Справочник по математике для экономистов

2.3. разрешенные системы линейных уравнений

Неизвестное х. называют разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит неизвестное х. с коэффициентом

48

единица, а во все остальные уравнения системы неизвестное xt не входит.

О Пример. Система уравнений

Xj       + Зх3       -Зх5 = 5,

- 7х3 + х4 + х5 = 8, (2.1)

0С>2 Н"       — 1

содержит разрешенные неизвестные xv х2, х4. Неизвестные же х3 и х5 не являются разрешенными. •

Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной.

Совокупность неизвестных х^, хІ2, ...,xir называют набором разрешенных неизвестных данной системы линейных уравнений, если каждое неизвестное хік, \<к<г, является разрешенным и каждое уравнение данной системы содержит ровно одно неизвестное из набора xh,xh, ...,х^.

Разрешенная система уравнений обладает набором разрешенных неизвестных.

Все неизвестные разрешенной системы уравнений, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называют свободными.

Для отыскания решения разрешенной системы уравнений надо свободным неизвестным придать какие-либо значения, подставить их в систему уравнений и найти значения разрешенных неизвестных. Полученная совокупность значений неизвестных является решением разрешенной системы уравнений.

Все решения разрешенной системы уравнений могут быть получены указанным способом.

О Пример. Найти решение разрешенной системы линейных равнений (2.1).

Из каждого уравнения системы выберем разрешенные неизвестные хр х2, х4. Тогда неизвестные х3, х5 являются свободными. Придадим свободным неизвестным х3, х5 значения х3 = 1, х5 = 2 и подставим их в систему уравнений:

+ 3 • 1 - 3 ■ 2 = 5,

• -7 • 1 + х4 + 2 = 8,

х2+ 2-1-2 = 1.

49

Из полученной системы находим: хх - 8, х2 - 1, хА - 13, т.е. упорядоченный набор чисел 8,1,1,13, 2 является решением рассматриваемой системы уравнений. •

Разрешенная система уравнений всегда совместна. Если все неизвестные разрешенной системы уравнений образуют набор разрешенных неизвестных, то она имеет единственное решение. В противном случае разрешенная система уравнений имеет бесчисленное множество решений.