Математика для социологов и экономистов

21.9.  модель экономического цикла самуэльсона—хикса

При рассмотрении применений дифференциальных уравнений мы исходили из предположения о мгновенном воздействии факторов, влияющих на рост. В действительности, это воздействие не мгновенно. Оно происходит с некоторым запаздыванием. В тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы, его необходимо включать в соответствующее дифференциальное уравнение. В социально-экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают уже не в виде дифференциальных, а в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.

САМУЭЛЬСОН (Samuelson) Пол (р. 1915), американский экономист. Труды по проблемам моделирования экономического цикла, экономико-математическим методам измерения полезности и др. Лауреат Нобелевской премии (1970).

ХИКС (Hicks) Джон (1904-1989), английский экономист. Труды в области моделирования экономического роста, теории спроса, цен. Лауреат Нобелевской премии (1972).

Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления c(t) (consumption) запаздывает от роста национального дохода у, т. е. что

c(t) = my(t-l) + n, (21.15)

где m (marginal) — предельная склонность к потреблению (показывает на сколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу (m = Ac/Ay)), an — автономное потребление.

Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции i(t) (investments) после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а предшествующем периоде:

i(t) = a(y{t-)-y{t-2)). (21.16)

Здесь a (accelerator) — коэффициент, именуемый акселератором. Условие равенства спроса и предложения имеет вид

y(t) = c(t) + i(t). (21.17)

Подставляя в (21.17) выражение для c(t) из (21.15), i{t) из (21.16), находим:

y(t) = {а + т) y{t - 1) - a y(t - 2) + п. (21.18)

Уравнение (21.18) называется уравнением Хикса. Пусть величины а, т и п постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

В реальной экономике т < 1, а а > 1. При таких значениях предельной склонности к потреблению т и акселератора а решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется убыванием, убывание — возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).

Поясним это на числовом примере.

V Пример (уравнение Хикса). Предположим, что а = = 1,25, т = 0,95, п = 0,1. Тогда уравнение Хикса примет вид

y(*)-2,2y(t-l) + l,25y(*-2) = 0,l.

(21.19)

Найдем частное решение. Положив y(t) = const = С и подставив в (21.19), получим

С-2,2 С+ 1,25 С = 0,1,

С = 2.

Частное решение y(t) = 2. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Корни характеристического уравнения

А2-2,2 А+ 1,25 = 0

равны 1,1 ± 0,2 і.

Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида

и

где (р = arctg (2/11). После округления получим 2/1 (t) = 1,07* cos(0,18t)

и

y2(t) = 1,07* sin(0,18t).

 

-^ьч-Ч-ч—і—і—ь-0-5    "35

-20і

б

Рис. 21.6. Модель Самуэльсона-Хикса

Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция

y(t) = 1,07* (Сі cos(0,18£) + C2 sin(0,18t)),

где С и С2 — произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения (21.19) будет функция

y(t) = 2 + 1,07* (Сі cos(0,18£) + C2 sin(0,18t)).

График этой функции при Ci = C2 = lntEN изображен на рис. 21.6, а. А

Из последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса y(t) очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис. 21.6, б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.