Математика для социологов и экономистов

6.4.  непрерывное начисление процентов

Большую роль в социально-экономической сфере играет второй замечательный предел:

(      1 V lim     1Л—    = е.

ж->-±оо у        х )

ЧСм. [20, с. 136].

4 Я. М. Ахтямо]

Пусть Сбербанк выплачивает в год 2\% от суммы вклада. Если 1 января положить в банк 100 у. е. (условных денежных единиц), то в конце года на них будет начислено дополнительно 2 у. е. Но если 1 июля взять весь вклад обратно, то процентов будет начислено

не 2 у. е., а только половина этой суммы, т. е. 1 у е. Если изъять вклад 1 апреля, то процентов будет получено только 0,5 у е.

Сбербанки начисляют проценты только в конце года или при полном изъятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить 1 января 100 у. е. и истребовать их в конце года, оказывается выгоднее (считаем, что плата за оформление нового вклада существенно меньше величины вклада), например, 1 июля изъять весь вклад и вложить его снова. В самом деле, в первом случае в конце года будет получено 102 у. е. Во втором же случае 1 июля будет получено 101 у. е., но на вторую половину года будет вложен вклад не в 100 у е., а в 101 у е., на которые и будут начислены проценты. Именно 1\% от 101 составит 1,01, т. е. всего будет в конце года получено 102,01 у. е.

Еще выгоднее изымать и снова вносить вклад каждый месяц, каждую неделю, каждый день, каждый час и т. д. В действительности за дробную часть дня сбербанки процентов не начисляют. Но в математической схеме можно себе представить процесс учащения изъятий и внесений вклада беспредельным.

Согласно формуле

полученной в п. 6.2, при ежегодном приросте р \%, процент начис-

1          Р о/

ления за          ю часть года составит — /о , а размер вклада за п лет

Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись по истечении полугода, составит

Если проценты будут начисляться поквартально, то сумма вклада в конце года составит

если ежемесячно, то

т т при т • п начислениях составит

На практике часто бывает, что какая-либо величина испытывает приращения не скачкообразно, а меняется непрерывно, и ее изменение за этап составляет р \% .

Закон изменения этой величины можно найти из представления для Ап(т), неограниченно увеличивая число т (число подэтапов).

Вычислим предельное значение величины Ап(т) при т —> оо в конце п-го этапа:

/           тп

Ап= lim А0[1 + -£—

т^оо             100 т

Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости использования второго замечательного предела:

lim

х—>оо

1 + -) =е.

X

1 +

100 т

С помощью этого предела получаем, что Р

Ап = lim А

х—ЇОС

100 m

100

Подпись: 100 т= lim

х—ЇОС

Ао1 +

Р

Поскольку количество лет п в этой формуле может быть и дробным числом, обозначим его через t. Тогда получим

A(t) = А0 е

100

Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р > 0) или убывания (при р < 0).

Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (т = 1), при процентной ставке р = 5\% составляет около 2,5\%.

Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (т = 365), при процентной ставке р = 5\% является более меньшей и составляет сотые доли процента.

Конечно, нельзя себе представить, чтобы кто-либо изымал и обратно вносил свой вклад в Сбербанк не только бесконечно часто, но даже делал это один раз в год для увеличения процентной суммы. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко. Однако оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений и при анализе инфляционных процессов.

V Пример. Пусть темп инфляции составляет 20 \% в год. Тогда реальная стоимость хранящихся дома денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшится за месяц?

Решение. Применение формулы начисления непрерывных процентов дает

-20-1/12

Л(1/12) = Л0 е   100    = Л0 е"1/60 « 0,98 • Л0,

где Aq — хранящаяся дома денежная сумма.

Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость денежной заначки приблизительно на 2\%. А

Полезна формула непрерывного начисления процентов и в демографии. Закон показательного роста позволяет прогнозировать изменения в составе населения, динамику роста трудоспособного населения, соотношение городского и сельского населения, текучесть рабочей силы и т. п.

Некоторые другие применения показательного закона роста будут рассмотрены также при изучении дифференциальных уравнений.