если доходности портфеля за первый и второй месяцы составляют 20 и 50\% соответственно, то ясно, что как финансовые результаты, так и качество управления обоих управляющих совпадают. В конце 1-го месяца стоимость портфеля возрастет до

У} = :-#60(1 + 0,2) = #72 млн,

а в конце 2-го — до

\ = #72(1 +0,5)= #108 млн. Доходность сделки за оба месяца составит

ІІ-1=И-1 = 0,8,

К 60

а соответствующая эффективная месячная доходность

Уэф) = VI + 0,8 -1 = 1,3416 -1 = 0,3416,

или 34,16\% в месяц. При указанных условиях эта доходность совпадает как со средней геометрической, так и с внутренней доходностями сделки.

Рассмотрим другую ситуацию. Допустим теперь, что при тех же начальных условиях, а также условиях, касающихся доходностей портфелей, первый управляющий получает (например, от участников фонда или от спонсоров) в конце 1-го месяца дополнительно #20 млн, а другой, наоборот, обязан выплатить (например, в виде пенсий) #10 млн. В этом случае у первого управляющего стоимость портфеля в конце 1-го месяца составит

^~ = 60(1+0,2) = #72млн.

Однако с учетом дополнительных вложений на сумму #20 млн, он инвестирует в начале 2-го месяца сумму

 

-72+ 20 = #92 млн.

Поскольку доходность портфеля активов за 2-й месяц составляет 50\% в месяц, то окончательная стоимость портфеля (в конце 2-го месяца)

 

V2 = 92( +0,5)= #138 млн.

Внутренняя доходность ух сделки определяется уравнением (с полюсом р = 2)

60(1+^)2+20(1+^)-138 = 0, решая которое получим

у, = 0,3499,

или 34,99\% в месяц, что больше среднегеометрической доходности 34,36\% этой же сделки (которая, как легко понять, не изменилась).

Второй управляющий получит в конце 1-го месяца те же V~ - 'Mil млн. Однако, учитывая изъятие капитала на сумму 10 млн, он в начале 2-го месяца сможет инвестировать лишь

^+ = 72-10^62 млн и, следовательно, конечная стоимость портфеля

У2 = 62(1 +0,5)= .^93 млн.

Внутренняя доходность j2 этой сделки определяется уравнением (с полюсом р — 2)

60(l+^)2-10(l + i,2)-93 = 0, решая которое получим

>>2 = 0,3283,

или 32,83\% в месяц, что меньше месячной среднегеометрической доходности 34,16\% этой же сделки.

Подведем итоги анализа описанных сделок. Поскольку оба управляющих во всех случаях формировали идентичные по структуре портфели, то с точки зрения эффективности управления активами их работа должна оцениваться одинаково. Заметим, что внутри каждого критического периода стратегия инвестирования пассивна и, значит, результат управления портфелем для критического периода полностью описывается доходностью портфеля, т.е. определяется лишь структурой портфеля, сформированного в начале периода, и поведением активов (последний фактор, естественно, не зависит от управляющего).

Таким образом, эффективность управления на всем инвестиционном периоде (периоде оценки) полностью определяется последовательностью доходностей портфеля для критических периодов. Для характеристики эффективности управления единственным показателем (т.е. одним числом) необходимо выбрать правило его определения по заданной последовательности доходностей портфеля. Иными словами, этот показатель представляет собой некоторую функцию от указанных доходностей:

^^(r'V'2',...,/"1). (14.22)

На практике в качестве меры эффективности управления берется обычно средняя геометрическая или взвешенная по времени доходность

j;w=[(l+/«)(l + /J,)...(l + /-<">)]1/r-l.

Заметим, что при любом выборе показателя эффективности управления в соответствии с (14.22) он не будет зависеть от дополнительных вложений или изъятий капитала. Это чрезвычайно важное условие. В самом деле, решение о дополнительных вложениях и изъятиях принимается владельцем капитала, который может совпадать и не быть его управляющим.

