Справочник по математике для экономистов

6.12. наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств

Рассмотрим функцию /(Af) и ограниченное множество V= {Af є R" 1O.(Af) = 0,/ = l, 2, ...,k; Ф{(М)<0,1 = к+1,...,!}.

Предположим, что функции Ф.(М), i= 1, 2,k,k + l,/, дифференцируемы в любой точке Af є R", а функция /(Af) дифференцируема на множестве V.

Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции /(Af) на множестве ^необходимо:

выявить все особые точки множества V;

найти все условно стационарные точки функции /(Af) на множестве V;

в каждой из найденных точек вычислить значения функции /(Af) и выбрать среди них две точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

О Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

/(Af) = (x-2)2 + (y-3)2

на множестве Q = {Af(x, у) Ф(М) = х2 + у2 - 52 < 0}. Особых точек у множества Q нет. Поэтому найдем условно стационарные точки /(Af) на множестве Q. Для этого составим систему

grad / = X grad Ф, « ХФ(М) = О,

х2 + у2 - 52 < О,

откуда получим

171

'2(х - 2) = Ц2х), 2(у-3) = Ц2у),

' Цх2 + у2- 52) = О,

х2 + у2 - 52 < О.

Решив эту систему, найдем точки Mj(2; 3), М2(4; 6), М3(-А; -6). Так как /(Afj) = О, f(M2) = 13, /(Af3) = 117, то наименьшее значение /(Л/) равно 0 и достигается в точке Мх(2; 3), а наибольшее значение равно 117 и достигается в точке М3(-4; -6). •