Справочник по математике для экономистов

8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов

Признаки сравнения. Если все члены рядов

Oj + a2 + ... + ап +(8.1)

b1 + b2 + ... + bn + ... (8.2)

не отрицательны иап<Ьп,п = 1, 2, то из сходимости ряда (8.2) следует сходимость ряда (8.1), а из расходимости ряда (8.1) следует расходимость ряда (8.2).

Если все члены рядов (8.1) и (8.2) положительны и существует lim — = к, 0 < к < +оо, то эти ряды сходятся или расходятся о д н о -

временно. 208

О Пример. Ряд - + — + - + ... + — + ... расходится, так как гар-2   4   6 2я

,11 1

моническии ряд 1н 1        1-... + — +... расходится и

2   3 я

,.   1/(2и)     л 1

hm /v     = km— -   . •

и-»~ 1/я     и->~> 2л 2

Признак Коши. Если все члены ряда

я, + а. + ... + а, +...

не отрицательны и существует Mm tfa~n = q, то при q < 1 этот ряд

сходится, а при я > 1 расходится. (При q = 1 признак Коши не дает возможности судить о поведении ряда.)

2   22 2й

О Пример. Ряд — + -=- + ... н   + ... сходится, так как

1   1 я"

 

lim Wa^ = lim и— = lim - = 0 < 1. •

 

Признак Даламбера. Если все члены ряда а. +а0 + ... + а +...

положительны и существует lim      - d, то при о* < 1 этот ряд схо-

»-»- а„

дится, а при d > 1 расходится. (При я" = 1 признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда.)

3   З2 3"

О Пример. Ряд — н— + ...Н       + ... сходится, так как

1!   2! л!

г   ап+і    у   Зй+1/(л + 1)!          3     n   , (

hm      = lim —,             = lim     = 0 < 1. •

и->~ а„     и->~    Зй/л!       и->~л + 1

Интегральный признак сходимости Ковш. Если ап = /(л), л = 1, 2, где /(л) — значение при х = л некоторой функции /(х), непрерывной, положительной и невозрастающей при х > 1, то ряд flj + а2 +... + ап +... сходится или расходится в зависимости от того,

*

существует или нет конечный Mm f(x)dx.

 

209

12 п

О Пример. Ряд       =- +           +... н           + ...расходится, так как

1 + Г   1 + 22        1 + п2 х

функция fix) =       ~ является положительной, непрерывной и

1 + х

невозрастающей при х > 1 и

lim fix)dx = Um f-^V = - Urn [ln(l + b2) - ln2] =

й-»+°о*       6-»+°°jl + x 2б->+~