Математика для социологов и экономистов

6.3.  пределы в социально-экономической сфере

V Пример 1. Экспериментально была установлена зависимость у = 200/(х + 2) между ценой одного из товаров х и спроса на него у. Исследовать поведение функции спроса от цены товара у = 200/(ж + 2) при неограниченном увеличении цены (х —> -> оо).

Решение.

200      200 .

lim                   =          = 0.

х^оо х + 2 оо

Таким образом, при неограниченном росте цен спрос приближается к нулю. А

V         Пример 2. В п. 6.1 была рассмотрена модель групповой продуктивности

 

где п — число индивидов в естественно-научном коллективе; р(п) — его продуктивность; р(1) — продуктивность при п = 1. Найдем продуктивность естественно-научного коллектива при неограниченном увеличении его членов (п —> оо):

lim р(п)= lim p{l)ea^n-l) = оо.

Предел равен бесконечности. Отсюда следует, что не существует оптимального размера группы с наибольшей продуктивностью. А

V         Пример 3. Экономические исследования показывают, что спрос у на товары первой необходимости и спрос z на предметы

роскоши зависят от дохода х следующим образом х):

( v Ь1(х-а1)

у(х) =              х > аь

X — Сі

 

zlx) =   1                      х > аі,    а2 > аі,

ж - с2

где аі, а2 — уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров.

Функции у(х) и z(x) называются функциями Л. Торнквиста.

Найдем как меняются у(х) и z(x) при х оо:

&i (ж — ai) _ (ос ^ _        6i (1 — ai/x) _ ^

сі/ж

,   ч       r      6i (ж - Oi)       / ос               6i (1

lim у (ж) = пш            = I — I = lim  

ж—>-оо ж—>-оо     х — С  ОС) ж—>-оо 1

г       (       у     Ь2х(х-а1)     (оо        62ж(1 - оі/ж)

lim       = пш                = I — I = пш  -1—- = oo.

ж—)>oc ж—)>oc      X — C            ОС J      ж->-оо      1 — Ci/x

Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары первой необходимости растет до определенного предела, равного Ь. Миллионеры не покупают для себя хлеба больше, чем съедят. Поэтому число Ъ называется уровнем насыщения.

Спрос же на предметы роскоши не имеет уровня насыщения. Он растет даже при неограниченном росте доходов.

Как видно из приведенных примеров, многие социально-экономические закономерности удается увидеть с помощью предельного перехода. Именно поэтому приобретение навыков вычисления пределов является необходимым и включено в программу по математике для экономистов, социологов и психологов.