Справочник по математике для экономистов

2.9. линейная зависимость векторов

Система векторов Av А2, —,Ап называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа kv к2,кп, не все равные нулю, что

Afa+A^ +... +Апкп = 0.

Если же каждая линейная комбинация векторов Лр А2, .-.,Ап с коэффициентами kv к2,кп, которые не все равны нулю, отлична от нулевого вектора, то система векторов Av А2,Ап называется линейно независимой.

Система m-мерных векторов А1, А2,..., Ап является линейно зависимой, если система линейных уравнений

А^.х + А2х2 +... + Апхп - 0 (2.10)

имеет ненулевое решение. Если же система уравнений (2.10) не имеет ненулевых решений, система векторов АХ,А2, ...,Ап линейно независимая.

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений А^ху +А2х2 +Агхг = 0 методом Гаусса:

 

х1

Х2

хг

х1

Х2

хг

х1

Х2

хг

 

3

-2

а

0

-3

2

1

0

0

-13

1

0

5

1

-2

0

 

5

0

0

-> 1

-5

0

0

1

-5

0

0

1

-5

0

0

0

0

0

0

4

-7

-1

0

1

-5

0

0

0

0

0

0

Общее решение исходной системы имеет вид Г -13х2 + х3 = 0, [xj - 5х2       = 0.

 

60

Эта система имеет ненулевое решение 5, 1, 13. Следовательно, векторы Av А2, Аъ линейно зависимы.

2. Выяснить, является ли система векторов

 

 

'-20Л

 

'-V

 

( Г

А =

-15

,  А2 —

-2

,  А3 =

-1

 

 

 

-4,

 

"2,

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений Аххх +А2х2 +Аъхг = 6 методом Гаусса:

 

х1

Х2

 

 

х1

Х2

 

 

-20

-1

3

0

 

-26

|-13|

0

0

 

-15

-2

-1

0

->

-13

0

0

0

->

-4

І-2І

0

 

2

2

1

0

 

 

х1

Х2

хъ

 

 

*1

Х2

хъ

 

 

2

1

0

0

 

0

1

0

0

->

|-13|

0

0

0

->

1

0

0

0

 

-2

0

1

0

 

0

0

1

0

Общее решение исходной системы имеет ВИД Xj = 0, х2 - 0, хъ - 0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Av А^, А3 линейно независимы. •

Если каждый из векторов Bv В2,Вп разлагается по системе векторов Av А2, —,Ат, т < п, то система векторов Вх, В2,Вп линейно зависима.