В современных условиях типичным является как раз несовпадение этих лиц. Владельцы капиталов отдают их в управление профессиональным менеджерам. Менеджеры ответственны лишь за качество управления активами. Решение о дополнительных вложениях или изъятиях принимается не ими, и за их последствия они не должны нести ответственность. Многие финансовые институты, активами которых управляют финансовые менеджеры, имеют обязательства, например банки должны возвращать вклады (с процентами), страховые компании выплачивать страховые суммы (страховое возмещение), пенсионные фонды — пенсии своим участникам и т.п. Во всех случаях такие выплаты обусловлены контрактами и обязательны. Для финансового менеджера они представляют собой принудительный отток (изъятие) капитала. Такие изъятия безусловно влияют на финансовый результат деятельности финансового института.

Перейдем теперь к анализу сделок с точки зрения их фактического финансового результата. В этом случае необходим учет как распределяемого дохода, так и внешних капитальных операций изъятия/вложения. Таким образом, кроме показателей, связанных с управлением, т.е. до-ходностей г(2..,, г(п), необходимо учитывать все денежные потоки, связанные со сделкой. Кроме начальных инвестиций V0 следует задать как величину распределяемой части текущего дохода Мк, к=, 2,..., п, для каждого критического периода, так и величину капитальных изъятий/вложений AVk=Vk+-V~. Если интервальная величина Мк относится (актуализируется) к концу периода (независимо от реального времени ее получения), то для полного описания сделки достаточно рассматривать лишь нетто-поток:

Ck = Mk-AVk=-ASk9 * = 0,1,...,я.

При этом естественно положить (краевые условия)

С =-К,   С =М + V.

О         0'         я          л л

Получающийся денежный поток

 

СТ = {(;,>С0),(/„С1),...,('..С,)} полностью описывает сделку с точки зрения конечного финансового результата.

Заметим некоторое отличие краевых (С0 и Сд) и внутренних элементов потока. Первые представляют собой соответственно начальную и конечную стоимости портфеля, т.е. начальную (инвестируемую) и накопленную стоимости капитала. Эти величины относятся ^характеристикам состояния сделки в начальный и конечный моменты. Величины Ck, k = 1, 2,..., п — 1, не связаны непосредственно с состоянием сделки (т.е. со стоимостью портфеля) в критические моменты времени. Однако имеется косвенная связь между этими характеристиками, учитывающая также внутренние (управляющие) характеристики г° г(2), г{п). Эту связь отражают следующие соотношения:

^ = К0(1+/-(0); s; = s+-q; 52+=51-(l + r(2));   S; = S;-C2;

 

Именно таким способом вычислялась конечная стоимость портфеля в рассмотренном выше примере.

Таким образом, в потоке CFb конечной стоимости V учитываются и результаты применяемых управленческих (т.е. касающихся выбора структуры портфеля) решений. На практике в качестве оценки сделки с точки зрения ее финансовой эффективности выбирается внутренняя или денежно-взвешенная доходность, определяемая [неявно) уравнением

£ct(i+>Г"= о,

fc=0

где р — выбранный полюс (точка приведения событий потока CF). Это уравнение определяет у как неявную функцию потока CF:

у = у(С0,С(,...,С). (14.23) При этом ее можно рассматривать и как функцию вида

у = у(К0; С,, С2,...,С^; Л г{2 (14.24)

Возможно именно наличие в уравнениях (14.23), (14.24) денежных характеристик VQ, С,, С2, С _,, кроме относительных характеристик r{X), г[2...,г{п определяемых временнбй декомпозицией сделки, послужило основанием для именования внутренней доходности как денежно-взвешенной.

Следует сознавать, что выбор в качестве характеристики финансовой эффективности сделки внутренней доходности есть лишь определенное соглашение, принятое участниками финансового рынка. Это соглашение продиктовано необходимостью каким-либо образом характеризовать конечный результат сделки одним показателем, помимо набора денежных (бухгалтерских) показателей (доходов/расходов), связанных со сделкой.

