Справочник по математике для экономистов

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Копій. Тем не менее

203

в настоящее время это основные методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка

У'= Ах, у), у(х0)=у0

на отрезке [х0, xN].

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, JCj,xN, для которых вычисляют значения функцийу по схеме

Уп+1 =У« + hnf(Xn> У г)'   К = Хп+1 - Хп>

где п = 0, 1, ...,N-1.

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых hn.

Модификации этого метода определяются следующими формулами:

Уп+1 = Уп + К/ К

Уп+1 = Уп + -f{f(xn> Уп) + Л*л+і> Уп + уп)К)-

Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кутта. Чаще всего применяют следующую схему указанного метода:

Уп+1 = Уп + у (*i + 2*2 + 2*з + k4),

(7.23)

где

Подпись: к2 = 4хп+^,Уп+^Подпись: К =ЯХп>Уп)>2"" 2 kA= f(xn+hn,yn + hnk3).

2 2

При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы.

О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' = х2 + у2, у(0) = 1 на отрезке [0; 0,7].

204

Выберем шаг h = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем сле-дущие значения функции у на сетке значений х:

 

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

У

1

1,11

1,25

1,44

1,7

2,07

2,64

3,65

Раздел VIII РЯДЫ

 

8.1. Сумма числового ряда

Выражение

ах + 02 +... + а„ + ... = £а„,

л=1

где av а2,ап,... — некоторые числа, называют числовым рядом. Числа av а2,ап,... — члены ряда.

Для каждого числового ряда Т^о„ можно построить последовали

тельность его частичных сумм S :

s» = ai + a2+ - + ап> п=1>2>

О Пример. Для ряда

°° 1

У—-

4-І А.

1      1 1

+       +... + +... =

1-2   2-3        n(n + l)        „Ti«(« + l) получим следующие частичные суммы:

 

1        1-2 2

с       1        1      1    1    1    1    1 1

Sj = — + — = 1 — +       = 1--;

2        1-2   2-3       2   2   3 3

"   1-2   2-3   "'   л(и + 1)

,111 11,1

= 1-- +        + ... +         = 1-

с      1      1 1

S„ = — + — + ...+ ■

2   2   3        и   и+1 я+1 Конечный предел S последовательности частичных сумм ряда

называют суммой ряда.

п=

О Пример. Сумма ряда     н        +... н +... равна еди-

1-2   2-3        п(п +1)

нице, так как 206

 

lim Sn - lim

Л-»°° Л-»°°

1-

И + 1

= 1.

 

Если S — сумма ряда ^ an, то число rn = S-Sn называют octnam-

л=1

колі дода. Так как lim rn = О, то при достаточно большом п

 

л

Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном случае.

Примеры.

г        „,11 1

 

Гармонический ряд 1 + — + - + ... + — + ... расходится.

2   3 л

Геометрическая прогрессия a + aq + aq^ +... + од" +... (а * 0) сходится при q < 1 и расходится приq\> 1. Еслиq < 1, то а + aq +

+ aqz +... + aq" 1 +... =  .

-q

„ ^r r  „11 1

Обобщенно гармонический ряд 1        +       1-... сходит-

la   2а па

ся при а > 1 и расходится при a < 1.

+       +   + (-І)""1- +... = 1п2.

3   4 л

5. 1-- +        + ... + (-1)" 1         + ... = —.

5   7   2л-1 4

,,11    1 я2

22   З2        и2 6

1- + - + ... + (-1)"-1 + ... = —.

22   З2   42  и2 12

— + — + ... + —+ ... = е-1.* 1!   2! л!