Имя материала: Финансовая математика

Автор: Бочаров Павел Петрович

1.5. финансовые схемы

Выше говорилось, что семейство финансовых законов капитализации и дисконтирования определяет финансовую схему, т.е. определенную математическую структуру, в наиболее общем и абстрактном виде описывающую финансовые операции и инвестиционные процес-

 

сы. Абстрактность и общность такого описания заключается в том, что в нем полностью отвлекаются от содержательного смысла (контекста) моделируемых операций и процессов, оставляя на поверхности лишь основные соотношения между отдельными финансовыми событиями, участвующими в сделках или являющихся состояниями изучаемого финансового (инвестиционного) процесса. Таким образом, финансовая схема — математическая структура [30], с помощью и в рамках которой строится математическая модель финансовых операций или процессов.

Исходными элементами этой структуры являются (мгновенные) финансовые события (элементы 1-го рода) и платежи за период (элементы 2-го рода). Из этих элементов строятся финансовые потоки (1-го и 2-го рода). Описанные выше правила актуализации задают различные преобразования этих элементов и их потоков.

Задание семейства финансовых законов капитализации и дисконтирования позволяет определить, во-первых, правила преобразования (приведения, переноса) как отдельных финансовых событий, так и потоков и, во-вторых, семейство отношений предпочтения (порядка) и эквивалентности между событиями и составленными из них потоками.

Теория свойств этих преобразований и связанных с ними отношений представляет собой теорию финансовой схемы. Основное значение финансовой схемы как раз и состоит в формальном, логически строгом описании соотношений между временными и финансовыми (денежными) характеристиками финансовых сделок и процессов. Именно в рамках финансовой схемы получает точную формулировку широко известный принцип финансовой математики о неравноценности (неэквивалентности) одинаковых и, напротив, возможной равноценности разных денежных сумм, относящихся к различным моментам времени.

Приведем теперь основные понятия и конструкции, относящиеся к финансовым схемам.

Базовым множеством (носителем) финансовой схемы является класс всевозможных финансовых событий. На формальном языке это просто финансовое пространство или плоскость время—деньги, являющееся декартовым произведением временной шкалы на денежную шкалу

ТхМ = {(/, С)|/єТ,СєМ}.

Вторая компонента финансовой схемы — законы капитализации и дисконтирования, которые для любого выбранного моментар, называемого полюсом (фокальной датой или моментом валоризации), определяют оператор приведения (или текущей стоимости) PV, сопоставляющий любому событию (t, С) или денежной сумме С ее приведенное к моменту р значение V:

 

К = PV(t, С) = ЯК (С,).

На оператор PV можно смотреть как

PVp        v       на преобразование событий (рис. 1.25):

            ■   ' PVp;(,,C)-*{p,Vp).

t Р

п          В однородных схемах, т.е. в схемах,

Рис. 1.25

в которых общий финансовый закон F(t, р, с) однороден по денежным суммам, оператор приведения является линейным (при фиксированных р, t). Таким образом, для оператора приведения выполняются следующие свойства: аддитивности

PVp, с{ + С2) = PVp С,) + PVp, С2);

однородности

PVp(t,XC) = PVp(t,C).

В однородной схеме оператор приведения полностью определяется своим действием на единичных событиях, т.е. событиях вида (t, 1). В самом деле, по свойству однородности имеем

PVp{ttC)=PV,(t,C.) = C.PVp{t,l).

Число  /,

см = ру^с,)=с,?Щ.

называется коэффициентом приведения (или обобщенным коэффициентом дисконтирования).

Приведение событий к выбранному полюсу позволяет сравнивать эти события и соответствующие им денежные суммы, поскольку они относятся теперь к одному моменту времени.

Определение 1.13. Событие (f С,) не менее предпочтительнее события (t2, С2) относительнор:

(/рС3)>(г2,С2),

если

PVp(t„C,)>PVp{h,C,).

Если каждое из событий (tv Ct), (tv С2) не менее предпочтительнее, чем другое, то говорят, что эти события эквивалентны относительно полюса р и пишут

Таким образом, эквивалентность относительно полюса р или просто /ьэквивалентность событий означает равенство приведенных к полюсу/) значений (текущих стоимостей) этих событий, т.е.

PV(г„ С,) = PV(t2, С,). (1.13) В однородной схеме это равенство равносильно равенству

Cf)(tvp) = C2v(tvp). (1.14)

Финансовая схема называется регулярной, если коэффициент приведения v{t,p) отличен от нуля для всех /, р:

v(tt р)фО.

Этим свойством обладают, например, схемы с самосопряженным финансовым законом, поскольку для всехр, t в них

v(t,p)v(p,t)=l.

