Справочник по математике для экономистов

1.27. элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве

1.27.1. Система декартовых координат на плоскости и в пространстве

Точки плоскости или пространства задаются координатными проекциями на прямоугольные оси Ох, Оу на плоскости или Ох, Оу, Oz в пространстве, например: точка М(х, у) на плоскости (рис. 1.26) и М(х, у, z) в пространстве (рис. 1.27).

Числа x,ynz называют координатами точки. Расстояние р между двумя точками М(х, у) и М'(х', у') определяют с помощью формулы

р = ■sjix' -х)2 +(у' -у)2    (на плоскости);

р = yj(x' - х)2 + (у' - у)2 + (z' - z)2    (в пространстве).

 

1.27.2. Системы геометрических и алгебраических векторов

В качестве геометрического вектора рассматривают направленный отрезок АВ, заданный в определенной системе координат и исчисляющий геометрические отклонения концевой точки В отрезками от начальной точки А. Это отклонение задается последовательностью проекций:

 

38

(^,£2): ^=хв-хА, $2=УВ-УА       (наплоскости);

$3>: $і=*в_іХа> ^2=^-^ ^3 = zb~za (в пространстве), где £р £2, — координаты вектора; xA, yA, zA и хв, ув, zB — координаты точек А и В.

Алгебраический вектор задается как совокупность координат и непосредственно не связан с прямоугольными системами отсчета. Обозначают алгебраический вектор малыми латинскими буквами а, Ь и т.д. Координаты алгебраического вектора можно записать в форме а = (аи а2) на плоскости и а = (al, Oj, а3) в пространстве.

По существу, геометрический вектор в операционном исчислении абсолютно сходен с алгебраическим и различается с ним только в практическом приложении.

Векторы считают равными, если совпадают все их одноименные координаты. Кроме величин векторов, задаваемых длиной, или

модулем: а= ИГ af, определяют направленность вектора с

помощью направляющих косинусов: coscp, = т±,.

а

Для направляющих косинусов верно тождество ^coscp2 = 1.

t

1.27.3. Операции в векторных системах

Сложение векторов:

а +Ь = с:  V/ а, + bt = ct.

Умножение вектора на число:

ka = Ь: к є R, V/ ка( = bt.

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности (переместительности) и ассоциативности (сочетательности):

a+b=b+a,  (a+b) + c =а+(b+с),

а операция умножения вектора на число — свойством дистрибутивности (распределительности):

k(a +b) = ka + kb.

Оба указанных закона в совокупности обеспечивают линейную систему преобразований векторных комбинаций.

 

39

3. Скалярное умножение векторов:

а ■ Ъ = ХаЛ-

і

С помощью скалярного произведения оценивают метрическую длину векторов (как нормированную величину) и определяют взаимные угловые смещения (как ориентированную величину):

_  _     _2     |-|2     Vі 2

а ■ а - а -а = 2_,а~,

і

а Ъ - а• |Z>|cos0,

где 0 — угловое смещение вектора а по отношению к Ъ.

Векторы называют ортогональными (взаимно перпендикулярными), если cosG = 0. Векторы называют коллинеарными (однонаправленными и противоположно направленными), если cos0 = ±l.

Очевидно, условие коллинеарности обеспечивается, если одноименные координаты вектороваиЬ пропорциональны:

°1       (на плоскости);    — = — = — (в пространстве).

k    h  h    b2 h

Требования ортогональности и коллинеарности предусматривают, что оба вектора а и Ъ отличны от нуля. (Вектор с нулевыми координатами называют нулевым.)

Скалярное произведение векторов обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности:

а Ъ - Ь а,

(а +Ь)с = а с +Ь с.

 

1.27.4. Уравнения прямой на плоскости

 

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С=0.

Здесь А иВ — коэффициенты, С — свободный член уравнения.

Если указана точка М0(х0, у0), находящаяся на прямой, то уравнение приводится к виду

А(х-х0) + В(у-уо) = 0. (1.1)

 

40

Если рассматривать коэффициенты А и В как координаты вектора и, а разности х - х0, у - у0 как координаты вектора т, то уравнение (1.1) определяет условие ортогональности вектора и к вектору т, расположенному на прямой. Поэтому вектор п называют нормальным вектором прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

Здесь к — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 1.28).

Уравнение прямой, проходящей через две точки М0(х0, у0) и M^yJ:

*-*о = У-Уо хі~хо Уі-Уо'

Уравнение прямой, проходящей через точку М0 и параллельной направляющему вектору т-(т1,т2):

х-х0 _ у-у0 т1 /«2 Уравнение прямой в отрезках:

* + ^ = 1. а Ъ

Здесь а и b — отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 1.29).