Поведение внутренней доходности в общем согласовано с интуитивным восприятием финансовых результатов сделки. Так, в нашем примере дополнительное вложение капитала в начале второго месяца (характеризующимся высокой доходностью) приводит к повышению внутренней доходности по сравнению с доходностью первоначальной сделки (без добавочных инвестиций) — 35,40 против 34,16\%. В то же время изъятие капитала в начале второго месяца приводит к снижению внутренней доходности — 33,11 против 34,16\%.

Таким образом, дополнительные вложения на растущем («бычьем») рынке ведут к повышению внутренней доходности, а изъятия — к снижению доходности. Заметим, что на обратном (падающем, «медвежьем») рынке ситуация прямо противоположна.

Пример 14.14. Рассмотрим акцию компании А из примера 14Л 2. Ее цена в начале 1 -го периода была .#50, к концу периода выросла до . ->? 100, а к концу 2-го периода снова упала до #50. Допустим, что инвестор покупает две акции компании А в начале первого периода. Найти внутреннюю доходность следующих сделок: а) инвестор держит обе акции оба периода; б) инвестор продает одну акцию в конце 1-го периода; в) инвестор покупает еще одну акцию в конце 1 -го периода. Предполагается, что никаких дивидендов по акциям в течение указанных периодов не выплачивается,

Решени е. а) Начальная и конечная (накопленная) стоимости инвестиций совпадают

У„= К, = 250= 100(.*>).

Внутренняя доходность сделки совпадает со среднегеометрической и равна нулю, поскольку равна нулю доходность за период:

 

К0 100

 

б) Со сделкой связан денежный платеж в конце 1 -го периода; при этом С, = .#100.

Начальная стоимость портфеля, как и в случае а), К0 = .#100, так как Сц = - .#100, а конечная стоимость С2 = V2~ .#50, так как у инвестора к концу 2-го периода останется всего одна акция.

Внутренняя доходность определяется из уравнения

100(1 +у)2 -100(1+.у) -50 = 0.

Решая это уравнение, получим у = 0,3660, или 36,60\%.

Положительная доходность объясняется наличием положительного чистого дохода ;3?100, полученного от продажи одной акции в конце 1-го года.

в) В конце 1-го года на покупку еще одной акции потребуются дополнительные инвестиции в размере И0. Таким образом, С1 = - Ш100.

Конечная стоимость портфеля V2 = 3 ■ 50 = 150(5?), а начальная стоимость, как и в предыдущих случаях, =

Внутренняя доходность определяется уравнением

100(1 +yf +100(1 +у)-150 = 0,

откуда находим у = -0,1771, или -17,71\%.

Полученные результаты вполне ожидаемые. В случае а) нет никакого реального дохода, начальная и конечная стоимости капитала совпадают и фактическая доходность сделки нулевая.

В случае б) инвестор, продав акцию, возвращает в конце периода роста часть капитала, предохраняя его тем самым от падения стоимости во 2-м периоде в условиях резкого падения цены акций. В итоге сделка характеризуется положительной внутренней доходностью.

Наконец, в случае в) в начале 2-го периода произведены дополнительные инвестиции, т.е. дополнительные расходы. Однако они были сделаны в период падения цены акции, так что, несмотря на то что общая стоимость портфеля (из трех акций) стоит больше, чем начальная стоимость (двух акций), тем не менее общие потери на весь капитал приводят к отрицательной (внутренней) доходности сделки.

Заметим, что среднегеометрическая доходность всех трех сделок равна нулю, поскольку во всех случаях структура инвестиций не менялась (капитал полностью вкладывался в акции одного вида).

