Математика для социологов и экономистов

18.6.  решение дифференциальных уравнений с помощью пакета maple

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется команда

>dsolve(eqns,vars,option);

Здесь eqns — дифференциальное уравнение (или система) относительно неизвестных функций vars, a option — дополнительные условия, позволяющие указать метод решения задачи (например, type=numeric — для численного решения).

Если дополнительных условий нет, то Maple пытается найти аналитическое решение задачи, так как по умолчанию принято, что type=exact. При этом решение будет содержать неопределенные константы, изображаемые _С1, _С2, ....

Для задачи Коши в уравнение (уравнения) eqns нужно включить также начальные условия.

V Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения

у"' -у" + у' -у = х2 + х.

 

Решение.

>dsolve(diff(у(х),x$3)-diff(у(х),х$2)+ diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х,у(х)); у(х) = -l-3x-x2+  CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ

То же можно решить также и в два этапа:

>eqn:=diff(у(х),х$3)-diff(у(х),х$2)+

 

diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х:

у(х) = -l-3x-x2+  CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ

Этот результат совпадает с ответом, полученным в примере п. 18.5. А

V         Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка

У(4)-У' = 8е*,

удовлетворяющее условиям

2/(0)     1,   у'(0)=0,   у"(0) = 1, у"'(0)=0.

Решение. Обозначим заданное дифференциальное уравнение через eqn и решим его:

>eqn:=diff(у(х),х$4)-у(х)=8*ехр(х): >dsolve(eqn,y(x));

1-3 (еж)2 + cosxex + 2 smxex + 2хе2х ех Vх '

В полученной дроби поделим числитель на знаменатель: >expand(");

е~х - 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х

(вообще команда expand(11) раскрывает скобки).

Этот результат совпадает с ответом, полученным в задаче 2 п. 18.5. А

С помощью команды dsolve можно решать и дифференциальные уравнения, рассмотренные в гл. 17

V         Пример 3. Решить уравнение Бернулли

ху - у = х3у2.

Решение.

>dsolve(x*dsolve(diff (у(х) ,х) -у=х~3*у~2,у(х));

1   _ _1 ж4-4_С1 у(х)        4 х

Результат вычисления совпадает с ответом

_ 4ж У~ АС-х"

приведенным при изучении уравнения Бернулли. А

Экономический план можно представить себе как численное решение конкретной системы уравнений общего равновесия.

В. Леонтьев