Математика для социологов и экономистов

Глава 9 исследование функций 9.1.  признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Дифференцируемая на промежутке X функция у = f(x) постоянна тогда и только тогда, когда f'(x) = О для всех х Є X.

Необходимое условие постоянства функции (если функция постоянна на некотором промежутке, то ее производная равна нулю) следует из формулы с' = 0. Достаточное условие постоянства функции (если производная равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке) есть следствие 1 из теоремы Лагранжа, которое уже было ранее доказано (см. с. 129). ■

Теорема 2 (достаточное условие строгой монотонности функции). Если в промежутке X производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция строго убывает в соответствующем промежутке.

Пусть х и Х2 принадлежат промежутку, в котором f'(x) > > 0; будем считать, что х < х2. По теореме Лагранжа

f(x2)-f(x1) = f'(c)(x2-x1), (9.1)

где х < с < х2.

Поскольку f'(c) > 0, то разности f(x2) — f{x) и (х2 — х) одного знака, причем х2 — х > 0, поэтому f(x2) — f(x) > 0.

Следовательно, из неравенства х < х<х следует неравенство f{x) < f{x2)-) т. е. функция строго возрастает в промежутке, где f'(x) > 0.

Если f'(x) < 0 для всех х из данного промежутка, то f'(c) < < 0. Из этого неравенства и (9.1) следует, что f(x2) — f(x) < 0 при Х2 — х > 0, т. е. f{x) > f{x2)-> когда х < Х2- Это означает, что функция строго убывает в данном промежутке. ■

Геометрический смысл теоремы. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = f(x) образует с осью Ох острый угол a (tga > 0), то функция строго возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику функции у = = f(x) образует с осью Ох тупой угол a (tga < 0), то функция строго убывает (рис. 9.1).

Из теорем 1 и 2 следует достаточное условие «нестрогой» монотонности: если в промежутке X производная функции неотрицательна, то функция возрастает на этом промежутке; если производная неположительна, то функция убывает в соответствующем промежутке.

V Пример 1. Найти промежутки строгого возрастания и строгого убывания функции f(x) = х3-Зж.

Решение. Находим производную функции

f'(x) = 3 х2 - 3 = 3 (х + 1) (х - 1).

Если х < — 1 и ж > 1, то f'(x) > 0; функция строго возрастает в интервалах (—оо, —1), (1, +оо). Если — 1 < х < 1, то f'(x) < 0; функция строго убывает в интервале (—1, 1). А

1

т

/'(О) =0            д'(0) = оо         ^(О) не существует

Рис. 9.2. Возрастающие функции V Пример 2. На рис. 9.2 изображены три функции:

при х ^ 0, х, при х > 0.

1)/(Ж) = Ж3;       2)5(Ж) = Ж1/3;       3)^) = {з;

Эти функции непрерывны везде. При ж 7^ 0 их производные существуют и положительны; в то время как /'(О) = 0 (касательная горизонтальна), д'(0) = оо (касательная вертикальна), ^'(О) не существует (касательной нет). Однако все три функции строго возрастают при всех х. Тем самым установлено, что неравенство f'(x) > 0 является достаточным, но не необходимым условием строгого возрастания функции f(x). А

Для дифференцируемой функции (т. е. для функции, у которой существует конечная производная) можно сформулировать необходимое условие строгой монотонности: Если дифференцируемая функция строго возрастает (строго убывает) на некотором промежутке X, то ее производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: f'(x) ^ 0 (f'(x) ^ 0), х Є X. Таким образом, в отдельных точках производная строго монотонной дифференцируемой функции может равняться нулю. Заметим, что необходимое условие «нестрогой» монотонности формулируется так же как и необходимое условие строгой монотонности.