Математика для социологов и экономистов

7.3.  схема нахождения производной

Из определения производной следует схема ее нахождения:

Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается исходное (начальное) значение функции f(x).

В точке х аргументу придается приращение Ах / 0 и выписывается новое (наращенное) значение функции f(x + Ах).

Вычисляется приращение функции Ay = f(x + Ax) — f(x).

Составляется отношение

Ах

Находится предел этого отношения при Ах —> 0 (если этот предел существует).

Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных.

Производная постоянной величины. Пусть дана функция у = с. Найдем ее производную.

Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем

исходное значение функции f(x) = с.

В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = с.

3.         Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) —

-f(x) = c-c = 0.

4.         Составляем отношение      = ——- =       = 0.

Ах      Ах Ах

5.         Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' =

Ау

= lim —— = lim 0 = 0.

Дж^О Ах Аж^О

Итак, производная постоянной величины равна нулю:

7 = о.

Производная функции у = х. Пусть у = х. Найдем производную.

Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = х.

В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = х + Ах.

Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) — — f (х) = х + Ах — х = Ах.

а гл      Ау   Ау     Ах Л

Составляем отношение ——: —— = —— = 1.

Ах   Ах Ах

Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у1 = =  lim ^ =  lim 1 = 1.

Аж^О Ах Аж^О

Таким образом, производная функции у = х равна единице:

~х' = 1.

Производная функции у = ж3. Пусть у = х3. Найдем производную.

Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = ж3.

В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = (х + Ах)3.

Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ax) — f(x) = = (х + Ах)3 - х = xs + Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3 - х3 = = Ах (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2).

Ау Ау

Составляем отношение -—: -— = 3 х2 + Зх Ах + (Ах)2.

Ах Ах

5.         Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' =

= lim ^ = lim (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2) = 3х2.

Дж->0 Ах      Дж->0 V          v      / /

Таким образом, получаем

(х3)' = 3х2.

 

Эта схема нахождения производной полезна для начального обучения. По мере ее усвоения необходимость в подробных записях пропадает. Поэтому в дальнейшем при нахождении производной будем придерживаться этой последовательности, но не будем расписывать ее так подробно.