Справочник по математике для экономистов

14.7. оценки параметров распределения

В ряде задач статистики вид закона распределения генеральной совокупности считается известным. Требуется по данным выборки Ху, х2,хп оценить значения параметров данного закона распределения.

Найти статистическую оценку 0* параметра 0 — значит найти некоторую функцию от наблюдаемых значений выборки.

Несмещенной называется статистическая оценка 0*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру:

М[0*] - 0.

Смещенной называется статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Например, выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия — смещенной, т.е. М[Х] = М[Х], M[DJ*M[DX].

Для уточнения значений выборочной дисперсии вводится так называемая «исправленная» выборочная дисперсия, определяемая по формуле

 

п -1

или для конкретной выборки

 

где s — «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение.

Эффективной называется статистическая оценка, которая имеет наименьшую возможную дисперсию.

376

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки (и —> °°) стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. если для сколь угодно малого є > О

Рф* - 9| > є) -»0  при и -> °о.

14.8. Точечная и интервальная оценки

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Выборочная средняя и выборочная дисперсия являются точечными оценками.

При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае обычно пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Вычисленная по данным выборки оценка 0* является случайной величиной. Случайной величиной является и разность 0 - 0* = а. Таким образом, при определенном значении 0* величина 0 будет отклоняться от оценки на случайную величину ос.

Зная распределение величины 0*, а соответственно и а, можно вычислить вероятность попадания разности 0 - 0* в заданный интервал (-8, 5), где 8 — некоторое положительное число. И наоборот, задавая вероятность попадания этой разности в интервал, можно определить величину интервала. Указанная вероятность называется надежностью или доверительной вероятностью оценки параметра 0.

Доверительным интервалом называется интервал (0* - 8, 0* + 8), который покрывает неизвестный параметр 0 с заданной надежностью у.