41

Рис. 1.29

Расстояние от точки М0(х0, у0) до прямой, заданной в общем виде:

Ах + By + С-О, равно

Ах0 + Ву0 + С

JaUb2

1.27.5. Кривые второго порядка на плоскости

В общем виде кривые второго порядка задаются в форме

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F=0.

Здесь А, В, С, D, Е — коэффициенты, F — свободный член уравнения.

После приведения к каноническому виду получим следующую классификацию.

Нормальное уравнение окружности:

(x-x0)2 + (y-y0)2 = R2,

где М0(х0, у0) — точка, расположенная в центре окружности, R — радиус окружности.

Каноническое уравнение эллипса:

Здесь а и b — главные полуоси эллипса.

Точки Fv F2 называют фокусами эллипса (рис. 1.30), расстояния rvr2 — фокальными радиусами. Фокальное свойство эллипса выражается равенством

гу + г2 - 2а.

42

I о     Ь~ с Величина с равна с = 1а - Ъ . Отношение — называют эксцен-

а

триситетом эллипса и обозначают є. Каноническое уравнение гиперболы:

2 2

— -^- = 1 „2 l2

а b

Здесь а — действительная полуось, Ъ — мнимая полуось гиперболы.

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы (рис. 1.31), расстояния и г2 — фокальными радиусами. Фокальное свойство гиперболы выражается равенством

г{-г2 = 2а (прих>а). Величина с = УІа2 + Ъ1.

43

b с Прямые у - ±—х — асимптоты гиперболы. Отношение — назы-а а

вают эксцентриситетом гиперболы и обозначают е.

Каноническое уравнение параболы:

а)       для параболы, симметричной относительно оси Ох,

у2 = 2рх;

б)       для параболы, симметричной относительно оси Оу,

х2 = 2ру.

Парабола имеет фокус в точке (^, 0) (рис. 1.32) и в точке (0, ^)

(рис. 1.33) и директрису х--— в первом случае и у --— во втором случае.

1.27.6. Уравнения плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости имеет вид

Ax + By + Cz + D = 0.

Здесь А, В, С — коэффициенты, D — свободный член уравнения.

Если указана точка М0(х0, у0, г0), находящаяся на плоскости, то уравнение приводится к виду

А(х - х0) + В(у - уа) + C(z - z0) - 0.

(1.2)

 

 

44

Уравнение (1.2) определяет условие ортогональности вектора п - (А, В, С) и вектора т - (х - х0, у - у0, z - Z0), расположенного на плоскости.

Разновидности общего уравнения:

а)       D - 0 — плоскость проходит через начало координат;

б)       С-0 — плоскость параллельна оси Oz;

в)       С - D = 0 — плоскость проходит через ось Oz;

г)       В = С = 0 — плоскость параллельна координатной плоскос-

ти Oyz.

Уравнение плоскости в отрезках

 

а   Ъ с

Здесь а,Ь,с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ox, Оу, Oz (рис. 1.34).

1.27.7. Формы задания прямой в пространстве

Прямая является геометрическим местом пересечения двух плоскостей:

Ux + В1у + Cxz + А = °> [А2х + В2у + C2z + D2=0.

Прямая проходит через две заданные точки MQ(x0, yQ, Zq) и Ml(xl,yvzl):

*-*о _ У-Уо _ z-Zq

*i - *Ь   Уі- У о   zx - Zq

45

Здесь использовано условие параллельности векторов М0М и

M0MV целиком расположенных на прямой.

3. Прямая проходит через точку MQ и параллельна вектору т - (т],т2,т3), именуемому направляющим: x-x0=y-y0=z-Zp т1 пц

Расстояние от точки М0(х0, у0, г0) до плоскости Ах + By + Cz +

+ D = О задается в форме

Axq +Ву0 + Czq + D

d =

yjA2 + B2 + C2

 

1.27.8. Угол между прямой и плоскостью

Если прямая и плоскость заданы уравнениями

^^ = ^°- = ^°-  и  Ax + By + Cz + D = 0, п        щ пц

то угол между направляющим вектором т - (т1,т2,т3)и нормальным вектором п = (А, В, С) определяется соотношением

. а т-п sine = , , , ,.

ІйІ-ІлІ

Отсюда следует, что условие параллельности прямой и плоскости

задается равенством

тп - Ащ + Вщ + Сщ - 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости определяется параллельностью векторов тип:

Щ _ Щ Щ, ~А~~В~~С'