В регулярной финансовой схеме в равенстве (1.13), описывающем отношение эквивалентности, задание одной денежной суммы однозначно определяет другую. Так, из равенства (1.14) следует, что

 

v(t2tp)

Тем самым определено еще одно преобразование событий, которое называется относительным эквивалентным преобразованием или относительным приведением. Это преобразование для выбранного полюса р и некоторого момента т преобразует событие (г, С) в эквивалентное относительно полюса р событие (т,     J, где

СР} = С

v(t,p)'

Последнее равенство позволяет определить еще один оператор приведения, называемый относительным оператором приведения или относительным оператором (или р-оператором) текущей стоимости, который обозначим РУ^К Положим

(<р) = ру{р)(С) = С V(*>P)   п ...

При р — т относительный оператор приведения превращается в определенный выше оператор приведения

ру{р) Р

Согласно определению, оператор PVP) преобразует произвольное событие в ему эквивалентное относительно полюсар событие:

C{/}=PVT(p](C,)~Cr

Оператор относительного приведения имеет простую интерпретацию, если в качестве полюса/? взять начальный момент tQ для финансового процесса, рассматриваемого в рамках заданной финансовой схемы. Тогда для любых />/0 оператор PVJ'^ преобразует любое состояние

St из траектории процесса, порожденного начальным состоянием (Г0, SQ), в другое событие 5 из этой же траектории (рис. 1.26).

 

м

S0 I

(to, S0)

 

■> т

 

Рис. 1.26

Заметим, что для транзитивного самосопряженного финансового закона выполняются равенства

 

v(t,r)v(t,p)^v(t,p) 1 =v(p,r).

и(т,р)

Первое выражает свойство транзитивности, второе — свойство самосопряженности. В этом случае равенство (1.15) перепишется в виде

^ = PVyC,) = C,^ = C,v(t,p)u(pj)=C,v(,,T) = PV,(C,).

 

Таким образом, в этом случае относительный и обычный операторы приведения совпадают:

PV$p) = PVT.

Относительный оператор приведения позволяет определить «приведенное сложение» событий. Пусть (ґр С,) и (ty С2) — два события.

Оператор PV^ приводит оба эти события в события (т,С(') и (т,С2')

с общим моментом т. Денежные суммы, относящиеся к одному и тому

же моменту времени, можно складывать, что дает событие (т,С'+С2'), которое называется приведенной (к моменту т суммой (относительно полюсар) или просто /ьсуммой событий в точке т.

Относительный оператор приведения преобразует р-эквивалент-ные события в совпадающие, т.е. если

 

ТО

Pvy)(Cl)=pvziP]{c2y

В самом деле,/>-эквивалентность событий (t, С,) и (tv С2) означает, что

PVp{C^PVp{C2)

или

Qv(tl,p) = C2v(t2,p).

Тогда

/>^)(с>с1Ф4=^Ф4=/>^,(с2)-

v(T,p)    - v(T,p)

 

Отсюда следует, что приведенное сложение событий — по существу операция сложения классов ^-эквивалентных событий (фактор-операция).

Приведенное сложение можно определить не только для двух событий, но и для любого их конечного числа, т.е. для любого потока событий. Такое сложение обобщает операцию (формального) приведения потока PVp(CF), которая по существу представляет собой суммирование событий в полюсе р.

Операция приведенного сложения для потока так же, как и обычная операция приведения потока, является «линейным продолжением» операции относительного приведения, т.е. для потока

CF={(tl,Cl),(tl,C1),...,(t„,Ci)} его приведенная к т сумма есть

PKw(CF) = ±PVrM(Ck).

 

Приведенное относительно полюсар значение PVJP^ {CF) потока CF

называют /?-суммой потока в точке т или относительной текущей стоимостью (или р-стоимостью) потока CF в точке т. Операция /^-суммирования в точке т потока заменяет поток CF единственным событием, эквивалентным относительно р всему потоку CF. Таким образом, если

C=PVx[p)(CF), то р

(x,C)~CF.

Обобщая отмеченную инвариантность относительнор-эквивалентности оператора относительного приведения, можно утверждать, что /^-эквивалентные потоки имеют одинаковые /?-суммы в любой точке т:

CF^CF2,

то

PV(p)(CFl) = PVz[p)(CF2).

Наконец, относительный оператор приведения всегда обладает свойством поглощения:

PV^p) oPV^ = PV^P т.е. даже в случае нетранзитивных (нерасщепляемых) финансовых законов.

Таким образом, каждая финансовая схема порождает определенную ею алгебру событий и потоков. Изучение свойств этой алгебры — одна из основных задач теории данной финансовой схемы. В последующем именно эта тема будет центральной при изложении двух классических финансовых схем простых и сложных процентов. Читатель неоднок-

 

ратно сможет убедиться в том, что все полученные ниже результаты являются конкретизацией применения общих понятий и методов, описанных в этой главе.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 |