Возвращаясь к определению внутренней доходности, заметим, что обычно в качестве уравнения, ее определяющего, используют приведение к начальному моменту сделки, т.е. уравнение вида

 

Удобно сделать замену переменных вида v = 1/(1 + у), что приводит к уравнению

и

 

*=0

решая которое можно затем найти у = 1/и — 1.

Непрерывный поток. До сих пор мы использовали исключительно дискретные потоки. Операции крупных финансовых институтов, таких, как инвестиционные и пенсионные, характеризуются значительными ежедневными двусторонними (приток/отток) денежными потоками. Такие операции естественнее описывать в терминах непрерывных потоков. В этом случае расходный поток CF~ описывается отрицательной плотностью pL~{t) < 0, а доходный поток CF+ — положительной плотностью n+(t). Суммарный поток CF, являющийся суммой расходной и доходной частей, имеет плотность

fi(t)=tt-(t) + ti+(t).

' Обычно в анализе таких операций рассматривается некоторый период [/0, rl длины Т = t—tQ, который мы назовем периодом оценки.

Согласно описанной в гл. 10 модели фонда его динамика при известной интенсивности роста активов 6(f) и плотности внешнего потока jj.{t) описывается дифференциальным уравнением

dS(/)

= 8(t)S(t) + p(t).

(14.25)

 

Заметим, что через 8{t) обозначена переменная интенсивность роста, обусловливаемая исключительно природой и структурой активов фонда, а не внешними потоками. Общая или полная интенсивность

роста стоимости фонда <5(/), определяемая (см. гл. 10) как

согласно уравнению динамики

 

т.е. складывается из двух интенсивностей, относящейся к активам — S(t) и к внешнему потоку — fl(t)/S(t).

Теперь для этой модели определим основные виды доходностей, рассмотренные ранее для дискретных потоков.

Эти доходности можно получить в результате предельного перехода, построив сначала «дискретное приближение» непрерывного потока.

Разобьем период оценивания [tQ, на одинаковые промежутки Т/п точками tQ = т0 < т < ... < г = г, и обозначим это разбиение через а. Тогда для к-го периода [тк_rj фактический коэффициент роста

 

 

ехр

J <5(/)d?

 

 

J

 

n

+ 0

{ n )

где Sk =5(тк);о(х) — бесконечно малая (порядка более высокого, чем*). Подставляя это равенство в выражение для среднеарифметической доходности г за период Т/п, имеем

1 ^

+ є ,

п

 

где пєп —>0при п—>со. Переходя к нормированной среднеарифметической доходности, соответствующей разбиению 7ґ, получим

1 Л т

У (а)

Т/п

 

Подпись: ТСумма Х^(т*)    является, очевидно,

 

интегральной суммой для

 

функции S(t) на промежутке [/„, Л]. Переходя к пределу при/?—>°°, имеем

 

(14.26)

 

Таким образом, среднеарифметическая (нормированная) доходность для соответствующей переменной интенсивности равна среднему (интегральному) значению функции ё на периоде [Г0, г,|.

Среднегеометрическая доходность, соответствующая разбиению а, определится уравнением

П(і+і-й,) = Пехр }*(0d/ .

 

Учитывая экспоненциальное свойство, получим

Л. А l + 4^=exp js(t)dt .

V'o J

Этот результат можно было получить сразу из общих рассуждений, поскольку правая часть последнего равенства есть не что иное, как общий коэффициент роста за период [tQi t{].

Нормированная геометрическая средняя доходность вычислится следующим образом:

Подпись:

(14.27)

Из равенств (14.26) и (14.27) следует, что между среднеарифметической и среднегеометрической доходностями в непрерывной модели сделки существует простая связь

 

Эта связь вполне аналогична соотношению

 

/ = £J' - 1

между эффективной / и непрерывно начисляемой номинальной ставкой у (см. гл. 8).

