Справочник по математике для экономистов

11.11. задача о кратчайшем пути между двумя вершинами графа

 

Пусть каждой дуге (х, у) графа G поставлено в соответствие число 1{х, у) > О, которое называется длиной дуги (если вершины х и у не соединены дугой, то полагают 1{х, у) - °°). Длина пути в этом случае определяется как сумма длин отдельных дуг, составляющих этот путь. Требуется найти кратчайший путь между двумя заданными вершинами sat графа G.

Алгоритм поиска кратчайшего пути. В ходе выполнения алгоритма окрашивают вершины и дуги графа и вычисляют величины d(x), равные кратчайшему пути из вершиныsв вершинух, включающему только окрашенные вершины.

Полагают d(s) = О, d(x) = °° для любого х ф s. Окрашивают вершину s и полагают у = s.

Для каждой неокрашенной вершины х пересчитывают величину d(x) по формуле

d(x) = min{d"(x); d(y) + l(y, x)}.

Если d(x) - °° для всех вершин, то вычисления заканчивают. В графе G отсутствуют дуги из вершины s в неокрашенные вершины.

В противном случае окрашивают вершину х, для которой величина d(x) минимальна, и дугу, ведущую в вершину х. Полагают у-х.

Если y-t,TO кратчайший путь найден. В противном случае переходят к шагу 2.

С помощью описанного алгоритма можно определить кратчайший путь из s во все вершины исходного графа. Для этого процедуру окрашивания нужно продолжать до тех пор, пока все вершины графа не будут окрашены. При этом для графа G будет построено покрывающее дерево с корнем в вершине s (если такое дерево существует). В вершину s не ведет ни одна дуга, и существует ориентированный путь из s в любую другую вершину графа.

О Пример. Найти кратчайший путь между вершинами s и t для графа, изображенного нарис. 11.19.

Окрашиваем вершину s, полагаем, что d(s) - 0, d(x) - <» для любого х ф s и что у -s. Имеем d(a) - 6, d(b) - min{oo; 0 + 9} = 9, d(c) - min{oo; 0 + 5} = 5, d(d) - d(t) - «>.

 

321

Окрашиваем вершину с и дугу (s, с), так как величина d(c) минимальна. Полагаем у = с и, поскольку вершина t не окрашена, снова пересчитываем величину d{x). Имеем d{a) = 6, d{b) = 9,

ад = іо,</(о=°°.

Окрашиваем вершину а и дугу (s, а). Полагаем у = а и пересчитываем величины d{x). Получаем d(b) - 9, d{d) - 10, d{t) - °°.

Окрашиваем вершину Ъ и дугу (а, Ь). Полагаем у = Ъ, находим величины d(x): d(d) - 10, d(t) - 13.

Окрашиваем вершину dи дугу (a, d) [либо дугу (с, а)]. Полагаем y-dn находим величину d(t) = 13.

Окрашиваем вершину t. Кратчайшим является путь (s, b, t). По-крьшающее дерево кратчайших путей изображено на рис. 11.20. •

Обобщим алгоритм поиска на тот случай, когда некоторые дуги имеют отрицательную длину.

При выполнении шага 2 алгоритма, приведенного на с. 321, пересчет величин d(x) производят для всех вершин.

Если для некоторой окрашенной вершины величина d(x) уменьшается, то с нее и с инцидентной ей дуги окраску снимают.

Процесс вычислений заканчивают, когда все вершины графа G окрашены и ни одно из чисел d(x) не меняется при пересчете.

О Пример. Нарис. 11.21 изображен граф, имеющий дугу отрицательной длины. Найти кратчайший путь между вершинами snt.

Окрашиваем вершину s. Полагаем d(s) - 0, d(a) - d(t) = °°, }> = 5, пересчитываем величины d(x): d(a) = min{oo; 0 + 5} = 5; d(t) = = min{oo; 0 + 4} = 4.

Окрашиваем вершину t, дугу (s, t) и полагаем у = t. Пересчитываем числа d(x). Поскольку из вершины t не исходит ни одна дуга, эти числа не меняются.

322

Окрашиваем вершину а и дугу (s, а). Полагаем у = аи пересчитываем d(x): d(t) = min{4; 5 + (-2)} = 3. Величина d(t) уменьшилась, поэтому с вершины t и дуги (s, t) окраску снимаем.

В исходном графе неокрашенной является только вершина t. Она окрашивается вместе с дугой (а, і), поскольку у = а.

Полагая у = t, пересчитываем величины d(x), но они не меняются. Кратчайшим является путь (s, a, t). •

Описанный алгоритм можно применять к задаче поиска кратчайших путей между каждой парой вершин графа. Однако эта процедура требует больших вычислений и обычно для решения применяют специальный алгоритм.