Среднеарифметическая и среднегеометрическая доходности для сделок с непрерывно меняющейся интенсивностью роста активов не требуют учета внешних денежных потоков, участвующих в сделке. Внутренняя доходность, являющаяся оценкой эффективности общего финансового результата, безусловно должна учитывать и внешние потоки.

Чтобы получить выражение для внутренней доходности сделки с непрерывным потоком, еще раз перечислим финансовые характеристики, описывающие сделку.

Предполагаем, что в начальный момент фонд имеет стоимость V =

^0 S(tQ).

В силу двух факторов: 1) роста стоимости активов за счет как ценового, так и текущего дохода с интенсивностью S(t); 2) за счет внешних

38-5169 вложений/изъятий, осуществляемых с интенсивностью ju(t) текущая стоимость S(t) активов фонда подчиняется уравнению динамики (14.25). При этом в момент /, накопленная стоимость фонда Vl = Л"^).

В качестве внутренней доходности рассматриваем такую постоянную нормированную доходность^, которая обеспечивает баланс между всеми расходами и доходами с учетом их временной стоимости. Поскольку общепринятым методом учета временной стоимости для сделок, предусматривающих реинвестирование полученного дохода, является использование сложных процентов, то уравнение баланса для доходности у будет иметь вид

 

PV{CF,y) = Qt (14.28)

где CF — полный поток, представляющий операции фонда на промежутке [r0, /J. Полный поток состоит из расходной CF~ и доходной CF+ частей. При этом оба этих потока — смешанные. Расходный поток CF~ включает дискретную часть

 

представляющую начальные инвестиции, и непрерывную часть CF~, задаваемую плотностью ju~(t). Доходная часть также имеет непрерывную CF*, определяемую плотностью jui+(t), и дискретную

с^;={М)},

части, представляющие собой накопленную стоимость инвестиции к концу периода оценки.

Если <5 — постоянная интенсивность, соответствующая искомой внутренней доходности у, т.е. 1 + у = с5, то уравнение баланса относительно полюса p = tx

K0e5(ri-'")+jp(/)e^-r)d/ = ^

to

можно записать и непосредственно через у:

K(Uy)"-'"+]M{t)(l+yf-'dt = Vv

к

Поделив это выражение на (1 + y)Tt где Т~ ^ — /0, получим уравнение баланса, записанное для точки р — tQ.

Мы рассмотрели чисто непрерывную модель, в которой дискретным элементам соответствуют лишь краевые условия — начальная

 

и конечная стоимости фонда, а все внутренние платежи описываются непрерывными потоками. Если в сделке участвуют и дискретные платежи (сингулярные элементы внешних потоков, например платежи, существенно отличающиеся от обычных платежей), то они также должны быть учтены. В любом случае общее уравнение (14.28) для внутренней доходности остается тем же. Необходима лишь точная спецификация общего потока CF, представляющего финансовые операции фонда за период оценки.

Уравнения для внутренней доходности для непрерывной модели, как правило, трансцендентные даже в простейших случаях. Точные решения этих уравнений получить невозможно, и на практике ограничиваются приближенными значениями. Более того, поскольку сами потоки, составляющие сделку, редко известны с достаточной точностью, обычно само уравнение для доходности преобразуется к такому виду, чтобы можно было получить оценку внутренней доходности исходя из обобщенной информации о сделке. Ниже мы приведем некоторые методы такого рода.

На практике внутренняя доходность часто используется как критерий для сравнения различных сделок. Обычно это бывает при сравнении различных возможных вариантов (альтернатив) в финансовом планировании. Так, финансовый менеджер может выбирать между двумя или более инвестиционными проектами, предусматривающими один и тот же начальный объем инвестиций, но разные потоки доходов от них. Практическое применение внутренней доходности, как критерия для сравнения, связано с рядом трудностей, о которых мы еще будем говорить. Одна из основных трудностей связана с тем, что уравнение (14.28) может иметь, вообще говоря, много корней. Проблемам неоднозначности внутренней доходности посвящен следующий параграф.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |